有名問題・定理から学ぶ数学

Well-Known Problems and Theorems in Mathematics

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有名問題・定理から学ぶ高校数学(339 問)

有名問題

 このサイトでは,
問題設定・数値設定の動機が明確で素朴な問題
のうち,
  • 古典的な(歴史的によく知られた, 由緒ある)問題, または
  • 重要な定理・深い理論的背景に基づいた問題, または
  • 応用面で重要な問題
「有名問題」と呼びます. その中から, 特に
高校数学の重要な概念・定理・公式を学ぶのにふさわしい問題
をまとめています(問題は随時, 追加・更新中). 多少難しい問題もありますが, 問題の動機がとことん突き詰められた, 素朴で本質的な問題ばかりを集めました. まずはこのような価値ある問題があることを知って, それを解くことを目標に勉強を進めてみてください. きっと数学の意義深さ, 楽しさを感じてもらえると思います.
 特に大学入試では, 「有名問題」やそのアレンジがよく出題されています. 「有名問題」を一定数解いていくことで, 数学的センスを磨き, 幅広く深い知識を身につけながら, 確実に実力をつけていくことができるので, 皆さまの受験勉強にぜひお役立てください(※1).
 問題のレベルは, 次の通りです.
†:基本, ‡:標準, ‡†:実戦, ‡‡:発展
 「◎」がついた問題を解けば, 要点の学習が一通りできます.
 「〃」がついた問題は, 前問の類題です.

数学 I (28 問)

数と式

◎‡ 《$2^n-1$ がメルセンヌ素数である条件》
対偶法
〃‡ 《$2^n+1$ がフェルマー素数である条件》
対偶法
 ‡ 《アイゼンシュタイン多項式》
対偶法
◎† 《$2$ 数の最大値・最小値と絶対値の関係》
絶対値
◎† 《$2$ 次体の性質》
平方根の性質
◎† 《リュカ数を表す対称式の値》
平方根の性質
 ‡†《レイリーの定理》
ガウス記号

$2$ 次関数

◎† 《コの字型のレールの断面積の最大値》
$2$ 次関数の最大・最小
 ‡ 《紙を折った部分の面積の最小値》
$2$ 次関数の最大・最小
 ‡ 《チルンハウス変換による $2$ 次方程式の解法》
$2$ 次方程式
◎† 《黄金長方形》
$2$ 次方程式
 ‡ 《複 $2$ 次方程式》
$2$ 次方程式
◎‡ 《$n$ 変数のコーシー=シュワルツの不等式》
$2$ 次不等式

図形と計量

 ‡ 《第一余弦定理 $\Longrightarrow$ 第二余弦定理》
余弦定理
◎‡ 《余弦定理による中線定理の証明》
余弦定理
◎‡ 《第一トレミーの定理》
余弦定理
 ‡ 《第二余弦定理 $\Longrightarrow$ 正弦定理》
正弦定理
◎† 《角の二等分線の性質》
正弦定理
 ‡ 《チャップル=オイラーの定理》
正弦定理
 ‡ 《線分を折り曲げてできる三角形》
三角形の成立条件
◎† 《ヘロンの三角形》
三角形の面積
◎‡†《ヘロンの公式》
三角形の面積
 ‡†《三角形のブロカール角の範囲》
三角形の面積
◎‡†《三角形の面積と外接円・内接円・傍接円》
三角形の面積
 ‡ 《三角形の辺の長さと面積の不等式》
三角形の面積
 ‡ 《第二トレミーの定理》
四角形の面積
 ‡ 《ブラーマグプタの公式》
四角形の面積
◎‡†《球に内接する正四面体》
空間図形の計量

数学 A (47 問)

整数の性質

 ‡‡《フィボナッチ数列の加法定理と性質》
整数の剰余
◎‡ 《フェルマーの小定理と RSA 暗号系の原理》
整数の剰余
 ‡ 《フェルマーの小定理とシェルピンスキー数》
整数の剰余
◎‡†《$p$ 進付値》
素数
 ‡†《カーマイケル数の性質》
素数
 ‡ 《$1$ 次不定方程式と最大公約数》
$1$ 次不定方程式
◎‡†《$1$ 次不定方程式とイデアル》
$1$ 次不定方程式
◎‡‡《ラメの定理》
ユークリッドの互除法
◎‡†《ピタゴラス数の性質》
$2$ 次不定方程式
 ‡‡《ペル方程式の一般解》
$2$ 次不定方程式
 ‡ 《解をもたないペル方程式》
$2$ 次不定方程式
◎‡†《エジプト分数に関する不定方程式》
その他の不定方程式
 ‡ 《円周の方程式の有理数解》
その他の不定方程式
 ‡†《カタラン予想に関する方程式》
その他の不定方程式
 ‡†《指数関数を含む方程式の整数解》
その他の不定方程式
◎‡ 《プラトンの多面体定理》
不等式の整数解
 ‡†《$1$ 未満のエジプト分数の最大値》
不等式の整数解
◎‡ 《$n$ 進法における基本的な倍数判定法》
記数法
 ‡†《$n$ 進法における特殊な倍数判定法》
記数法
 ‡ 《有理数の分類》
記数法
◎‡†《整数値多項式の特徴付け》
整数のその他の問題

場合の数

◎† 《オイラーの関数》
個数定理
◎† 《約数の個数の公式》
積の法則
◎‡†《正多面体の面の塗り分け》
順列
◎† 《パスカルの法則》
二項係数
 ‡ 《正多角形の頂点を結ぶ三角形の個数》
組合せ
 ‡†《カタラン数》
組合せ
 ‡ 《区別できる玉の組分け》
組分け
 ‡†《区別できない玉の組分け》
組分け
◎‡ 《スターリング数》
組分け
 ‡ 《ベル数》
組分け

確率

 ‡ 《じゃんけんであいこになる確率》
余事象の確率
◎‡†《くじ引きの公平性》
確率の基本性質
 ‡ 《$n$ 回のじゃんけんで順位がつく確率》
確率の基本性質
◎‡†《ポリアの壺》
確率の基本性質
 ‡ 《くじ引きの条件付き確率》
条件付き確率
◎‡ 《コイン投げの確率の最大値》
反復試行の確率
 ‡ 《直線上のランダム・ウォーク》
反復試行の確率
◎‡†《モンティ・ホール問題》
条件付き確率

図形の性質

◎‡ 《三角形の五心》
チェバの定理
 ‡ 《三角形のジェルゴンヌ点とナーゲル点》
チェバの定理
 ‡ 《三角形のキーペルト点》
チェバの定理
◎‡ 《デザルグの定理とその逆》
メネラウスの定理
 ‡ 《ニュートンの定理》
メネラウスの定理
◎‡†《三角形のブロカール点の存在》
接弦定理
◎‡ 《ウォレス=シムソンの定理とその逆》
円に内接する四角形
◎‡ 《レギオモンタヌスの問題》
方べきの定理

数学 II (94 問)

式と証明

◎‡ 《$3$ 次対称式の因数分解》
$3$ 次式の展開
 ‡‡《タクシー数に関する方程式の整数解》
$3$ 次式の因数分解
◎‡ 《二項係数の関係式とフェルマーの小定理》
二項定理
 ‡ 《フロベニウス写像》
二項定理
 † 《二項係数の和と交代和》
二項定理
 ‡ 《ファンデルモンドの畳み込み》
二項定理
◎‡†《整数値多項式に関するポリアの定理》
整式の除法
◎‡ 《ラグランジュの恒等式とその応用》
恒等式
 ‡†《ブラーマグプタの恒等式とペル方程式》
恒等式
 † 《合比・除比・合除比の理》
比例式・分数式
◎† 《加比の理》
比例式・分数式
 † 《シュケの不等式》
比例式・分数式
◎† 《$2$~$4$ 変数の相加・相乗平均の不等式》
不等式の証明
 ‡ 《四隅までの距離の和の最小値》
不等式の証明
 ‡ 《因数分解と $3$ 変数相加・相乗平均の不等式》
不等式の証明
 ‡†《並び替えと相加・相乗平均の不等式》
不等式の証明
 ‡†《和・積の関係と相加・相乗平均の不等式》
不等式の証明
 ‡ 《レームスの不等式》
不等式の証明
 ‡ 《アルキメデスの開平法》
不等式の証明
 † 《チェビシェフの和の不等式》
不等式の証明
 ‡ 《シューアの不等式》
不等式の証明
◎‡ 《マンハッタン距離》
不等式の証明
 ‡†《三角不等式と方程式の解の評価》
不等式の証明

複素数と方程式

 † 《複素数体における簡約法則》
複素数
◎‡ 《整数全体より広い数の世界での数の分解》
複素数
◎‡ 《$2$ 次方程式の解の公式》
解と係数の関係
 ‡†《掛谷流の $2$ 次方程式の解の評価》
解と係数の関係
◎‡ 《虚数単位の最小多項式》
因数定理
 ‡†《一致の定理とラグランジュの補間公式》
因数定理
◎‡ 《有理根定理》
高次方程式
◎‡ 《目盛付き定規が使える場合の立方体倍積問題》
高次方程式
 ‡†《カルダーノによる $3$ 次方程式の解法》
高次方程式
 ‡ 《複 $2$ 次方程式》
高次方程式
 ‡†《フェラーリによる $4$ 次方程式の解法》
高次方程式

図形と方程式

◎‡ 《距離の公式による中線定理の証明》
$2$ 点間の距離
 ‡ 《シュタインハウスの問題》
$2$ 点間の距離
 ‡ 《直線のヘッセ標準形》
直線の方程式
◎‡†《$3$ つの円周の根心》
直線の平行条件
◎‡ 《三角形の垂心》
直線の垂直条件
◎‡ 《三角形の面積の公式とその応用》
点と直線の距離
◎‡†《ピタゴラス数の公式の幾何的証明》
円周と直線
◎‡ 《円周の極線》
円周の接線
 ‡†《$2$ つの円周の根軸》
円周の接線
 ‡‡《ポンスレの閉形定理にまつわる問題》
円周の接線
◎‡ 《アポロニウスの円》
軌跡
◎‡ 《直線の通過領域》
不等式の表す領域
 ‡†《じゃんけんに関する線形計画問題》
不等式の表す領域

三角関数

◎‡ 《三角関数の超越性にまつわる問題》
三角関数
◎‡ 《加法定理のさまざまな証明》
加法定理
 ‡ 《正弦定理 $\Longrightarrow$ 第一余弦定理》
加法定理
 ‡ 《ナポレオンの定理》
加法定理
◎‡ 《レギオモンタヌスの問題》
加法定理
 ‡ 《オノの不等式》
加法定理
 ‡ 《すべての角の正接が整数であるような三角形》
加法定理
 ‡†《余接の和の範囲》
加法定理
 † 《正多角形の面積》
$2$ 倍角の公式
 ‡†《ブレートシュナイダーの公式》
$2$ 倍角の公式
 ‡†《ピタゴラス数の公式の三角法的証明》
$2$ 倍角の公式
◎‡ 《正五角形の対角線の長さ》
$2$~$3$ 倍角の公式
 ‡†《正七角形調和》
$2$~$4$ 倍角の公式
◎‡‡《チェビシェフ多項式の存在》
$n$ 倍角の公式
 ‡‡《チェビシェフ多項式の性質》
$n$ 倍角の公式
 ‡†《$\pi$ の有理数倍の余弦が有理数になる条件》
$n$ 倍角の公式
◎‡†《第一トレミーの定理》
積和の公式
 ‡†《紙が重なった部分の面積の最小値》
積和の公式
 ‡†《三角形の正弦の平方和と余弦の積》
和積の公式
◎‡‡《フォイエルバッハの定理》
和積の公式
◎† 《円周に内接する長方形の周長の最大値》
三角関数の合成

指数と対数

◎† 《シュタイナーの問題に関する累乗根の比較》
累乗根
 ‡ 《$2^{\sqrt 2}$ の無理性にまつわる問題》
指数法則
◎‡ 《双曲線関数の加法定理》
指数関数
◎‡ 《指数不等式と高度合成数》
指数関数
 † 《対数関数の凸性に関する対数の比較》
対数関数
◎‡ 《ド・メレの $2$ つのさいころ》
対数関数

微分法

◎‡ 《整関数のグラフと直線が接する条件》
接線の方程式
 ‡ 《放物線の直交する接線の交点の軌跡》
接線の方程式
 ‡ 《放物線に $2$ 本の接線が引ける点の存在範囲》
接線の方程式
 ‡†《放物線の共通接線と相似》
接線の方程式
◎‡†《$3$ 次関数のグラフの対称性》
整関数の極値
 ‡†《$4$ 次関数のグラフの対称性》
整関数の極値
 ‡ 《チェビシェフ多項式に関する最大値》
関数の最大・最小
 ‡ 《直方体の体積の最大値》
関数の最大・最小
 ‡ 《球に内接する円柱の体積の最大値》
関数の最大・最小
 ‡ 《球に内接する円錐の体積の最大値》
関数の最大・最小
◎‡ 《三角形の等周問題》
関数の最大・最小
 ‡ 《チェビシェフ多項式にまつわる方程式》
方程式への応用
◎‡†《$3$ 次関数のグラフの接線の交点の存在範囲》
方程式への応用

積分法

 ‡ 《シンプソンの公式にまつわる等式》
整関数の定積分
 ‡ 《ルジャンドル多項式》
偶・奇関数の定積分
◎‡ 《ベルヌーイ多項式と累乗和の公式》
定積分の等式
 ‡†《アルキメデスの定理》
面積
◎‡ 《放物線と $2$ 接線が囲む図形の面積》
面積
 ‡ 《放物線と直交する接線が囲む図形の面積》
面積
 ‡†《$3$ 次関数のグラフと接線が囲む図形の面積》
面積

数学 B (40 問)

数列

◎‡ 《等差素数列の性質》
等差数列
 ‡†《公差 $2$ の等差素数列》
等差数列
 † 《$3$ 辺の長さが等差数列をなす直角三角形》
等差数列
 ‡ 《$n$ 回以下のじゃんけんで順位がつく確率》
等比数列
◎‡ 《メルセンヌ素数と偶数の完全数》
等比数列
 ‡ 《平方三角数とペル方程式》
和の公式
◎‡‡《$m$ 乗数の和を表す $m+1$ 次多項式》
和の公式
 ‡ 《平方根の整数部分の和》
和の公式
◎‡ 《整数の組と整数の対応》
和の公式
◎‡ 《シュタイナーの平面・空間の分割問題》
階差数列
 ‡ 《円周による平面の分割》
階差数列
 ‡†《モーザーの円の分割問題》
階差数列
◎‡ 《平方数の逆数の和の評価》
さまざまな数列の和
〃‡†《立方数の逆数の和の評価》
さまざまな数列の和
◎‡ 《ハノイの塔》
$2$ 項間線形漸化式
◎‡†《フィボナッチ数列の一般項》
$3$ 項間線形漸化式
 ‡†《カッシーニの公式》
$3$ 項間漸化式
◎‡†《ペル方程式に関する連立漸化式》
連立漸化式
 ‡‡《ピタゴラス変換》
連立漸化式
 ‡ 《$n!$ の多項間漸化式》
特殊な漸化式
◎‡†《シルヴェスター数列の漸化式》
特殊な漸化式
 ‡‡《無理数の近似分数にまつわる数列》
特殊な漸化式
◎‡ 《ロジスティック写像》
特殊な漸化式
 ‡ 《三角形上のランダム・ウォーク》
確率漸化式
 ‡†《破産の確率》
確率漸化式
◎‡†《完全順列の確率》
確率漸化式
 ‡†《くじ引きのサドンデス》
確率漸化式

ベクトル

◎‡ 《重心座標と面積比》
分点の位置ベクトル
 ‡ 《四角形の幾何学的重心》
分点の位置ベクトル
 ‡ 《四角形の物理的重心》
分点の位置ベクトル
◎‡ 《四面体の幾何学的重心》
分点の位置ベクトル
◎‡ 《ニュートンの定理》
共線条件
 ‡ 《ベクトルによる中線定理の証明》
ベクトルの内積
◎‡†《$3$ 点の最小シュタイナー木問題》
ベクトルの内積
◎‡ 《三角形の垂心とオイラー線・$9$ 点円》
ベクトルの垂直条件
 † 《四面体のモンジュ点》
ベクトルの垂直条件
◎‡ 《ベクトルと三角形の面積》
ベクトルの内積の応用
◎‡†《対辺が互いに垂直な等面四面体》
ベクトルの内積の応用
◎‡†《方べきの定理》
ベクトル方程式
◎‡ 《デカルト=グアの定理》
平面の方程式

数学 III (130 問)

複素数平面

◎† 《複素数の絶対値とブラーマグプタの恒等式》
複素数の極形式
 ‡‡《複素数の乗法で閉じた有限集合》
ド・モアブルの定理
◎‡ 《$1$ の $5$ 乗根に関する相反方程式》
$1$ の累乗根
 ‡ 《正多角形の辺と対角線の長さの積》
$1$ の累乗根
 ‡ 《単位円周上の点を結ぶ三角形と四角形》
複素数と図形
◎‡ 《三角不等式》
複素数の絶対値
◎‡ 《複素数平面上の正三角形の成立条件》
回転移動
 ‡ 《ナポレオンの定理》
回転移動
 ‡ 《曲線 $\sqrt x+\sqrt y = 1$ の回転移動》
回転移動
◎‡†《ウォレス=シムソンの定理》
複素数と図形
 ‡ 《共円条件》
半直線のなす角
◎‡†《トレミーの不等式》
複素数と図形
 ‡ 《原点を通る直線に関する対称性》
複素数と図形
 ‡ 《直線の方程式》
複素数と図形
 ‡ 《三角形の外心》
複素数と図形
 ‡ 《座標法》
複素数と図形
 ‡ 《反転による円円対応》
複素数平面上の変換
◎‡ 《$1$ 次分数変換による単位円周の対応》
複素数平面上の変換
 † 《ケイリー変換》
複素数平面上の変換
 ‡ 《ジューコフスキー変換》
複素数平面上の変換

式と曲線

◎‡ 《放物線の軸に平行な光の反射》
放物線
 ‡ 《放物線の焦点・接線・法線の位置関係》
放物線
 ‡†《放物線上の調和点列》
放物線
 ‡ 《楕円の特徴付け》
楕円
 ‡†《楕円に内接する三角形の面積の最大値》
楕円
◎‡ 《楕円の焦点から発せられた光の反射》
楕円
 ‡ 《楕円の接線の長さの最小値》
楕円
 ‡ 《楕円の接線と座標軸が囲む三角形の面積》
楕円
◎‡†《楕円に外接する長方形の面積の最大値》
楕円
◎‡†《双曲線の準円》
双曲線
◎‡ 《双曲線の焦点から発せられた光の反射》
双曲線
 ‡ 《双曲線の接線の漸近線との交点と接点の関係》
双曲線
 ‡ 《双曲線の接線と漸近線が囲む三角形の面積》
双曲線
◎‡ 《$2$ 次曲線の離心率》
$2$ 次曲線
◎‡ 《サイクロイドの媒介変数表示》
曲線の媒介変数表示
 ‡ 《カージオイドの媒介変数表示》
曲線の媒介変数表示
 ‡ 《アステロイドの媒介変数表示》
曲線の媒介変数表示
◎‡ 《$2$ 次曲線の弦の性質》
極座標
 ‡ 《正葉曲線の対称性》
極座標
 ‡ 《レムニスケートの極方程式》
極座標

関数と極限

◎‡ 《周長と面積が等しい長方形》
分数関数
 ‡ 《分数方程式》
分数関数
◎‡ 《無理不等式と相加・相乗平均の不等式》
無理関数
 ‡ 《$n$ 個の数の置換の性質》
合成関数, 逆関数
 ‡ 《$1$ 次分数関数の逆関数》
合成関数, 逆関数
 ‡ 《マチンの公式》
合成関数, 逆関数
◎‡ 《双曲線関数の逆関数》
合成関数, 逆関数
◎‡†《ニュートン法》
挟みうちの原理
 ‡†《縮小関数で定まる数列の極限》
挟みうちの原理
 ‡ 《算術幾何平均に関する極限》
挟みうちの原理
 ‡ 《オイラーの定数にまつわる数列の極限》
数列の極限
 ‡ 《黄金長方形にまつわる無限等比級数》
無限等比級数
◎‡ 《コッホ雪片》
無限等比級数
◎‡ 《ベルヌーイの不等式とネイピア数の評価》
自然対数の底
◎‡ 《ヴィエトの公式》
$\sin x/x$ の極限
◎‡ 《奇数次方程式の実数解の存在》
中間値の定理

微分法

◎‡ 《コーシーの関数方程式》
微分係数
 ‡†《双曲線関数の関数方程式》
微分係数
◎‡ 《三角関数の微分方程式》
高階導関数
 ‡†《高階導関数に関するライプニッツの公式》
積の導関数
◎† 《整式の重根判定法》
積の導関数
◎‡ 《微分積分学におけるシュタイナーの問題》
対数微分法
 ‡ 《$4$ 次関数のグラフの複接線の傾き》
接線の方程式
◎‡ 《座標軸が切り取るアステロイドの接線》
接線の方程式
 ‡†《$\sqrt x+\sqrt y = 1$ に関する面積の最大値》
接線の方程式
 ‡†《放物線の曲率円》
法線の方程式
 † 《定数関数の特徴付け》
平均値の定理
◎‡†《イェンゼンの不等式》
平均値の定理
◎‡†《$x \to \infty$ のとき $f(x) \to \infty$ となる条件》
関数の増減
◎‡ 《凸関数のグラフの接線》
関数の凹凸
 ‡‡《関数のグラフの複接線と変曲点の個数》
関数の凹凸
◎‡ 《正方形の頂点の最小シュタイナー木問題》
関数の最大・最小
◎‡†《円周に内接する三角形の面積の最大値》
関数の最大・最小
 ‡†《座標軸に接する線分の通過範囲》
関数の最大・最小
 ‡ 《与えられた辺長をもつ四角形の面積の最大値》
関数の最大・最小
 ‡ 《点と曲線を結ぶ最短の線分と接線の関係》
関数の最大・最小
◎‡ 《$3$ 次方程式の実数解の個数》
方程式への応用
◎‡ 《$\log x/x$ の極限》
不等式の証明
◎‡ 《指数関数の近似と相加・相乗平均の不等式》
不等式の証明
 ‡ 《関数の増減と相加・相乗平均の不等式》
不等式の証明
 ‡†《ベルヌーイの不等式の一般化と応用》
不等式の証明
 ‡†《ヤングの不等式とその応用》
不等式の証明
 ‡†《円周に内接する $n$ 角形の面積の最大値》
不等式の証明
 ‡†《$2$ 次関数と指数関数の比較》
不等式の証明
◎‡ 《等角らせんの性質》
速度
 ‡ 《等速円運動》
加速度
◎‡†《放物線に関する面積速度一定の法則》
加速度

積分法

◎‡ 《三角関数の直交性》
三角関数の定積分
 ‡ 《定積分に関するシュワルツの不等式》
定積分の不等式
 ‡ 《積分の平均値の定理》
定積分の不等式
◎‡ 《マーダヴァ=ライプニッツ級数》
定積分の不等式
 ‡†《定積分に関するヤングの不等式》
定積分の不等式
 ‡ 《簡易版スターリングの公式》
定積分の不等式
 ‡†《汎調和級数の収束域》
定積分の不等式
◎‡†《ウォリスの公式》
定積分の漸化式
 ‡‡《精密版スターリングの公式》
定積分の漸化式
 ‡‡《バーゼル問題》
定積分の漸化式
 ‡†《ネイピア数の無理性》
定積分の漸化式
 ‡‡《円周率の無理性》
定積分の漸化式
◎‡†《ベータ関数と面積》
面積
 † 《円の面積》
面積
 ‡ 《楕円の共通部分の面積》
面積
 ‡ 《リサージュ曲線が囲む図形の面積(陰関数)》
面積
 † 《リサージュ曲線が囲む図形の面積(媒介変数)》
面積
◎‡ 《サイクロイドの面積》
面積
 ‡ 《らせんと座標軸で囲まれた図形の面積》
面積
 ‡ 《面積による双曲線関数の特徴付け》
面積
 ‡†《ヤギの問題》
面積
 ‡ 《正葉曲線で囲まれた図形の面積》
面積
◎‡ 《メルカトル級数とその項の並び替え》
区分求積法
 ‡†《正方形と内接円上にある格子点の個数の比》
区分求積法
 ‡ 《$2$ 本の円柱の共通部分の体積》
体積
◎‡ 《$3$ 次元アステロイドの体積》
体積
◎† 《トーラスの体積》
体積
 ‡†《バウムクーヘン分割の公式》
体積
◎‡ 《サイクロイドの長さ》
曲線の長さ
 ‡ 《カージオイドの長さ》
曲線の長さ
 ‡ 《アステロイドの長さ》
曲線の長さ
 ‡†《円の伸開線の長さ》
曲線の長さ
 ‡ 《らせんの長さ》
曲線の長さ
 ‡ 《懸垂線の長さ》
曲線の長さ
◎‡ 《放物線の長さ》
曲線の長さ
 ‡ 《ガブリエルのラッパ》
広義積分
◎‡†《ガンマ関数》
広義積分
 ‡ 《減衰曲線に関する面積の極限》
広義積分
 ‡ 《デカルトの葉線で囲まれた図形の面積》
広義積分
 ‡†《ガウス積分》
広義積分
 ‡‡《曲線の等周問題》
広義積分
 ‡†《指数関数の微分方程式》
微分方程式
◎‡†《ロジスティック方程式》
微分方程式

※1: 洗練された「有名問題」を集めるため,「典型問題」「頻出問題」「伝説的問題」であっても, 数値設定の動機が不明確であるなど, 上記の条件を満たさない問題は, あえて取り上げていません. 動機や背景のよくわからない問題ばかり解いていても数学の知識はなかなか深まっていかないので, 似たような内容を学ぶのであれば「有名問題」を解いた方が断然効率的だと言えるでしょう. 問題の選定基準がここまで厳しい問題集はないかと思いますが, それゆえに質の高い学習ができると信じています.

※2: 数列の漸化式, 数学的帰納法(数学 B)はさまざまな定理の証明に使われるため, これを認めて数学 I・A・II の問題としたものもあります.

※3: 大学入試問題を参考にした問題もありますが, その多くで実際に出題された問題よりも更に詳しい内容を扱っています. 原文は掲載を控えている(内容を吟味のうえ一部を追加・削除し, 表現を改めている)ため, 実際に出題された問題との違いには十分ご注意ください.

索引(用語・背景から問題へ)

         
 ※かぎかっこ「」のついた用語: 高校の教科書に(必ずしも)載っていないもの