フィボナッチ数列の一般項
フィボナッチ数列
定義《フィボナッチ数列, リュカ数列》
- (1)
- 初期条件 $F_1 = F_2 = 1$ と隣接 $3$ 項間漸化式 $F_{n+2} = F_n+F_{n+1}$ で定まる数列 \[\{ F_n\}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,\cdots\] をフィボナッチ数列(Fibonacci sequence)と呼び, その項として表される整数をフィボナッチ数(Fibonacci number)と呼ぶ.
- (2)
- 初期条件 $L_1 = 1,$ $L_2 = 3$ と隣接 $3$ 項間漸化式 $L_{n+2} = L_n+L_{n+1}$ で定まる数列 \[\{ L_n\}:1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,199,322,\cdots\] をリュカ数列(Lucas sequence)と呼び, その項として表される整数をリュカ数(Lucas number)と呼ぶ.
定理《ビネの公式》
フィボナッチ数列 $\{ F_n\},$ リュカ数列 $\{ L_n\}$ の一般項は
\[\begin{aligned}
F_n &= \frac{1}{\sqrt 5}\left\{\left(\frac{1+\sqrt 5}{2}\right) ^n-\left(\frac{1-\sqrt 5}{2}\right) ^n\right\}, \\
L_n &= \left(\frac{1+\sqrt 5}{2}\right) ^n+\left(\frac{1-\sqrt 5}{2}\right) ^n
\end{aligned}\]
である.
証明
フィボナッチ数列については, こちらを参照.
定理《フィボナッチ数列の隣接項の比》
フィボナッチ数列 $\{ F_n\},$ リュカ数列 $\{ L_n\}$ について,
\[\lim\limits_{n \to \infty}\frac{F_{n+1}}{F_n} = \lim\limits_{n \to \infty}\frac{L_{n+1}}{L_n} = \frac{1+\sqrt 5}{2}\]
が成り立つ.
証明
$\alpha = \dfrac{1-\sqrt 5}{2},$ $\beta = \dfrac{1+\sqrt 5}{2}$ とおく.
$\left|\dfrac{\alpha}{\beta}\right| = \dfrac{\sqrt 5-1}{1+\sqrt 5} < 1$ であるから, ビネの公式により
\[\begin{aligned}
\frac{F_{n+1}}{F_n} &= \frac{\beta ^{n+1}-\alpha ^{n+1}}{\beta ^n-\alpha ^n} = \frac{\beta -\alpha\left(\dfrac{\alpha}{\beta}\right) ^n}{1-\left(\dfrac{\alpha}{\beta}\right) ^n} \\
&\to \beta = \frac{1+\sqrt 5}{2} \quad (n \to \infty )
\end{aligned}\]
となる.
リュカ数列についても同様である.
リュカ数列についても同様である.
問題
数学 I: 数と式
問題《リュカ数を表す対称式の値》
$\alpha = \dfrac{1+\sqrt 5}{2},$ $\beta = \dfrac{1-\sqrt 5}{2}$ について,
\[\alpha +\beta, \quad \alpha\beta, \quad \alpha ^2+\beta ^2, \quad \alpha ^4+\beta ^4\]
の値を求めよ.
解答例
こちらを参照.
数学 A: 整数の性質
問題《フィボナッチ数列の加法定理と性質》
$m,$ $n$ を非負整数とする.
\[ F_0 = 0, \quad F_1 = 1, \quad F_{n+2} = F_n+F_{n+1}\]
により定まる数列 $\{ F_n\}$ について, 次のことを示せ.
- (1)
- $F_{m+n+1} = F_mF_n+F_{m+1}F_{n+1}\ \cdots (P)$ が成り立つ.
- (2)
- $0 < m \leqq n$ のとき, $m$ が $n$ を割り切るならば, $F_m$ は $F_n$ を割り切る.
- (3)
- $F_n,$ $F_{n+1}$ は互いに素である.
- (4)
- $2 < m \leqq n$ のとき, $F_m$ が $F_n$ を割り切るならば, $m$ は $n$ を割り切る.
- (5)
- $n \neq 4$ のとき, $F_n$ が素数ならば, $n$ は素数である.
解答例
こちらを参照.
数学 B: 数列
問題《フィボナッチ数列の一般項》
$1$ 歩目は $1$ 段だけ上るとし, $2$ 歩目以降は $1$ 歩で $1$ 段上ることも $2$ 段上ることもできるとして, $n$ 段の階段を上る方法の総数を $F_n$ とおく.
- (1)
- $F_{n+2} = F_n+F_{n+1}$ が成り立つことを示せ.
- (2)
- 数列 $\{ F_{n+1}-\alpha F_n\},$ $\{ F_{n+1}-\beta F_n\}$ がそれぞれ公比 $\beta,$ $\alpha$ の等比数列となるような定数 $\alpha,$ $\beta\ (\alpha < \beta )$ を $1$ 組求めよ.
- (3)
- 数列 $\{ F_n\}$ の一般項を求めよ.
解答例
こちらを参照.
問題《カッシーニの公式》
数列 $\{ F_n\}$ について, 初期条件 $F_1 = F_2 = 1$ のもとで,
- $[1]$
- $F_{n+2} = F_n+F_{n+1}$
- $[2]$
- $F_{n+1}{}^2-F_nF_{n+2} = (-1)^n$
(参考: 2001 横浜国立大)
解答例
こちらを参照.