有名問題・定理から学ぶ数学

Well-Known Problems and Theorems in Mathematics

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課題学習

テーマの候補

テーマ《チャヌシッチの必勝法》

 両方の山から同じ個数の石を取ることもできる $2$ 山崩しでは, どのようにすれば勝てるか.
  • 単元: 数と式, 数列
  • キーワード:「石取りゲーム」「チャヌシッチ」「ガウス記号」「レイリー=ビーティの定理」「ビーティ数列」「黄金数」
  • 参考文献: [1].
    [2]
    廣津孝,『偉大な定理に迫る!理系脳を鍛える数学クイズ』, pp.182–183, 翔泳社, 2021.
    [3]
    佐藤文広,『石取りゲームの数学—ゲームと代数の不思議な関係』, 数学書房, 2014.

テーマ《フィボナッチ数の判定条件》

 どのような正の整数が「フィボナッチ数列」の項になるか.
  • 単元: 数と式, 整数の性質, 数列
  • キーワード:「フィボナッチ数列」「ビネの公式」「カッシーニの公式」「リュカ数列」「シューブの公式」「ペル方程式」「$2$ 次体」「代数的整数」
  • 参考文献: [1]. [2].
    [3]
    中村滋,『フィボナッチ数の小宇宙—フィボナッチ数, リュカ数, 黄金分割』, 改訂版, 日本評論社, 2008.
    [4]
    青木昇,『素数と $2$ 次体の整数論』, 数学のかんどころ 15, 共立出版, 2012.

テーマ《RSA 暗号系の仕組み》

 「RSA 暗号系」において, 暗号文はどのようにもとの文に戻されるか.
  • 単元: 整数の性質
  • キーワード:「公開鍵暗号系」「RSA 暗号系」「合同式」「オイラーの定理」「フェルマーの小定理」「巨大素数」
  • 参考文献: [1].
    [2]
    廣津孝,『偉大な定理に迫る!理系脳を鍛える数学クイズ』, pp.48–49, 翔泳社, 2021.
    [3]
    一松信,『暗号の数理—作り方と解読の原理』, 改訂新版, ブルーバックス, 講談社, 2005.

テーマ《ランダム・ウォークの再帰確率》

 直線上を等確率, 等幅で前後に動く点がもとに戻ってくる確率(およびその極限値)はいくらか.
  • 単元: 場合の数と確率, (関数と極限), (積分法)
  • キーワード:「ランダム・ウォーク」「カタラン数」「ウォリスの積分公式」
  • 参考文献: [1]. [2]. [3].
    [4]
    廣津孝,『偉大な定理に迫る!理系脳を鍛える数学クイズ』, pp.100–101, 翔泳社, 2021.
    [5]
    竹居正登,『入門 確率過程』, 森北出版, 2020.

テーマ《完全順列の場合の数と確率》

 席替えで全員の席が入れ替わる場合の数, 確率(およびその極限値)はいくらか.
  • 単元: 場合の数と確率, (関数と極限), (微分法)
  • キーワード:「完全順列」「ネイピア数」「指数関数」「マクローリン級数展開」
  • 参考文献: [1].
    [2]
    廣津孝,『偉大な定理に迫る!理系脳を鍛える数学クイズ』, pp.66–67, 翔泳社, 2021.
    [3]
    山本幸一,『順列・組合せと確率』, 新装版, 数学入門シリーズ, 岩波書店, 2015.
    [4]
    G・ブロム, L・ホルスト, D・サンデル著, 森真訳,『確率論へようこそ』, シュプリンガー数学リーディングス, 丸善出版, 2018.

テーマ《カルダーノの公式とフェラーリの公式》

 一般の $3$ 次方程式と $4$ 次方程式はどのように解けるか.
  • 単元: 複素数と方程式
  • キーワード:「代数方程式」「解の公式」「ガロア理論」「アーベル=ルフィニの定理」
  • 参考文献: [1]. [2]. [3]. [4].
    [5]
    廣津孝,『偉大な定理に迫る!理系脳を鍛える数学クイズ』, pp.54–55, 翔泳社, 2021.
    [6]
    木村俊一,『天才数学者はこう解いた, こう生きた—方程式四千年の歴史』, 講談社学術文庫, 講談社, 2016.

テーマ《ピタゴラスの $3$ つ組を表す公式》

 $3$ 辺の長さが整数であるような直角三角形の辺の長さは, どのような式で表されるか.
  • 単元: 整数の性質, 図形と方程式, (三角関数)
  • キーワード:「不定方程式」「ピタゴラスの $3$ つ組」
  • 参考文献: [1]. [2]. [3].
    [4]
    細矢治夫,『ピタゴラスの三角形とその数理』, 数学のかんどころ 6, 共立出版, 2011.

テーマ《格子正多角形の決定》

 正方形以外に各点の座標が整数であるような正多角形は存在するか.
  • 単元: 整数の性質, 三角関数, 数列
  • キーワード:「格子多角形」「格子角定理」
  • 参考文献: [1].
    [2]
    廣津孝,『偉大な定理に迫る!理系脳を鍛える数学クイズ』, pp.176–177, 翔泳社, 2021.
    [3]
    桑田孝泰, 前原濶,『整数と平面格子の数学』, 数学のかんどころ 28, 共立出版, 2015.

テーマ《円周率の近似値の求め方》

 円周率の近似値を高速で求めるには, どのようにすればよいか.
  • 単元: 関数と極限
  • キーワード:「円周率」「マチンの公式」「逆三角関数」「べき級数展開」「グレゴリー級数」
  • 参考文献: [1].
    [2]
    廣津孝,『偉大な定理に迫る!理系脳を鍛える数学クイズ』, pp.92–93, 翔泳社, 2021.
    [3]
    中村滋,『円周率—歴史と数理』, 数学のかんどころ 22, 共立出版, 2013.

テーマ《等周問題》

 周の長さが一定の図形のうち, 面積が最大の図形は何か.
  • 単元: 式と証明, 微分法, 積分法
  • キーワード:「等周問題」「等周不等式」
  • 参考文献: [1]. [2]. [3].
    [4]
    廣津孝,『偉大な定理に迫る!理系脳を鍛える数学クイズ』, pp.92–93, 翔泳社, 2021.
    [5]
    小林昭七,『円の数学』, 裳華房, 1999.
 次のようなテーマもおすすめである.
  • ヘロンの三角形: $3$ 辺の長さと面積が整数である三角形
  • くじ引きの公平性
  • ペル方程式の解の公式
  • 相加・相乗平均の不等式
  • チェビシェフの多項式: $n$ 倍角の公式
  • 累乗和の公式
  • ネイピア数と円周率の無理性
 参考文献は, 可能な限り, 高校生にも読めるものを挙げた. さらに適当な参考文献が見つかれば, その情報も追加する予定である.