$1$ 辺の長さが $1$ の正方形の紙 $\mathrm{ABCD}$ を, 頂点 $\mathrm B$ が辺 $\mathrm{AD}$ 上にくるように折り返すとき, 折り返した部分の面積 $S$ が最小になるのはどのような折り方をした場合か答えよ. また, その場合の面積を求めよ.