有名問題・定理から学ぶ高校数学 (618 問)

単元一覧

代数学分野	数と式　　　 2 次関数　　　　整数の性質
	式と証明　　複素数と方程式　数列
解析学分野	図形と計量　三角関数　指数関数・対数関数
	微分法 (文系・理系共通)　積分法 (文系・理系共通)
	関数と極限　微分法 (理系)　積分法 (理系)
幾何学分野	図形の性質　図形と方程式　ベクトル
	複素数平面　式と曲線
組合せ論・確率論・統計学　データの分析　場合の数　確率

お知らせ

　『高校数学至極の有名問題 240—文理対応・国公立大～難関大レベル』が, エール出版社から好評発売中です (2022 年 5 月出版). このページから, 特に重要な問題を厳選しました.

場当たり的な問題ではなく明確な動機をもつ “ 有名問題 ” のみから高校数学の主要なテーマを深く学ぶことができるという構成
大学入試後を見据えた問題の背景の詳しい解説

に大きな特長がある, 高校数学の本格派問題集です. 全国の書店や, Amazon, 楽天ブックスなどのオンライン・ストアでお求めいただけます.

有名問題

　このサイトでは,

問題設定・数値設定の動機が明確で素朴な問題

のうち, 将来的に知名度が高くなる可能性のある問題を含めて,

古典的な (歴史的によく知られた, 由緒ある) 問題, または
重要な定理・深い理論的背景に基づいた問題, または
応用面で重要な問題

を「有名問題」と呼びます. その中から, 特に

高校数学の重要な概念・定理・公式を学ぶのにふさわしい問題

をまとめています (問題は随時, 追加・更新中). 多少難しい問題もありますが, 問題の動機がとことん突き詰められた, 素朴で本質的な問題ばかりを集めました. まずはこのような価値ある問題があることを知って, それを解くことを目標に勉強を進めてみてください. きっと数学の意義深さ, 楽しさを感じてもらえると思います.
　特に大学入試では, 「有名問題」やそのアレンジがよく出題されています. 「有名問題」を一定数解いていくことで, 数学的センスを磨き, 幅広く深い知識を身につけながら, 確実に実力をつけていくことができるので, 皆さまの受験勉強にぜひお役立てください (※1).

凡例・絞り込み

※1: 洗練された「有名問題」を集めるため,「典型問題」「頻出問題」「伝説的問題」であっても, 数値設定の動機が不明確であるなど, 上記の条件を満たさない問題は, あえて取り上げていません. 動機や背景のよくわからない問題ばかり解いていても数学の知識はなかなか深まっていかないので, 似たような内容を学ぶのであれば「有名問題」を解いた方が断然効率的だと言えるでしょう. 問題の選定基準がここまで厳しい問題集はないかと思いますが, それゆえに質の高い学習ができるでしょう.

※2: 問題の重要度, 知名度, レベル, タイプの分類は, 1 つの目安としてお考えください. 非常に繊細な分類であるため, 人や解法によって異なる分け方になることがあります.

※3: 融合問題を中心に, 教科書と異なる順序で掲載した問題もあります. 特に, 数列の漸化式, 数列の和, 和の記号, 数学的帰納法 (数学 B) は, 諸分野の基礎としてさまざまな定理の証明に使われるため, これを認めて数学 I・A・II の問題としたものもあります.

※4: これは大学入試の過去問題集ではなく, “ 高校数学の知識でどのような問題が解決でき, どれほどの定理が証明できるか ” という著者の長年の教材研究の成果をまとめた問題集です. つまり, 題材になる定理や素朴さありきで選ばれた天然物の集まりであるため, 問題のレベルはさまざまです. 参考になる入試問題の大学名を記した問題もありますが, 実際の入試問題との違いには十分ご注意ください.

索引 (用語・背景から問題へ)

　あ＞　か＞　さ＞　た＞　な＞　は＞　ま＞　や＞　ら＞　わ＞
　※かぎかっこ「」のついた用語: 高校の教科書に (必ずしも) 載っていないもの

な

は

「バーゼル問題」
「バウムクーヘン分割の公式」
「パスカルの法則」: 証明, 二項定理の導出
「パドヴァン数列」
「ハドヴィガー=フィンスラーの不等式」
「バナッハの不動点定理」
「バナッハのマッチ箱」
「ハノイの塔」
パラボラ・アンテナ
「反転」
「$p$ 進付値」: 「準同型性」,「三角不等式」
「ピタゴラスの $3$ つ組」(まとめ): 公式 (代数的証明), 公式 (幾何的証明), 公式 (三角法的証明), 性質 (媒介変数表示), 性質 (方程式),「ピタゴラス変換」, 恒等式
「ピタゴラスの $4$ つ組」(まとめ): 性質, 恒等式
「非調和比」→「複比」
「ピトーの定理」
「ビネの公式」
「微分方程式」: 三角関数, 指数関数,「ロジスティック方程式」, 排水時の水面の高さ
「ファンデルモンドの畳み込み」
「フィボナッチ数列」(まとめ 1, まとめ 2, まとめ 3):「ビネの公式」と和,「一般リュカ数列」,「カッシーニの公式」, 「マチンの公式」の類似, 部分列の漸化式, 「加法定理」と「$2$ 倍公式」, 性質 (整除),「ゼッケンドルフの定理」, 隣接項の比の極限, 三角関数表現
「夫婦円卓問題」
「ブールの不等式」
「フェルマー数」:「フェルマー素数」, 素数の無限性
「フェルマー点 (三角形の)」: 特徴付け, 作図
「フェルマーの小定理」(まとめ): 合同式, 二項定理, 多項定理など
「フェルマーの $2$ 平方和定理」
「フェルマー予想」
「フォイエルバッハの定理」: 三角関数, ベクトル
「フォンタナの三角形」
「複比」: 不変性, $4$ 点が円周上にあるための条件
「複利計算」
「双子素数」「三つ子素数」
「ブラーマグプタの公式」: 余弦定理, 「ヘロンの公式」を利用
「ブラーマグプタの恒等式」:「ペル方程式」への応用
「ブラーマグプタの三角形」
「ブラーマグプタ=フィボナッチ恒等式」: 式と証明, 複素数平面
「ブレートシュナイダーの公式」
「フラクタル図形」:「コッホ雪片」「メンガーのスポンジ」
「プラスチック数」
「ブロカール点 (三角形の)」: 接弦定理,「ヘロンの公式」, 三角関数
「フロベニウス写像」
「フロベニウスの硬貨交換問題」
平均値の定理: 積分法
「ベイズの定理」
「平方三角数」
「平方四角錐数」
「平面充填」: $1$ 種類の正多角形, 多種類の正多角形
「ベータ関数」(まとめ): $2$ 次関数, $3$ 次関数, $4$ 次関数, 整数の組での値
「ヘッセ標準形 (直線の)」
「ベル数」
「ペル数」: 公式,「一般リュカ数列」,「平方三角数」
「ヘルダーの不等式」
「ベルトラン=チェビシェフの定理」
「ベルヌーイ多項式」: $2$ 次, 一般
「ベルヌーイの不等式」(まとめ): 数学的帰納法, 関数の極限, 微分法
「ベルヌーイらせん」→らせん
「ペル方程式」(まとめ): 一般解,「一般リュカ数列」, 解なし, 解の生成,「平方三角数」, 連立漸化式, 「ブラーマグプタの三角形」
「ヘロンの公式」: 余弦定理, 三角形の内接円と傍接円, 三角関数の加法定理
「ヘロンの三角形」(まとめ)
「包除原理」
方べきの定理: 図形と方程式, ベクトル
「包絡線」: 放物線, アストロイド
「ホッケー・スティック恒等式」
「ポリアの壺」: 確率, 白玉の個数の期待値
「ポリアの定理 (整数値多項式に関する)」
「ポンスレの閉形定理」:「チャップル=オイラーの定理」, 円周と放物線
「ボンフェローニの不等式」

「ライプニッツの公式 (高階導関数)」
「ラグランジュの恒等式」:「ブラーマグプタ=フィボナッチ恒等式」, 「コーシー=シュワルツの不等式」の導出
「ラグランジュの三角恒等式」
「ラグランジュの補間公式」
らせん:「黄金らせん」,「等角らせん」の性質, 面積, 長さ
「ラミの定理」
「ラメの定理」
「ランダム・ウォーク」
「リーマン・ゼータ関数」: 平方数の逆数の和, 立方数の逆数の和,「調和級数」, 収束域,「バーゼル問題」
リサジュー曲線: 面積 1, 面積 2
「立方体倍積問題」
「リュカ数列」
「リュカのキャノンボール問題」
「類似中線 (三角形の)」:「類似重心 (三角形の)」の存在, 「類似重心 (三角形の)」の特徴付け, 作図法
累乗数の和を表す多項式: 存在, 性質
「ルジャンドル多項式」
「ルジャンドルの公式」: 証明, 応用
「ルモワーヌ点 (三角形の)」→「類似中線 (三角形の)」
「レイリー=ビーティの定理」
「レームスの不等式」
「レギオモンタヌスの問題」: 方べきの定理, 三角関数
レムニスケート: 極座標表示, 面積, 周の長さ
「連分数展開 (無理数の)」: 「近似分数」, 数列の一般項, 数列の極限
「ロジスティック方程式」: 数列,「微分方程式」
「ロピタルの定理」: $\log x/x$ の極限

わ

「ワイエルシュトラス置換」:「ピタゴラスの $3$ つ組」
「ワイエルシュトラスの近似定理」

課題学習

　課題学習のテーマの候補については, こちらを参照されたい.

有名問題・定理から学ぶ数学

Well-Known Problems and Theorems in Mathematics