有名問題・定理から学ぶ高校数学(451 問)
お知らせ
- 2022/05/02
- 『高校数学 至極の有名問題 240—文理対応・国公立大～難関大レベル』がエール出版社から発売になりました. 定理の証明問題や, 特別な意味をもつ問題に特化した問題集です. 何の変哲もない計算問題を修行のように解くだけの問題演習から抜け出して, 一歩先のより本質的な問題を解くことで, 数学的センスを磨き, 真の実力をつけることができます. 全国の書店や, Amazon (こちら), 楽天ブックス(こちら)などのオンライン・ストアでお求めいただけます.
- 2022/04/12
- ホームページのレイアウトを改善しました. これから 1 か月ほどかけて, 各ページの改訂を行う予定です.
- 2022/04/05
- 現行課程, 新課程のどちらでも使用できるように, 分野ごとに単元を並べ替えました. 新数学 A の「数学と人間活動」, 新数学 C の「数学的な表現の工夫」の内容は, 随所に散りばめられています.
有名問題
このサイトでは,
を「有名問題」と呼びます.
その中から, 特に
特に大学入試では, 「有名問題」やそのアレンジがよく出題されています. 「有名問題」を一定数解いていくことで, 数学的センスを磨き, 幅広く深い知識を身につけながら, 確実に実力をつけていくことができるので, 皆さまの受験勉強にぜひお役立てください(※1).
問題設定・数値設定の動機が明確で素朴な問題
のうち, 将来的に知名度が高くなる可能性のある問題を含めて,
- 古典的な(歴史的によく知られた, 由緒ある)問題, または
- 重要な定理・深い理論的背景に基づいた問題, または
- 応用面で重要な問題
高校数学の重要な概念・定理・公式を学ぶのにふさわしい問題
をまとめています(問題は随時, 追加・更新中).
多少難しい問題もありますが, 問題の動機がとことん突き詰められた, 素朴で本質的な問題ばかりを集めました.
まずはこのような価値ある問題があることを知って, それを解くことを目標に勉強を進めてみてください.
きっと数学の意義深さ, 楽しさを感じてもらえると思います.特に大学入試では, 「有名問題」やそのアレンジがよく出題されています. 「有名問題」を一定数解いていくことで, 数学的センスを磨き, 幅広く深い知識を身につけながら, 確実に実力をつけていくことができるので, 皆さまの受験勉強にぜひお役立てください(※1).
問題のレベルは, 次の通りです.
「〃」がついた問題は, 前問の類題です.
†：基本, ‡：標準, ‡†：実戦, ‡‡：発展
「◎」がついた問題を解けば, 要点の学習が一通りできます.「〃」がついた問題は, 前問の類題です.
※1: 洗練された「有名問題」を集めるため,「典型問題」「頻出問題」「伝説的問題」であっても, 数値設定の動機が不明確であるなど, 上記の条件を満たさない問題は, あえて取り上げていません. 動機や背景のよくわからない問題ばかり解いていても数学の知識はなかなか深まっていかないので, 似たような内容を学ぶのであれば「有名問題」を解いた方が断然効率的だと言えるでしょう. 問題の選定基準がここまで厳しい問題集はないかと思いますが, それゆえに質の高い学習ができると信じています.
※2: 数列の漸化式, 数列の和, 数学的帰納法(数学 B)はさまざまな定理の証明に使われるため, これを認めて数学 I・A・II の問題としたものもあります.
※3: 大学入試問題を参考にした問題もありますが, その多くで実際に出題された問題よりもさらに詳しい内容を扱っています. 原文は掲載を控えている(内容を吟味のうえ一部を追加・削除し, 表現を改めている)ため, 実際に出題された問題との違いには十分ご注意ください.
索引(用語・背景から問題へ)
あ＞ か＞ さ＞ た＞ な＞ は＞ ま＞ や＞ ら＞ わ＞
※かぎかっこ「」のついた用語: 高校の教科書に(必ずしも)載っていないもの
※かぎかっこ「」のついた用語: 高校の教科書に(必ずしも)載っていないもの
あ
- 「RSA 暗号系」
- アステロイド: 媒介変数表示, 長さ, 接線の長さ,「包絡線」
- 「アネェージの曲線」: 形状, 面積
- アポロニウスの円
- 「アルキメデスの開平法」
- 「アルキメデスの定理」
- 「イェンゼンの不等式」
- 「$1$ 次分数変換」
- 「一致の定理」
- 「イデアル(可換環の)」
- 「ヴィエトの公式」
- 「ウォリスの公式」
- 「ウォレス=シムソンの定理」: 初等幾何学, 複素数平面
- 「エジプト分数」: 方程式, 不等式
- 「エネストレーム=掛谷の定理」
- 「エラトステネスのふるい」
- 円周率:「マチンの公式」,「ヴィエトの公式」, 無理性
- 「鉛直投げ上げ」
- 「オイラー線(三角形の)」
- 「オイラーの関数」
- 「オイラーの公式(分数式に関する)」
- 「オイラーの定数」
- 「オイラーの定理」:「RSA 暗号系」
- 「黄金比」: $2$ 次方程式, 三角比, 三角関数, 無限級数
- 「オノの不等式」
か
- カージオイド: 媒介変数表示, 長さ
- 「カーティスの定理」: $n = 2,$ $3$ の場合
- 「カーマイケル数」
- 「ガウス積分」
- 「確率過程」:「ポリアの壺」,「ランダム・ウォーク」
- 「カタラン数」: 公式, 漸化式, 素数の「カタラン数」, 奇数の「カタラン数」
- 「カタラン予想」
- 「カッシーニの公式」
- 「加比の理」
- 「ガブリエルのラッパ」
- 「カラビの三角形」: 三角比, 方程式の解の評価
- 「関数方程式」:「コーシーの関数方程式」,「双曲線関数」
- 「完全四辺形に関するニュートンの定理」: 初等幾何, ベクトル
- 「完全順列」
- 「完全数」
- 「ガンマ関数」
- 「キーペルト点(三角形の)」
- 「幾何分布」: 期待値
- 「既約多項式」:「アイゼンシュタインの判定法」
- 「九点円(三角形の)」: 三角関数, ベクトル
- 「共円条件」
- 「極線(円周の)」
- 「曲率(曲線の)」:「縮閉線」,「初等超越関数」のグラフ
- 「くくり出し公式(二項係数の)」
- くじ引きの公平性: 1, 2
- 「グレゴリー=ライプニッツ級数」
- 「群」:「巡回群」,「対称群」
- 「ケイリー変換」
- 「ゲルフォント=シュナイダーの定理」
- 「懸垂線」
- 「コーシー=シュワルツの不等式」:「ユークリッド内積」, 「ラグランジュの恒等式」からの導出, 定積分
- 「広義積分」:「ガブリエルのラッパ」,「ガンマ関数」,「ガウス積分」,「曲線の等周問題」など
- 「格子多角形」: 正三角形 1, 正三角形 2,「格子角定理」
- 「交代級数」:「マーダヴァ=ライプニッツ級数」,「メルカトル級数」
- 「高度合成数」
- 「合比・除比・合除比の理」
- 古典力学:「鉛直投げ上げ」,「斜方投射」
- 「根軸($2$ 円の)」
- 「根心($3$ 円の)」
さ
- サイクロイド: 媒介変数表示, 面積, 長さ
- 「最小シュタイナー木問題」: $3$ 点, 正方形の頂点
- 「最小多項式」
- 「座標法」
- 「三角不等式」:「マンハッタン距離」, 応用, 複素数
- $3$ 次方程式:「対称式」,「カルダーノの公式」,「判別式」, 実数解の個数
- 「算術幾何平均」
- 「ジェルゴンヌ点(三角形の)」
- 「シェルピンスキー数」
- 「斜方投射」
- 「シューアの不等式」
- 「ジューコフスキー変換」
- 「重心座標」
- 「重積分」:「ガウス積分」
- 「シュケの不等式」
- 「シュタイナーの問題(微分積分学)」: 累乗根, 一般
- 「シュタイナーの問題(平面・空間の分割)」
- 「シュタインハウスの問題」
- 「準円」: 楕円, 双曲線
- 「巡回群」
- 「シルヴェスター数列」: 「カーティスの定理」の $n = 2,$ $3$ の場合, 漸化式, 逆数の総和, 素数の無限性
- 「伸開線(曲線の)」: 円周,「ヤギの問題」
- 「シンプソンの公式」
- 「スターリング数」
- 「スターリングの公式」: 簡易版, 精密版
- 「スチュワートの定理」: 余弦定理
- 「正接定理」
- 正多面体: 種類, 外接球の半径, 内接球の半径, 表面積, 体積
- 「正七角形調和」
- 正葉曲線: 極座標表示, 面積
- 「ゼッケンドルフの定理」
- 「線形計画法」
- 相加・相乗平均の不等式: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11
- 「双曲線関数」:「加法定理」, 逆関数,「関数方程式」, 面積, 長さ
- 「相反方程式」
た
- 「対称群」
- 「対称式」
- 「代数拡大体」:「$2$ 次体」,「最小多項式」
- 「楕円曲線」
- 「タクシー数」
- 「チェビシェフ多項式」: 存在, 整除性, 値域, 方程式
- 「チェビシェフの和の不等式」
- 「チャップル=オイラーの定理」
- 「中国式剰余定理」
- 「中線定理」: 余弦定理, 座標, ベクトル
- 「超越関数」
- 「重複組合せ」: 公式, 漸化式
- 「調和級数」
- 「ディオファントス近似」
- 「テイラー展開(関数の)」:三角関数, 対数関数, 「逆双曲線関数」,「グレゴリー=ライプニッツ級数」と「マーダヴァ=ライプニッツ級数」,「メルカトル級数」
- 「ディリクレの算術級数定理」: $4n+1$ 型の素数
- 「デカルト=グアの定理」
- 「デカルトの葉線」: 面積
- 「等差素数列」: 性質, 公差 $2$
- 「等周問題」: 三角形 1, 三角形 2, 曲線
- 「等長積図形(equable shape)」: 「ピタゴラスの三角形」, 長方形
- 「導多項式」:「重根判定法」
- 「等面四面体」: 存在と計量, 正四面体の特徴付け
- トーラス
- 「凸関数」: 対数関数, 無理関数,「イェンゼンの不等式」, グラフの接線
- 「ド・メレの問題」
- 「トレミーの定理」: 第一(余弦定理), 第一(初等幾何学), 第一(積和の公式), 第一(複素数平面), 第二
な
- 「ナーゲル点(三角形の)」
- 「ナポレオンの定理」: 三角関数, 複素数平面
- 「ニーヴェンの定理」
- 「$2$ 次体」:「基底」,「ノルム」と「単数」
- 「$2$ 乗平均平方根」
- 「ニュートン法」
- ネイピア数: 値の評価, 無理性
- 「濃度(集合の)」
は
- 「バーゼル問題」
- 「バウムクーヘン分割の公式」
- パスカルの法則
- 「パドヴァン数列」
- 「バナッハの不動点定理」
- 「バナッハのマッチ箱」
- 「ハノイの塔」
- パラボラ・アンテナ
- 「反転」
- 「$p$ 進付値」
- 「ピタゴラスの $3$ つ組」: 公式(幾何的証明), 公式(三角法的証明), 性質,「ピタゴラス変換」, 恒等式
- 「ピタゴラスの $4$ つ組」: 性質, 恒等式
- 「ビネの公式」
- 「微分方程式」: 三角関数, 指数関数,「ロジスティック方程式」
- 「ファンデルモンドの畳み込み」
- 「フィボナッチ数列」:「ビネの公式」と和,「カッシーニの公式」,「加法定理」と「$2$ 倍公式」, 性質,「ゼッケンドルフの定理」, 隣接項の比の極限
- 「夫婦円卓問題」
- 「フェルマー数」:「フェルマー素数」, 素数の無限性
- 「フェルマー点(三角形の)」: 特徴付け, 作図
- 「フェルマーの小定理」: 合同式, 二項定理など
- 「フェルマーの $2$ 平方和定理」
- 「フェルマー予想」
- 「フォイエルバッハの定理」: 三角関数, ベクトル
- 「フォンタナの三角形」
- 「複利計算」
- 「双子素数」「三つ子素数」
- 「ブラーマグプタの公式」
- 「ブラーマグプタの恒等式」:「ペル方程式」への応用
- 「ブラーマグプタの三角形」
- 「ブラーマグプタ=フィボナッチ恒等式」: 式と証明, 複素数平面
- 「ブレートシュナイダーの公式」
- 「フラクタル図形」:「コッホ雪片」
- 「プラスチック数」
- 「ブロカール点(三角形の)」: 接弦定理,「ヘロンの公式」, 三角関数
- 「フロベニウス写像」
- 「フロベニウスの硬貨交換問題」
- 平均値の定理: 積分法
- 「ベイズの定理」
- 「平方三角数」
- 「平方四角錐数」
- 「平面充填」: $1$ 種類の正多角形, 多種類の正多角形
- 「ベータ関数」: $2$ 次関数, $3$ 次関数, $4$ 次関数, 整数の組での値
- 「ヘッセ標準形(直線の)」
- 「ベル数」
- 「ベルトラン=チェビシェフの定理」
- 「ベルヌーイ多項式」: $2$ 次, 一般
- 「ベルヌーイの不等式」: 数学的帰納法, 関数の極限, 微分法
- 「ペル方程式」: 一般解, 解なし, 解の生成,「平方三角数」, 連立漸化式, 「ブラーマグプタの三角形」
- 「ヘロンの公式」
- 「ヘロンの三角形」
- 方べきの定理: 図形と方程式, ベクトル
- 「包絡線」: 放物線, アステロイド
- 「ホッケー・スティック恒等式」
- 「ポリアの壺」
- 「ポリアの定理(整数値多項式に関する)」
- 「ポンスレの閉形定理」:「チャップル=オイラーの定理」, 円周と放物線
ま
- 「マーダヴァ=ライプニッツ級数」
- 「マクローリン展開(関数の)」: 三角関数,「グレゴリー=ライプニッツ級数」と「マーダヴァ=ライプニッツ級数」
- 「マチンの公式」
- 「継子立て」
- 「マラルディの角度」
- 「マルコフの $3$ つ組」
- 「マンハッタン距離」
- 「メルカトル級数」
- 「メルセンヌ素数」: 指数の条件,「完全数」との関係
- 「モーザーの円の分割問題」
- 「モリーの法則」
- 「モンジュ点(四面体の)」
- 「モンティ・ホール問題」
- 「モンモール数」
や
- 「ヤギの問題」
- 「ヤングの不等式」: 微分法, 積分法
- 「友愛数」
- 「有理根定理」
- 「ユークリッドの補題」
- $4$ 次方程式:「フェラーリの公式」
- 「ヨセフスの問題」
ら
- 「ライプニッツの公式(高階導関数)」
- 「ラグランジュの恒等式」:「ブラーマグプタ=フィボナッチ恒等式」, 「コーシー=シュワルツの不等式」の導出
- 「ラグランジュの補間公式」
- らせん:「等角らせん」の性質, 面積, 長さ
- 「ラメの定理」
- 「ランダム・ウォーク」
- 「リーマン・ゼータ関数」: 平方数の逆数の和, 立方数の逆数の和,「調和級数」, 収束域,「バーゼル問題」
- リサジュー曲線: 面積 1, 面積 2
- 「立方体倍積問題」
- 「リュカ数列」
- 「リュカのキャノンボール問題」
- 累乗数の和を表す多項式: 存在, 性質
- 「ルジャンドル多項式」
- 「ルジャンドルの公式」
- 「レイリー=ビーティの定理」
- 「レームスの不等式」
- 「レギオモンタヌスの問題」: 方べきの定理, 三角関数
- レムニスケート: 媒介変数表示
- 「連分数展開(無理数の)」: 「近似分数」, 数列の一般項, 数列の極限
- 「ロジスティック方程式」: 数列,「微分方程式」
- 「ロピタルの定理」: $\log x/x$ の極限
わ
課題学習
課題学習のテーマの候補については, こちらを参照されたい(随時, 追加・更新予定).