有名問題・定理から学ぶ数学

Well-Known Problems and Theorems in Mathematics

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完全順列

完全順列

定義≪完全順列, モンモール数≫

(1)
それぞれをもとの位置と異なる位置に並び替える順列を完全順列または攪乱順列(derangement)と呼ぶ.
(2)
$n$ 個のものの完全順列の総数を $n$ 番目のモンモール数(Montmort number)と呼ぶ.

問題

数学 B: 数列

問題≪完全順列の確率≫

 $n$ 人の席替えで, 全員の席が替わる場合の数を $a_n,$ 確率を $p_n$ とおく.
(1)
$n > 2$ のとき, $a_n = (n-1)(a_{n-1}+a_{n-2})$ が成り立つことを説明せよ.
(2)
$n > 2$ のとき, $p_n-p_{n-1} = -\dfrac{1}{n}(p_{n-1}-p_{n-2})$ が成り立つことを示せ.
(3)
数列 $\{ p_n\}$ の一般項を求めよ. 必要ならば, 和の記号 $\Sigma$ を用いてもよい.

解答例

 こちらを参照.