有名問題・定理から学ぶ高校数学 (619 問)
お知らせ
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このページから, 特に重要な問題を厳選しました.
に大きな特長がある, 高校数学の本格派問題集です.
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- 場当たり的な問題ではなく明確な動機をもつ “ 有名問題 ” のみから高校数学の主要なテーマを深く学ぶことができるという構成
- 大学入試後を見据えた問題の背景の詳しい解説
有名問題
このサイトでは,
を「有名問題」と呼びます.
その中から, 特に
特に大学入試では, 「有名問題」やそのアレンジがよく出題されています. 「有名問題」を一定数解いていくことで, 数学的センスを磨き, 幅広く深い知識を身につけながら, 確実に実力をつけていくことができるので, 皆さまの受験勉強にぜひお役立てください (※1).
問題設定・数値設定の動機が明確で素朴な問題
のうち, 将来的に知名度が高くなる可能性のある問題を含めて,
- 古典的な (歴史的によく知られた, 由緒ある) 問題, または
- 重要な定理・深い理論的背景に基づいた問題, または
- 応用面で重要な問題
高校数学の重要な概念・定理・公式を学ぶのにふさわしい問題
をまとめています (問題は随時, 追加・更新中).
多少難しい問題もありますが, 問題の動機がとことん突き詰められた, 素朴で本質的な問題ばかりを集めました.
まずはこのような価値ある問題があることを知って, それを解くことを目標に勉強を進めてみてください.
きっと数学の意義深さ, 楽しさを感じてもらえると思います.特に大学入試では, 「有名問題」やそのアレンジがよく出題されています. 「有名問題」を一定数解いていくことで, 数学的センスを磨き, 幅広く深い知識を身につけながら, 確実に実力をつけていくことができるので, 皆さまの受験勉強にぜひお役立てください (※1).
凡例・絞り込み
チェックを入れた項目に当てはまるすべての問題が表示されます (条件は AND ではなく OR であることに注意).
例えば,「すべて」のチェックを外し,「重要」にチェックを入れると, 特に重要な問題 ( マーク, 学習事項ごとに 1~2 問) が表示されます.
「重要」については, その類題 ( マーク) も表示されます.
改善のために随時更新を行っておりますので, ご了承ください (※2).
重要度・知名度
レベル
タイプ
代数学分野
数と式
《xn±yn の因数分解》多項式の展開
《ソフィー・ジェルマンの恒等式》因数分解
《実数の順序に関する公理から導かれる性質》実数の大小関係
《2 次体の性質》平方根の性質
《2 次体のノルムと単数》平方根の性質
《リュカ数を表す対称式の値》平方根の性質
《二重根号が外せる条件》二重根号
《実数の四捨五入》ガウス記号
《エルミートの恒等式》ガウス記号
《レイリー=ビーティの定理》ガウス記号
2 次関数
《2 次関数のグラフの相似性》2 次関数のグラフ
《鉛直投げ上げの最高点の高さ》2 次関数の最大・最小
《コの字型のレールの断面積の最大値》2 次関数の最大・最小
《紙を折った部分の面積の最小値》2 次関数の最大・最小
《チルンハウス変換による 2 次方程式の解法》2 次方程式
《黄金長方形》2 次方程式
《複 2 次方程式》2 次方程式
《多変数のコーシー=シュワルツの不等式》2 次不等式
整数の性質 (数学と人間の活動)
《連続する n 個の正の整数の積》整数の剰余
《フィボナッチ数列の性質》整数の剰余
《3 個の平方数の和として表される整数》整数の剰余
《シェルピンスキー数》合同式
《1 次不定方程式と最大公約数》1 次不定方程式
《1 次不定方程式とイデアル》1 次不定方程式
《ユークリッドの補題》1 次不定方程式
《中国式剰余定理》1 次不定方程式
《フロベニウスの硬貨交換問題》1 次不定方程式
《p 進付値の準同型性とルジャンドルの公式》素因数分解の一意性
《p 進付値の強三角不等式》素因数分解の一意性
《メビウス関数の乗法性》素因数分解の一意性
《整数の根基の性質》素因数分解の一意性
《カーマイケル数の性質》合成数
《ラメの定理》ユークリッドの互除法
《文字式で表された 3 数の最大公約数》ユークリッドの互除法
《ピタゴラスの 3 つ組の公式の代数的証明》2 次不定方程式
《ピタゴラスの 3 つ組の性質: 方程式》2 次不定方程式
《ピタゴラスの 4 つ組の性質: 方程式》2 次不定方程式
《x2-y2=a の整数解》2 次不定方程式
《ペル方程式の一般解》2 次不定方程式
《解をもたないペル方程式》2 次不定方程式
《円周の方程式の有理数解》2 次不定方程式
《周長と面積が等しい直角三角形》2 次不定方程式
《非自明な平方四角錐数》高次不定方程式
《フェルマー予想の n=4 の場合》高次不定方程式
《エジプト分数に関する不定方程式》分数型の不定方程式
《1 種類の正多角形による平面充填形》分数型の不定方程式
《多種類の正多角形による平面充填形》分数型の不定方程式
《カタラン予想に関する方程式》指数関数を含む不定方程式
《イェスマノヴィッチ予想に関する方程式》指数関数を含む不定方程式
《指数関数を含む方程式の整数解》指数関数を含む不定方程式
《1 未満のエジプト分数の最大値》不等式の整数解
《n 進法における基本的な倍数判定法》倍数判定法
《n 進法における特殊な倍数判定法》倍数判定法
《整数値多項式の特徴付け》整数の他の問題
《有理数のエジプト分数による表示》整数の他の問題
式と証明
《3 次対称式の因数分解》3 次式の展開・因数分解
《タクシー数にまつわる方程式》3 次式の展開・因数分解
《パスカルの法則と二項定理》二項定理
《フロベニウス写像》二項定理
《二項係数の和と交代和》二項定理
《メビウス関数の基本公式》二項定理
《ファンデルモンドの畳み込み》二項定理
《二項係数を含む多項式の和》二項定理
《整数値多項式に関するポリアの定理》多項式の除法
《奇数番目のフィボナッチ数からなる数列の…》多項式の除法
《加比の理》比例式
《シュケの不等式》比例式
《ヴァイツェンベックの不等式》平方完成の利用
《ハドヴィガー=フィンスラーの不等式》平方完成の利用
《2~4 変数の相加・相乗平均の不等式》相加・相乗平均の不等式
《四隅までの距離の和の最小値》相加・相乗平均の不等式
《因数分解と 3 変数相加・相乗平均の不等式》相加・相乗平均の不等式
《並べ替えと相加・相乗平均の不等式》相加・相乗平均の不等式
《和・積の関係と相加・相乗平均の不等式》相加・相乗平均の不等式
《レームスの不等式とオイラーの不等式》相加・相乗平均の不等式
《コーシー=シュワルツの不等式と三角形の…》シュワルツの不等式
《ラグランジュの恒等式とコーシー=シュワ…》シュワルツの不等式
《三角不等式とマンハッタン距離》三角不等式
《三角不等式と高次方程式の解の評価》三角不等式
《2 乗平均平方根と相加平均の関係》いろいろな不等式
《アルキメデスの開平法》いろいろな不等式
《チェビシェフの和の不等式》いろいろな不等式
《シューアの不等式》いろいろな不等式
《ネスビットの不等式》いろいろな不等式
複素数と方程式
《複素数の実部と虚部》複素数
《2 次方程式の解の公式》解と係数の関係
《一般リュカ数列の恒等式》解と係数の関係
《掛谷流の 2 次方程式の解の評価》解と係数の関係
《2 次体の整数環》解と係数の関係
《マルコフの 3 つ組とその類似》解と係数の関係
《二重根号が外せる条件》解と係数の関係
《3 次方程式の判別式》解と係数の関係
《虚数単位の最小多項式》因数定理
《累乗根の性質》高次方程式
《有理根定理と累乗根の無理性》高次方程式
《実数係数方程式の共役な解》高次方程式
《有理数係数方程式の共役な解》高次方程式
《カルダーノによる 3 次方程式の解法》高次方程式
《複 2 次方程式》高次方程式
《フェラーリによる 4 次方程式の解法》高次方程式
数列
《多変数版のベルヌーイの不等式》数学的帰納法
《階乗進法にまつわる恒等式》数学的帰納法
《2n と n2 の比較》数学的帰納法
《2 次方程式の解のべき乗和で表される整数》数学的帰納法
《カッシーニの公式》数学的帰納法
《フィボナッチ数列の加法定理と 2 倍公式》数学的帰納法
《立方の和と和の平方が等しい数列》数学的帰納法
《ゼッケンドルフの定理》数学的帰納法
《1 人飛ばしの継子立て》数学的帰納法
《等差素数列の性質》等差数列
《公差 2 の等差素数列》等差数列
《調和数列をなす 3 数》等差数列
《多角数の一般項》等差数列の和
《フォンタナの三角形》等差数列の和
《既約分数の個数と和》等差数列の和
《等差数列と等比数列の関係》等比数列
《ホイヘンスの第 2 問題》等比数列
《n 回以下のじゃんけんで順位がつく確率》等比数列の和
《定期預金に関する複利計算》等比数列の和
《等比数列の和と逆数和と積の関係》等比数列の和
《メルセンヌ素数と偶数の完全数》約数の和
《友愛数に関するオイラーの法則》約数の和
《平方三角数とペル方程式》和の公式
《多角錐数の一般項》和の公式
《数列の積の和の最大値》和の公式
《4 乗数の和の公式》和の公式
《累乗数の和を表す多項式の存在》和の公式
《累乗数の和を表す多項式の性質》和の公式
《平方根の整数部分の和》和の公式
《整数の組と整数の対応》和の公式
《円周による平面の分割》階差数列
《モーザーの円の分割問題》階差数列
《角錐の最短往復数に関する数列》階差数列
《等差数列と等比数列の積の和》いろいろな数列の和
《連続する正の整数の積の和》いろいろな数列の和
《平方数の逆数の和の評価》いろいろな数列の和
《立方数の逆数の和の評価》いろいろな数列の和
《ハノイの塔》2 項間線形漸化式
《中心付き多角数の一般項》2 項間線形漸化式
《二分木の巡回セールスマン問題》2 項間線形漸化式
《フィボナッチ数列の一般項と和》3 項間線形漸化式
《ペル方程式に関する連立漸化式》連立漸化式
《対称形の連立漸化式》連立漸化式
《ピタゴラス変換》連立漸化式
《無理数の連分数展開にまつわる数列の一般項》いろいろな漸化式
《無理数の近似分数にまつわる数列》いろいろな漸化式
《n! の多項間漸化式》いろいろな漸化式
《シルヴェスター数列の漸化式》いろいろな漸化式
《フェルマー数の数列の漸化式》いろいろな漸化式
《ロジスティック写像》いろいろな漸化式
《三角形の周上のランダム・ウォーク》確率漸化式
《破産の確率》確率漸化式
《完全順列の確率》確率漸化式
《くじ引きのサドンデス》確率漸化式
解析学分野
図形と計量
《カラビの三角形》三角比
《マラルディの角度》余弦定理
《余弦定理による中線定理の証明》余弦定理
《第一トレミーの定理》余弦定理
《第二余弦定理 ⇒ 正弦定理》正弦定理
《角の二等分線の性質》正弦定理
《チャップル=オイラーの定理》正弦定理
《三角形の面積》三角形の面積
《角の二等分線の性質》三角形の面積
《複比の不変性》三角形の面積
《ヘロンの三角形》三角形の面積
《ヘロンの公式とブラーマグプタの三角形》三角形の面積
《三角形のブロカール角の範囲》三角形の面積
《三角形の面積と外接円・内接円・傍接円》三角形の面積
《三角形の辺の長さと面積の不等式》三角形の面積
《四角形の対角線と面積》四角形の面積
《四角形の対辺の長さの和の積と面積》四角形の面積
《第二トレミーの定理》四角形の面積
《ブラーマグプタの公式》四角形の面積
《オイラーのレンガ》空間図形の計量
《正多面体の外接球の半径》空間図形の計量
《正多面体の内接球の半径》空間図形の計量
《正多面体の表面積》空間図形の計量
《正多面体の体積》空間図形の計量
《球に内接する正四面体の体積》空間図形の計量
《等面四面体の存在と計量》空間図形の計量
三角関数
《余弦・正弦の加法定理》加法定理
《正弦定理 ⇒ 第一余弦定理》加法定理
《正弦定理 ⇒ 第二余弦定理》加法定理
《角の二等分線の傾き》加法定理
《ナポレオンの定理》加法定理
《オノの不等式》加法定理
《レギオモンタヌスの問題》加法定理
《余接の和の範囲》加法定理
《モリーの法則》2 倍角の公式
《円に接する正多角形の周の長さの関係式》2 倍角の公式
《正多角形の面積》2 倍角の公式
《斜方投射の最大水平到達距離》2 倍角の公式
《ブレートシュナイダーの公式》2 倍角の公式
《ピタゴラスの 3 つ組の公式の三角法的証明》2 倍角の公式
《正五角形の対角線の長さ》3 倍角の公式
《正七角形調和》3 倍角の公式
《cos(π/9) を解にもつ 3 次方程式》3 倍角の公式
《チェビシェフ多項式の存在》n 倍角の公式
《チェビシェフ多項式の性質》n 倍角の公式
《ニーヴェンの定理》n 倍角の公式
《第一トレミーの定理》積和の公式
《紙が重なった部分の面積の最小値》積和の公式
《正接定理》和積の公式
《鋭角三角形の垂足三角形の周長と面積》和積の公式
《三角形の内角の余弦の和と正弦の和》和積の公式
《三角形の辺長の平方和と形状》和積の公式
《フォイエルバッハの定理》和積の公式
《円に内接する長方形の周長の最大値》三角関数の合成
《単位正三角形に外接する正方形》三角関数の合成
指数関数・対数関数
《双曲線関数の加法定理》指数法則
《ド・メレの 2 つのさいころ》対数関数
微分法 (文系・理系共通)
《xn の導関数》微分係数・導関数
《放物線の準線》接線
《放物線の極線》接線
《3 次関数のグラフの対称性》関数の極値
《4 次関数のグラフの対称性》関数の極値
《チェビシェフ多項式に関する最大値》関数の最大・最小
《直方体の箱の容積の最大値》関数の最大・最小
《球に内接する三角柱の体積の最大値》関数の最大・最小
《球に内接する円柱の体積の最大値》関数の最大・最小
《球に内接する円錐の体積の最大値》関数の最大・最小
《表面積が一定である円柱の体積の最大値》関数の最大・最小
《円錐形の容器の容積の最大値》関数の最大・最小
《三角形の等周問題》関数の最大・最小
《チェビシェフ多項式にまつわる方程式》方程式への応用
《3 次関数のグラフの接線の交点の分布》方程式への応用
積分法 (文系・理系共通)
《ルジャンドル多項式》定積分
《ベルヌーイ多項式と累乗和の公式》定積分の等式
関数と極限
《周長と面積が等しい長方形》分数関数
《分数関数を含む方程式と不等式》分数関数
《n 文字の置換の性質》合成関数・逆関数
《コラッツ予想に関する整数の性質》合成関数・逆関数
《1 次分数関数の逆関数》合成関数・逆関数
《マチンの公式》合成関数・逆関数
《双曲線関数の逆関数》合成関数・逆関数
《格子に含まれる長方形の面積の平均値の極限》分数型の数列の極限
《格子に含まれる正方形の面積の平均値の極限》分数型の数列の極限
《フィボナッチ数列の隣接項の比の極限》無限等比数列の極限
《ペル方程式の解の成分の比の極限》無限等比数列の極限
《無理数の連分数展開にまつわる数列の極限》いろいろな数列の極限
《算術幾何平均に関する極限》いろいろな数列の極限
《ニュートン法》いろいろな数列の極限
《縮小関数で定まる数列の極限》いろいろな数列の極限
《nrn とじゃんけんの勝者数の期待値の極限》いろいろな数列の極限
《オイラーの定数にまつわる数列の極限》いろいろな数列の極限
《黄金長方形にまつわる無限等比級数》無限等比級数
《コッホ雪片》無限等比級数
《メンガーのスポンジ》無限等比級数
《nrn の無限和と硬貨を投げる回数の期待値》いろいろな無限級数
《クーポン・コレクターの問題の期待値》いろいろな無限級数
《正接がフィボナッチ数の逆数である角の和》いろいろな無限級数
《シルヴェスター数列の逆数の総和》いろいろな無限級数
《調和級数の発散》いろいろな無限級数
《双曲線の漸近線》関数の極限
《ヴィエトの公式》sin x/x の極限
《半円形の鏡による光の反射》sin x/x の極限
《正多角柱につながれたヤギの問題》sin x/x の極限
《奇数次方程式の実数解の存在》中間値の定理
《カラビの三角形定数にまつわる方程式》中間値の定理
微分法 (理系)
《積・商の微分法》微分係数・導関数
《多項式の重根判定法》微分係数・導関数
《くじで当たらない確率の極限値》微分係数・導関数
《ベルヌーイの不等式とネイピア数の評価》微分係数・導関数
《コーシーの関数方程式》微分係数・導関数
《双曲線関数の関数方程式》微分係数・導関数
《逆双曲線関数の導関数》微分係数・導関数
《逆三角関数の導関数》微分係数・導関数
《有名な関数を導関数にもつ関数》微分係数・導関数
《多項式関数のマクローリン展開》高階導関数
《三角関数と対数関数の高階導関数》高階導関数
《三角関数の微分方程式》高階導関数
《高階導関数に関するライプニッツの公式》高階導関数
《微分積分学におけるシュタイナーの問題》対数微分法
《コーシーの平均値の定理》平均値の定理
《定数関数の特徴付け》平均値の定理
《1 次関数の積の極値》平均値の定理
《イェンゼンの不等式とその応用》平均値の定理
《逐次代入法》平均値の定理
《アネェージの曲線の形状》曲線の凹凸
《凸関数のグラフの接線》曲線の凹凸
《関数のグラフの複接線と変曲点の個数》曲線の凹凸
《4 次関数のグラフの複接線の傾き》曲線の凹凸
《点と曲線を結ぶ最短の線分と接線の関係》関数の最大・最小
《座標軸に接する線分の通過範囲》関数の最大・最小
《廊下を通過できる棒の長さの最大値》関数の最大・最小
《正方形の頂点の最小シュタイナー木問題》関数の最大・最小
《円に内接する三角形の面積の最大値》関数の最大・最小
《与えられた辺長をもつ四角形の面積の最大値》関数の最大・最小
《体積が一定である円柱の表面積の最小値》関数の最大・最小
《体積が一定である円錐の表面積の最小値》関数の最大・最小
《ジョルダンの不等式》不等式の証明
《対数関数と 1 次関数の比の極限》不等式の証明
《指数関数の近似とその応用》不等式の証明
《関数の増減と相加・相乗平均の不等式》不等式の証明
《ヤングの不等式とその応用》不等式の証明
《ベルヌーイの不等式の一般化とその応用》不等式の証明
《円に内接する n 角形の周長・面積の最大値》不等式の証明
《2x=x2 の実数解》不等式の証明
《三角関数のマクローリン展開にまつわる…》不等式の証明
《平方根の和と和の平方根に関する不等式》不等式の証明
《階乗数である最大の高度合成数》不等式の証明
《3 次方程式の実数解の個数》方程式への応用
《xex=a の実数解の個数》方程式への応用
《等速円運動》加速度
積分法 (理系)
《正割と余割の不定積分》不定積分
《逆関数の不定積分》不定積分
《三角関数の直交性》定積分
《逆正接関数の性質》定積分で表された関数
《積分の平均値の定理》定積分の不等式
《定積分のコーシー=シュワルツの不等式》定積分の不等式
《指数関数のマクローリン展開にまつわる…》定積分の不等式
《対数関数のテイラー展開にまつわる不等式》定積分の不等式
《逆双曲線関数のテイラー展開にまつわる…》定積分の不等式
《三角関数のマクローリン展開にまつわる…》定積分の不等式
《グレゴリー=ライプニッツ級数》定積分の不等式
《簡易版スターリングの公式》定積分の不等式
《汎調和級数の収束域》定積分の不等式
《素数の逆数和の発散》定積分の不等式
《定積分に関するヤングの不等式》定積分の不等式
《ウォリスの公式》定積分の漸化式
《精密版スターリングの公式》定積分の漸化式
《バーゼル問題》定積分の漸化式
《ネイピア数の無理性》定積分の漸化式
《円周率の無理性》定積分の漸化式
《ベータ関数と面積》面積 (陽関数表示)
《オイラーの定数にまつわる数列の評価》面積 (陽関数表示)
《対称軸が直交する放物線が囲む図形の面積》面積 (陰関数表示)
《円の面積》面積 (陰関数表示)
《楕円の共通部分の面積》面積 (陰関数表示)
《リサジュー曲線が囲む図形の面積: 陰関数》面積 (陰関数表示)
《リサジュー曲線が囲む図形の面積: 媒介変数》面積 (媒介変数表示)
《サイクロイドと直線が囲む図形の面積》面積 (媒介変数表示)
《らせんと座標軸が囲む図形の面積》面積 (媒介変数表示)
《面積による双曲線関数の特徴付け》面積 (媒介変数表示)
《円柱につながれたヤギの問題》面積 (媒介変数表示)
《正葉曲線が囲む図形の面積》面積 (極座標表示)
《レムニスケートが囲む図形の面積》面積 (極座標表示)
《メルカトル級数とその項の並べ替え》区分求積法
《柱体と錐体の体積》体積 (非回転体)
《円柱の共通部分の体積》体積 (非回転体)
《3 次元アストロイドの体積》体積 (非回転体)
《円柱と円錐の体積》体積 (回転体)
《球の体積》体積 (回転体)
《回転楕円体の体積》体積 (回転体)
《トーラスの体積》体積 (回転体)
《バウムクーヘン分割の公式》体積 (回転体)
《サイクロイドの長さ》曲線の長さ (媒介変数表示)
《カージオイドの長さ》曲線の長さ (媒介変数表示)
《アストロイドの長さ》曲線の長さ (媒介変数表示)
《円の伸開線の長さ》曲線の長さ (媒介変数表示)
《らせんの長さ》曲線の長さ (媒介変数表示)
《懸垂線の長さ》曲線の長さ (関数のグラフ)
《放物線の長さ》曲線の長さ (関数のグラフ)
《ガンマ関数》広義積分
《楕円積分の値の評価》広義積分
《チェビシェフ多項式の直交性》広義積分
《減衰曲線に関する面積の極限》広義積分
《ガブリエルのラッパ》広義積分
《ガウス積分》広義積分
《曲線の等周問題》広義積分
《指数関数の微分方程式》微分方程式
《ロジスティック方程式》微分方程式
《排水時の水位に関する微分方程式》微分方程式
《牽引線の媒介変数表示》微分方程式
幾何学分野
図形の性質
《デザルグの定理とその逆》メネラウスの定理
《完全四辺形に関するニュートンの定理》メネラウスの定理
《三角形の五心》チェヴァの定理
《三角形のジェルゴンヌ点とナーゲル点》チェヴァの定理
《三角形に関する等長共役点》チェヴァの定理
《三角形に関する等角共役点》チェヴァの定理
《シュタイナーの比の定理と三角形の類似重心》チェヴァの定理
《三角形のキーペルト点》チェヴァの定理
《重心・垂心・外心・内心が一致する三角形》三角形の五心
《第一トレミーの定理とその逆》円周角の定理
《トリリウムの定理》円周角の定理
《ピトーの定理》円の接線
《三角形のブロカール点の存在》接弦定理
《鋭角三角形の垂心と垂足三角形の内心》円に内接する四角形
《三角形のフェルマー点の作図》円に内接する四角形
《ウォレス=シムソンの定理とその逆》円に内接する四角形
《三角形のミケル点》円に内接する四角形
《角の二等分線の長さ》方べきの定理
《レギオモンタヌスの問題》方べきの定理
《チャップル=オイラーの定理》方べきの定理
《三角形の類似中線の作図法》方べきの定理
《正多面体の種類》空間図形
図形と方程式
《距離の公式による中線定理の証明》2 点間の距離
《シュタインハウスの問題》2 点間の距離
《3 点が同一直線上にある条件》直線の方程式
《直線のヘッセ標準形》直線の方程式
《直線と座標軸で囲まれた三角形の計量》直線の方程式
《3 円の根心》直線の平行条件
《三角形の垂心》直線の垂直条件
《平行な 2 直線間の距離》点と直線の距離
《三角形の面積の公式とその応用》点と直線の距離
《角の二等分線の傾き》点と直線の距離
《2 点を直径の両端とする円周の方程式》円周の方程式
《方べきの定理》円周と直線
《円周の接線》円周の接線
《円周の極線》円周の接線
《2 円の根軸》円周の接線
《ポンスレの閉形定理にまつわる問題》円周の接線
《円の準円》軌跡
《直線の通過領域》不等式の表す領域
《じゃんけんに関する線形計画問題》不等式の表す領域
《多項式の零点集合の和集合と共通部分》図形と方程式の他の問題
ベクトル
《平面上の点の重心座標と三角形の面積比》分点の位置ベクトル
《角の二等分線の性質》分点の位置ベクトル
《四角形の幾何学的重心》分点の位置ベクトル
《四角形の物理的重心》分点の位置ベクトル
《四面体の幾何学的重心》分点の位置ベクトル
《四面体の内心》分点の位置ベクトル
《平面ベクトルの線形独立性》ベクトルの演算
《空間ベクトルの線形独立性》ベクトルの演算
《ラミの定理》ベクトルの演算
《メネラウスの定理》共線条件
《チェヴァの定理》共線条件
《ベクトルによる中線定理の証明》ベクトルの内積
《角の二等分線の傾き》ベクトルの内積
《正多角形の辺と対角線の長さの平方和》ベクトルの内積
《三角形の頂点からの距離の平方和が最小の点》ベクトルの内積
《四面体の頂点からの距離の平方和が最小の点》ベクトルの内積
《コーシー=シュワルツの不等式》シュワルツの不等式
《ベクトルの三角不等式》シュワルツの不等式
《内積の不等式と三角形のフェルマー点》シュワルツの不等式
《ベクトルの大きさの最小値》ベクトルの垂直条件
《三角形のオイラー線と九点円》ベクトルの垂直条件
《三角形に関する直線の直極点》ベクトルの垂直条件
《グラム=シュミットの正規直交化法》ベクトルの垂直条件
《四面体のモンジュ点》ベクトルの垂直条件
《四面体の垂心の存在条件》ベクトルの垂直条件
《三角形の面積の公式》三角形の面積
《三角形の面積のベクトルの内積による表示》三角形の面積
《対辺が互いに垂直な等面四面体》三角形の面積
《ベクトルの外積とスカラー三重積》三角形の面積
《ベクトルによる点と直線の距離の公式の証明》平面図形のベクトル方程式
《円周の接線の方程式》平面図形のベクトル方程式
《方べきの定理》平面図形のベクトル方程式
《ねじれの位置にある 2 直線に直交する直線》空間図形のベクトル方程式
《点と平面の距離とデカルト=グアの定理》空間図形のベクトル方程式
《球面の接平面の方程式》空間図形のベクトル方程式
複素数平面
《ブラーマグプタ=フィボナッチ恒等式》複素数の極形式
《複素数の偏角とマチンの公式》複素数の極形式
《ド・モアブルの定理》ド・モアブルの定理
《複素数からなる乗法で閉じた集合》ド・モアブルの定理
《1 の 5 乗根にまつわる相反方程式》ド・モアブルの定理
《正多角形の辺と対角線の長さの積》ド・モアブルの定理
《ラグランジュの三角恒等式と約数の和の公式》ド・モアブルの定理
《フィボナッチ数列の三角関数表現》ド・モアブルの定理
《複素数による中線定理の証明》複素数平面上の距離
《単位円周上の点を結ぶ三角形と四角形》複素数平面上の距離
《三角不等式》複素数平面上の距離
《ナポレオンの定理》回転移動
《直線の方程式》共線・平行・垂直条件
《三角形の外心》共線・平行・垂直条件
《三角形のオイラー線》共線・平行・垂直条件
《ウォレス=シムソンの定理》共線・平行・垂直条件
《原点を通る直線に関する対称性》共線・平行・垂直条件
《共円条件》共円条件
《三角形の相似条件》複素数と多角形
《座標法》複素数と多角形
《反転と円円対応》複素数平面上の変換
《1 次分数変換と円円対応》複素数平面上の変換
《ケイリー変換》複素数平面上の変換
《複比の 1 次変換による不変性とその応用》複素数平面上の変換
《ジューコフスキー変換》複素数平面上の変換
式と曲線
《放物線上の調和点列》放物線
《楕円の特徴付け》楕円の周
《楕円の接線の長さの最小値》楕円の周
《双曲線の準円》双曲線
《円錐曲線の名の由来》2 次曲線
《2 次曲線の離心率》2 次曲線
《2 次曲線の媒介変数表示》曲線の媒介変数表示
《サイクロイド》曲線の媒介変数表示
《外サイクロイドと内サイクロイド》曲線の媒介変数表示
《黄金らせん》極座標
《正葉曲線の対称性》極座標
組合せ論・確率論・統計学
データの分析
《共分散の公式》相関関係
《相関係数の値の範囲》相関関係
場合の数
《オイラーの関数》個数定理
《約数の個数の公式》積の法則
《試合数》対応の利用
《順列の漸化式》順列
《正多面体の塗り分け》円順列
《中央二項係数の評価》組合せ
《カタラン数の公式》カタラン数
《カタラン数のなす数列の漸化式》カタラン数
《素数であるカタラン数》カタラン数
《奇数であるカタラン数》カタラン数
《区別できる玉の組分け》組分け
《重複組合せの漸化式》組分け
《ベル数》組分け
確率
《番勝負でリードを許さずに優勝する確率》確率の定義
《ブールの不等式とボンフェローニの不等式》和事象の確率
《じゃんけんであいこになる確率》余事象の確率
《独立な事象の余事象の独立性》事象の独立性
《コイン投げの確率の最大値》反復試行の確率
《直線上のランダム・ウォーク》反復試行の確率
《くじ引きの公平性》確率の乗法定理
《n 回のじゃんけんで順位がつく確率》確率の乗法定理
《ポリアの壺》確率の乗法定理
《くじ引きの条件付き確率》確率の乗法定理
《モンティ・ホール問題》確率の乗法定理
《バナッハのマッチ箱》期待値
《二項分布に従う確率変数の期待値》期待値の線形性
《夫婦円卓問題》期待値の線形性
《ポリアの壺の中の白玉の個数の期待値》期待値の線形性
《共分散と分散の公式》期待値の線形性
※1: 洗練された「有名問題」を集めるため,「典型問題」「頻出問題」「伝説的問題」であっても, 数値設定の動機が不明確であるなど,
上記の条件を満たさない問題は, あえて取り上げていません.
動機や背景のよくわからない問題ばかり解いていても数学の知識はなかなか深まっていかないので,
似たような内容を学ぶのであれば「有名問題」を解いた方が断然効率的だと言えるでしょう.
問題の選定基準がここまで厳しい問題集はないかと思いますが,
それゆえに質の高い学習ができるでしょう.
※2: 問題の重要度, 知名度, レベル, タイプの分類は, 1 つの目安としてお考えください.
非常に繊細な分類であるため, 人や解法によって異なる分け方になることがあります.
※3: 融合問題を中心に, 教科書と異なる順序で掲載した問題もあります.
特に, 数列の漸化式, 数列の和, 和の記号, 数学的帰納法 (数学 B) は, 諸分野の基礎としてさまざまな定理の証明に使われるため, これを認めて数学 I・A・II の問題としたものもあります.
※4: これは大学入試の過去問題集ではなく, “ 高校数学の知識でどのような問題が解決でき, どれほどの定理が証明できるか ” という著者の長年の教材研究の成果をまとめた問題集です.
つまり, 題材になる定理や素朴さありきで選ばれた天然物の集まりであるため, 問題のレベルはさまざまです.
参考になる入試問題の大学名を記した問題もありますが, 実際の入試問題との違いには十分ご注意ください.
索引 (用語・背景から問題へ)
あ> か> さ> た> な> は> ま> や> ら> わ>
※かぎかっこ「」のついた用語: 高校の教科書に (必ずしも) 載っていないもの
あ
- 「RSA 暗号系」
- アイゼンシュタインの $3$ つ組: 公式 (幾何的証明), 三角形の面積, 恒等式
- アストロイド: 媒介変数表示, 長さ, 接線の長さ,「包絡線」, 廊下を通過できる棒
- 「アネェージの曲線」: 形状, 面積
- アポロニウスの円
- 「アルキメデスの開平法」
- 「アルキメデスの定理」
- 「アルキメデスらせん」→らせん
- 「イェスマノヴィッチ予想」
- 「イェンゼンの不等式」
- 「$1$ 次分数変換」
- 「一致の定理」
- 「一般リュカ数列」
- 「イデアル (可換環の)」: $1$ 次不定方程式
- 「ヴァイツェンベックの不等式」
- 「ヴィエトの公式」
- 「ウォリスの公式」
- 「ウォレス=シムソンの定理」: 初等幾何学, 複素数平面
- 「ABC 予想」: 整数の「根基」
- 「エジプト分数」: 方程式, 不等式, 分解の可能性
- 「エネストレーム=掛谷の定理」
- 「エラトステネスのふるい」
- 「エルミートの恒等式」
- 円周率 (まとめ):「マチンの公式」,「ヴィエトの公式」, 無理性
- 「鉛直投げ上げ」
- 「オイラー数」: 第 $1$ 種
- 「オイラー線 (三角形の)」: ベクトル, 複素数平面
- 「オイラーの関数」: 場合の数, 関数
- 「オイラーの公式 (分数式に関する)」
- 「オイラーの定数」: 数列の極限, 近似値
- 「オイラーの定理」:「RSA 暗号系」
- 「オイラーのレンガ」
- 「黄金比」(まとめ): $2$ 次方程式, 三角比, 三角関数, 無限級数, 近似値
- 「黄金らせん」→らせん
- 「オノの不等式」
か
- カージオイド: 媒介変数表示, 長さ
- 「カーティスの定理」: $n = 2,$ $3$ の場合
- 「カーマイケル数」
- 「階乗進法」
- 「外積 (空間ベクトルの)」
- 「ガウス積分」
- 「ガウスの円問題」
- 「角の三等分問題」
- 「角の有理二等分問題」: 図形と方程式, 三角関数, ベクトル
- 「確率過程」(まとめ):「ポリアの壺」,「ランダム・ウォーク」
- 「カタラン数」: 公式, 漸化式, 素数の「カタラン数」, 奇数の「カタラン数」, 確率
- 「カタラン予想」
- 「カッシーニの公式」
- 「加比の理」
- 「ガブリエルのラッパ」
- 「カラビの三角形」: 三角比, 方程式の解の評価
- 「関数方程式」:「コーシーの関数方程式」,「双曲線関数」
- 「完全四辺形に関するニュートンの定理」: 初等幾何, ベクトル
- 「完全順列」→「モンモール数」
- 「完全数」
- 「ガンマ関数」
- 「キーペルト点 (三角形の)」
- 「幾何分布」: 期待値
- 「基底 (線形空間の)」: 座標平面, 座標空間
- 「逆三角関数」: 導関数, 不定積分
- 「既約多項式」:「アイゼンシュタインの判定法」
- 「九点円 (三角形の)」: 三角関数, ベクトル
- 「共円条件」
- 「極線 (円周の)」
- 「曲率 (曲線の)」:「縮閉線」,「初等超越関数」のグラフ
- 「キングス・プロパティー」
- 「クーポン・コレクターの問題」
- 「くくり出し公式 (二項係数の)」
- くじ引きの公平性 (まとめ): 1, 2
- 「グラム=シュミットの正規直交化法」
- 「グレゴリー=ライプニッツ級数」
- 「群」(まとめ):「巡回群」,「対称群」
- 「ケイリー変換」
- 「ケーキ数」
- 「ゲルフォント=シュナイダーの定理」
- 「牽引線」: 媒介変数表示, 接線, 面積
- 「懸垂線」
- 「広義積分」:「ガブリエルのラッパ」,「ガンマ関数」,「ガウス積分」,「曲線の等周問題」など
- 「コーシー=シュワルツの不等式」(まとめ): $n$ 変数, $3$ 変数 (応用を含む),「ラグランジュの恒等式」からの導出, 平面ベクトル, 微分法, 定積分
- 「コーシーの平均値の定理」
- 「格子多角形」(まとめ): 正三角形 1, 正三角形 2,「格子角定理」
- 「交代級数」:「マーダヴァ=ライプニッツ級数」,「メルカトル級数」
- 「高度合成数」: 性質, 階乗数
- 「合比・除比・合除比の理」
- 古典力学:「鉛直投げ上げ」,「斜方投射」
- 「コラッツの問題」
- 「根軸 ($2$ 円の)」
- 「根心 ($3$ 円の)」
さ
- サイクロイド (まとめ): 媒介変数表示, 面積, 長さ
- 「最小シュタイナー木問題」(まとめ): $3$ 点, 正方形の頂点
- 「最小多項式」
- 「座標法」
- 「ザリスキー位相」
- 「三角数」:「ガウスの三角数定理」,「平方三角数」
- 「三角不等式」:「マンハッタン距離」, 応用, ベクトル, 複素数
- $3$ 次方程式:「対称式」,「カルダーノの公式」,「判別式」, 実数解の個数
- 「算術幾何平均」
- 「ジェルゴンヌ点 (三角形の)」
- 「シェルピンスキー数」
- 「斜方投射」: 最大水平到達距離, 速度, 加速度
- 「シューアの不等式」
- 「ジューコフスキー変換」
- 「重心座標」
- 「重積分」:「ガウス積分」
- 「シュケの不等式」
- 「シュタイナーの比の定理」
- 「シュタイナーの問題 (微分積分学)」: 累乗根, 一般
- 「シュタイナーの問題 (平面・空間の分割)」
- 「シュタインハウスの問題」
- 「準円」: 円, 楕円, 双曲線
- 「巡回群」
- 「巡回セールスマン問題」
- 「順序体」:「実数体」,「複素数体」(反例)
- 「ジョルダンの不等式」: 証明,「バーゼル問題」
- 「シルヴェスター数列」: 「カーティスの定理」の $n = 2,$ $3$ の場合, 漸化式, 逆数の総和, 素数の無限性
- 「伸開線 (曲線の)」: 円周,「ヤギの問題」(正多角柱), 「ヤギの問題」(円柱)
- 「シンプソンの公式」
- 「垂足三角形」: 内心, 周長と面積
- 「スカラー三重積 (ベクトルの)」
- 「スターリング数」: 漸化式 (第 $1$ 種), 二項係数との関係式 (第 $1$ 種), 漸化式 (第 $2$ 種)
- 「スターリングの公式」: 簡易版, 精密版
- 「スチュワートの定理」: 余弦定理
- 「正接定理」
- 正多面体: 種類, 外接球の半径, 内接球の半径, 表面積, 体積
- 「正七角形調和」
- 正葉曲線: 極座標表示, 面積
- 「ゼッケンドルフの定理」
- 「線形計画法」
- 「線形独立性」: 平面ベクトル, 空間ベクトル
- 相加・相乗平均の不等式 (まとめ): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
- 「双曲線関数」:「加法定理」, 逆関数,「関数方程式」,「逆双曲線関数」の導関数, 面積, 長さ
- 「相反方程式」
- 「ソフィー・ジェルマンの恒等式」
た
- 「対称群」
- 「対称式」
- 「代数拡大体」(まとめ):「$2$ 次体」,「最小多項式」
- 「対数らせん」→らせん
- 「楕円曲線」:「整点」,「有理点」
- 「楕円積分」
- 「多角錐数」
- 「多角数」: 一般項,「多角数定理」
- 「タクシー数」
- 「チェビシェフ多項式」(まとめ): 存在, 整除性, 値域, 方程式,「直交性」
- 「チェビシェフの和の不等式」
- 「逐次代入法」
- 「チャップル=オイラーの定理」: 図形と計量, 図形の性質
- 「中国式剰余定理」
- 「中心付き多角数」
- 「中線定理」: 図形と計量, 図形と方程式, ベクトル, 複素数平面
- 「超越関数」
- 「超幾何分布」: 期待値
- 「重複組合せ」: 公式, 漸化式
- 「調和級数」
- 「直極点 (三角形に関する直線の)」
- 「ディオファントス近似」
- 「テイラー展開 (関数の)」(まとめ): 指数関数 (微分法), 指数関数 (積分法), 対数関数 (積分法), 三角関数 (微分法), 三角関数 (積分法), 「逆双曲線関数」,「グレゴリー=ライプニッツ級数」と「マーダヴァ=ライプニッツ級数」,「メルカトル級数」
- 「ディリクレの算術級数定理」: $4n+1$ 型の素数
- 「デカルト=グアの定理」
- 「デカルトの葉線」: 面積
- 「等角らせん」→らせん
- 「等差素数列」: 性質, 公差 $2$
- 「等周問題」(まとめ): 三角形 1, 三角形 2, 曲線
- 「等角共役点 (三角形に関する)」
- 「等長共役点 (三角形に関する)」
- 「等長積図形 (equable shape)」: 「ピタゴラスの三角形」, 長方形
- 「導多項式」:「重根判定法」
- 「等面四面体」: 存在と計量, 正四面体の特徴付け
- トーラス
- 「特性関数 (集合の)」
- 「凸関数」(まとめ): 対数関数, 無理関数,「イェンゼンの不等式」, グラフの接線
- 「ド・メレの問題」
- 「トリチェリーの問題」→「フェルマー点 (三角形の)」
- 「トリリウムの定理」
- 「トレミーの定理」: 第一 (余弦定理), 第一 (初等幾何学), 第一 (積和の公式), 第一 (複素数平面), 第二
な
- 「ナーゲル点 (三角形の)」
- 「ナポレオンの定理」: 三角関数, 複素数平面
- 「怠け仕出し屋の数列」
- 「並べ替え不等式」: 相加・相乗平均の不等式, 数列の積の和の最大値
- 「ニーヴェンの定理」
- 「$2$ 次体」:「基底」,「整数環」,「単数群」
- 「$2$ 乗平均平方根」
- 「ニュートン法」
- ネイピア数: 値の評価, 無理性
- 「ネスビットの不等式」
- 「濃度 (集合の)」
は
- 「バーゼル問題」
- 「バウムクーヘン分割の公式」
- 「パスカルの法則」: 証明, 二項定理の導出
- 「パドヴァン数列」
- 「ハドヴィガー=フィンスラーの不等式」
- 「バナッハの不動点定理」
- 「バナッハのマッチ箱」
- 「ハノイの塔」
- パラボラ・アンテナ
- 「反転」
- 「$p$ 進付値」: 「準同型性」,「三角不等式」
- 「ピタゴラスの $3$ つ組」(まとめ): 公式 (代数的証明), 公式 (幾何的証明), 公式 (三角法的証明), 性質 (媒介変数表示), 性質 (方程式),「ピタゴラス変換」, 恒等式
- 「ピタゴラスの $4$ つ組」(まとめ): 性質, 恒等式
- 「非調和比」→「複比」
- 「ピトーの定理」
- 「ビネの公式」
- 「微分方程式」: 三角関数, 指数関数,「ロジスティック方程式」, 排水時の水面の高さ
- 「ファンデルモンドの畳み込み」
- 「フィボナッチ数列」(まとめ 1, まとめ 2, まとめ 3):「ビネの公式」と和,「一般リュカ数列」,「カッシーニの公式」, 「マチンの公式」の類似, 部分列の漸化式, 「加法定理」と「$2$ 倍公式」, 性質 (整除),「ゼッケンドルフの定理」, 隣接項の比の極限, 三角関数表現
- 「夫婦円卓問題」
- 「ブールの不等式」
- 「フェルマー数」:「フェルマー素数」, 素数の無限性
- 「フェルマー点 (三角形の)」: 特徴付け, 作図
- 「フェルマーの小定理」(まとめ): 合同式, 二項定理, 多項定理など
- 「フェルマーの $2$ 平方和定理」
- 「フェルマー予想」
- 「フォイエルバッハの定理」: 三角関数, ベクトル
- 「フォンタナの三角形」
- 「複比」: 不変性, $4$ 点が円周上にあるための条件
- 「複利計算」
- 「双子素数」「三つ子素数」
- 「ブラーマグプタの公式」: 余弦定理, 「ヘロンの公式」を利用
- 「ブラーマグプタの恒等式」:「ペル方程式」への応用
- 「ブラーマグプタの三角形」
- 「ブラーマグプタ=フィボナッチ恒等式」: 式と証明, 複素数平面
- 「ブレートシュナイダーの公式」
- 「フラクタル図形」:「コッホ雪片」「メンガーのスポンジ」
- 「プラスチック数」
- 「ブロカール点 (三角形の)」: 接弦定理,「ヘロンの公式」, 三角関数
- 「フロベニウス写像」
- 「フロベニウスの硬貨交換問題」
- 平均値の定理: 積分法
- 「ベイズの定理」
- 「平方三角数」
- 「平方四角錐数」
- 「平面充填」: $1$ 種類の正多角形, 多種類の正多角形
- 「ベータ関数」(まとめ): $2$ 次関数, $3$ 次関数, $4$ 次関数, 整数の組での値
- 「ヘッセ標準形 (直線の)」
- 「ベル数」
- 「ペル数」: 公式,「一般リュカ数列」,「平方三角数」
- 「ヘルダーの不等式」
- 「ベルトラン=チェビシェフの定理」
- 「ベルヌーイ多項式」: $2$ 次, 一般
- 「ベルヌーイの不等式」(まとめ): 数学的帰納法, 関数の極限, 微分法
- 「ベルヌーイらせん」→らせん
- 「ペル方程式」(まとめ): 一般解,「一般リュカ数列」, 解なし, 解の生成,「平方三角数」, 連立漸化式, 「ブラーマグプタの三角形」
- 「ヘロンの公式」: 余弦定理, 三角形の内接円と傍接円, 三角関数の加法定理
- 「ヘロンの三角形」(まとめ)
- 「包除原理」
- 方べきの定理: 図形と方程式, ベクトル
- 「包絡線」: 放物線, アストロイド
- 「ホイヘンスの第 $2$ 問題」
- 「ホッケー・スティック恒等式」
- 「ポリアの壺」: 確率, 白玉の個数の期待値
- 「ポリアの定理 (整数値多項式に関する)」
- 「ポンスレの閉形定理」:「チャップル=オイラーの定理」, 円周と放物線
- 「ボンフェローニの不等式」
ま
- 「マーダヴァ=ライプニッツ級数」
- 「マクローリン展開 (関数の)」→「テイラー展開 (関数の)」
- 「マチンの公式」:直接的な証明, 複素数を利用した証明, 類似の公式
- 「継子立て」
- 「マラルディの角度」
- 「マルコフの $3$ つ組」
- 「マンハッタン距離」
- 「ミケル点 (三角形の)」
- 「メビウス関数」:「乗法性」, 基本公式
- 「メルカトル級数」
- 「メルセンヌ素数」(まとめ): 指数の条件,「完全数」との関係
- 「モーザーの円の分割問題」
- 「モリーの法則」
- 「モンジュ点 (四面体の)」
- 「モンティ・ホール問題」
- 「モンモール数」: 関係式, 漸化式,「包除原理」による解法
や
- 「ヤギの問題」: 正多角柱につながれた場合, 円柱につながれた場合
- 「ヤングの不等式」: 微分法, 積分法
- 「友愛数」
- 「有理根定理」
- 「ユークリッドの補題」
- $4$ 次方程式:「フェラーリの公式」
- 「ヨセフスの問題」
ら
- 「ライプニッツの公式 (高階導関数)」
- 「ラグランジュの恒等式」:「ブラーマグプタ=フィボナッチ恒等式」, 「コーシー=シュワルツの不等式」の導出
- 「ラグランジュの三角恒等式」
- 「ラグランジュの補間公式」
- らせん:「黄金らせん」,「等角らせん」の性質, 面積, 長さ
- 「ラミの定理」
- 「ラメの定理」
- 「ランダム・ウォーク」
- 「リーマン・ゼータ関数」: 平方数の逆数の和, 立方数の逆数の和,「調和級数」, 収束域,「バーゼル問題」
- リサジュー曲線: 面積 1, 面積 2
- 「立方体倍積問題」
- 「リュカ数列」
- 「リュカのキャノンボール問題」
- 「類似中線 (三角形の)」:「類似重心 (三角形の)」の存在, 「類似重心 (三角形の)」の特徴付け, 作図法
- 累乗数の和を表す多項式: 存在, 性質
- 「ルジャンドル多項式」
- 「ルジャンドルの公式」: 証明, 応用
- 「ルモワーヌ点 (三角形の)」→「類似中線 (三角形の)」
- 「レイリー=ビーティの定理」
- 「レームスの不等式」
- 「レギオモンタヌスの問題」: 方べきの定理, 三角関数
- レムニスケート: 極座標表示, 面積, 周の長さ
- 「連分数展開 (無理数の)」: 「近似分数」, 数列の一般項, 数列の極限
- 「ロジスティック方程式」: 数列,「微分方程式」
- 「ロピタルの定理」: $\log x/x$ の極限
わ
- 「ワイエルシュトラス置換」:「ピタゴラスの $3$ つ組」
- 「ワイエルシュトラスの近似定理」
課題学習
課題学習のテーマの候補については, こちらを参照されたい.
チェックを入れた項目に当てはまるすべての問題が表示されます (条件は AND ではなく OR であることに注意).
例えば,「すべて」のチェックを外し,「重要」にチェックを入れると, 特に重要な問題 ( マーク, 学習事項ごとに 1~2 問) が表示されます.
「重要」については, その類題 ( マーク) も表示されます.
改善のために随時更新を行っておりますので, ご了承ください (※2).
重要度・知名度
レベル
タイプ
代数学分野
数と式
《xn±yn の因数分解》多項式の展開
《ソフィー・ジェルマンの恒等式》因数分解
《実数の順序に関する公理から導かれる性質》実数の大小関係
《2 次体の性質》平方根の性質
《2 次体のノルムと単数》平方根の性質
《リュカ数を表す対称式の値》平方根の性質
《二重根号が外せる条件》二重根号
《実数の四捨五入》ガウス記号
《エルミートの恒等式》ガウス記号
《レイリー=ビーティの定理》ガウス記号
2 次関数
《2 次関数のグラフの相似性》2 次関数のグラフ
《鉛直投げ上げの最高点の高さ》2 次関数の最大・最小
《コの字型のレールの断面積の最大値》2 次関数の最大・最小
《紙を折った部分の面積の最小値》2 次関数の最大・最小
《チルンハウス変換による 2 次方程式の解法》2 次方程式
《黄金長方形》2 次方程式
《複 2 次方程式》2 次方程式
《多変数のコーシー=シュワルツの不等式》2 次不等式
整数の性質 (数学と人間の活動)
《連続する n 個の正の整数の積》整数の剰余
《フィボナッチ数列の性質》整数の剰余
《3 個の平方数の和として表される整数》整数の剰余
《シェルピンスキー数》合同式
《1 次不定方程式と最大公約数》1 次不定方程式
《1 次不定方程式とイデアル》1 次不定方程式
《ユークリッドの補題》1 次不定方程式
《中国式剰余定理》1 次不定方程式
《フロベニウスの硬貨交換問題》1 次不定方程式
《p 進付値の準同型性とルジャンドルの公式》素因数分解の一意性
《p 進付値の強三角不等式》素因数分解の一意性
《メビウス関数の乗法性》素因数分解の一意性
《整数の根基の性質》素因数分解の一意性
《カーマイケル数の性質》合成数
《ラメの定理》ユークリッドの互除法
《文字式で表された 3 数の最大公約数》ユークリッドの互除法
《ピタゴラスの 3 つ組の公式の代数的証明》2 次不定方程式
《ピタゴラスの 3 つ組の性質: 方程式》2 次不定方程式
《ピタゴラスの 4 つ組の性質: 方程式》2 次不定方程式
《x2-y2=a の整数解》2 次不定方程式
《ペル方程式の一般解》2 次不定方程式
《解をもたないペル方程式》2 次不定方程式
《円周の方程式の有理数解》2 次不定方程式
《周長と面積が等しい直角三角形》2 次不定方程式
《非自明な平方四角錐数》高次不定方程式
《フェルマー予想の n=4 の場合》高次不定方程式
《エジプト分数に関する不定方程式》分数型の不定方程式
《1 種類の正多角形による平面充填形》分数型の不定方程式
《多種類の正多角形による平面充填形》分数型の不定方程式
《カタラン予想に関する方程式》指数関数を含む不定方程式
《イェスマノヴィッチ予想に関する方程式》指数関数を含む不定方程式
《指数関数を含む方程式の整数解》指数関数を含む不定方程式
《1 未満のエジプト分数の最大値》不等式の整数解
《n 進法における基本的な倍数判定法》倍数判定法
《n 進法における特殊な倍数判定法》倍数判定法
《整数値多項式の特徴付け》整数の他の問題
《有理数のエジプト分数による表示》整数の他の問題
式と証明
《3 次対称式の因数分解》3 次式の展開・因数分解
《タクシー数にまつわる方程式》3 次式の展開・因数分解
《パスカルの法則と二項定理》二項定理
《フロベニウス写像》二項定理
《二項係数の和と交代和》二項定理
《メビウス関数の基本公式》二項定理
《ファンデルモンドの畳み込み》二項定理
《二項係数を含む多項式の和》二項定理
《整数値多項式に関するポリアの定理》多項式の除法
《奇数番目のフィボナッチ数からなる数列の…》多項式の除法
《加比の理》比例式
《シュケの不等式》比例式
《ヴァイツェンベックの不等式》平方完成の利用
《ハドヴィガー=フィンスラーの不等式》平方完成の利用
《2~4 変数の相加・相乗平均の不等式》相加・相乗平均の不等式
《四隅までの距離の和の最小値》相加・相乗平均の不等式
《因数分解と 3 変数相加・相乗平均の不等式》相加・相乗平均の不等式
《並べ替えと相加・相乗平均の不等式》相加・相乗平均の不等式
《和・積の関係と相加・相乗平均の不等式》相加・相乗平均の不等式
《レームスの不等式とオイラーの不等式》相加・相乗平均の不等式
《コーシー=シュワルツの不等式と三角形の…》シュワルツの不等式
《ラグランジュの恒等式とコーシー=シュワ…》シュワルツの不等式
《三角不等式とマンハッタン距離》三角不等式
《三角不等式と高次方程式の解の評価》三角不等式
《2 乗平均平方根と相加平均の関係》いろいろな不等式
《アルキメデスの開平法》いろいろな不等式
《チェビシェフの和の不等式》いろいろな不等式
《シューアの不等式》いろいろな不等式
《ネスビットの不等式》いろいろな不等式
複素数と方程式
《複素数の実部と虚部》複素数
《2 次方程式の解の公式》解と係数の関係
《一般リュカ数列の恒等式》解と係数の関係
《掛谷流の 2 次方程式の解の評価》解と係数の関係
《2 次体の整数環》解と係数の関係
《マルコフの 3 つ組とその類似》解と係数の関係
《二重根号が外せる条件》解と係数の関係
《3 次方程式の判別式》解と係数の関係
《虚数単位の最小多項式》因数定理
《累乗根の性質》高次方程式
《有理根定理と累乗根の無理性》高次方程式
《実数係数方程式の共役な解》高次方程式
《有理数係数方程式の共役な解》高次方程式
《カルダーノによる 3 次方程式の解法》高次方程式
《複 2 次方程式》高次方程式
《フェラーリによる 4 次方程式の解法》高次方程式
数列
《多変数版のベルヌーイの不等式》数学的帰納法
《階乗進法にまつわる恒等式》数学的帰納法
《2n と n2 の比較》数学的帰納法
《2 次方程式の解のべき乗和で表される整数》数学的帰納法
《カッシーニの公式》数学的帰納法
《フィボナッチ数列の加法定理と 2 倍公式》数学的帰納法
《立方の和と和の平方が等しい数列》数学的帰納法
《ゼッケンドルフの定理》数学的帰納法
《1 人飛ばしの継子立て》数学的帰納法
《等差素数列の性質》等差数列
《公差 2 の等差素数列》等差数列
《調和数列をなす 3 数》等差数列
《多角数の一般項》等差数列の和
《フォンタナの三角形》等差数列の和
《既約分数の個数と和》等差数列の和
《等差数列と等比数列の関係》等比数列
《ホイヘンスの第 2 問題》等比数列
《n 回以下のじゃんけんで順位がつく確率》等比数列の和
《定期預金に関する複利計算》等比数列の和
《等比数列の和と逆数和と積の関係》等比数列の和
《メルセンヌ素数と偶数の完全数》約数の和
《友愛数に関するオイラーの法則》約数の和
《平方三角数とペル方程式》和の公式
《多角錐数の一般項》和の公式
《数列の積の和の最大値》和の公式
《4 乗数の和の公式》和の公式
《累乗数の和を表す多項式の存在》和の公式
《累乗数の和を表す多項式の性質》和の公式
《平方根の整数部分の和》和の公式
《整数の組と整数の対応》和の公式
《円周による平面の分割》階差数列
《モーザーの円の分割問題》階差数列
《角錐の最短往復数に関する数列》階差数列
《等差数列と等比数列の積の和》いろいろな数列の和
《連続する正の整数の積の和》いろいろな数列の和
《平方数の逆数の和の評価》いろいろな数列の和
《立方数の逆数の和の評価》いろいろな数列の和
《ハノイの塔》2 項間線形漸化式
《中心付き多角数の一般項》2 項間線形漸化式
《二分木の巡回セールスマン問題》2 項間線形漸化式
《フィボナッチ数列の一般項と和》3 項間線形漸化式
《ペル方程式に関する連立漸化式》連立漸化式
《対称形の連立漸化式》連立漸化式
《ピタゴラス変換》連立漸化式
《無理数の連分数展開にまつわる数列の一般項》いろいろな漸化式
《無理数の近似分数にまつわる数列》いろいろな漸化式
《n! の多項間漸化式》いろいろな漸化式
《シルヴェスター数列の漸化式》いろいろな漸化式
《フェルマー数の数列の漸化式》いろいろな漸化式
《ロジスティック写像》いろいろな漸化式
《三角形の周上のランダム・ウォーク》確率漸化式
《破産の確率》確率漸化式
《完全順列の確率》確率漸化式
《くじ引きのサドンデス》確率漸化式
解析学分野
図形と計量
《カラビの三角形》三角比
《マラルディの角度》余弦定理
《余弦定理による中線定理の証明》余弦定理
《第一トレミーの定理》余弦定理
《第二余弦定理 ⇒ 正弦定理》正弦定理
《角の二等分線の性質》正弦定理
《チャップル=オイラーの定理》正弦定理
《三角形の面積》三角形の面積
《角の二等分線の性質》三角形の面積
《複比の不変性》三角形の面積
《ヘロンの三角形》三角形の面積
《ヘロンの公式とブラーマグプタの三角形》三角形の面積
《三角形のブロカール角の範囲》三角形の面積
《三角形の面積と外接円・内接円・傍接円》三角形の面積
《三角形の辺の長さと面積の不等式》三角形の面積
《四角形の対角線と面積》四角形の面積
《四角形の対辺の長さの和の積と面積》四角形の面積
《第二トレミーの定理》四角形の面積
《ブラーマグプタの公式》四角形の面積
《オイラーのレンガ》空間図形の計量
《正多面体の外接球の半径》空間図形の計量
《正多面体の内接球の半径》空間図形の計量
《正多面体の表面積》空間図形の計量
《正多面体の体積》空間図形の計量
《球に内接する正四面体の体積》空間図形の計量
《等面四面体の存在と計量》空間図形の計量
三角関数
《余弦・正弦の加法定理》加法定理
《正弦定理 ⇒ 第一余弦定理》加法定理
《正弦定理 ⇒ 第二余弦定理》加法定理
《角の二等分線の傾き》加法定理
《ナポレオンの定理》加法定理
《オノの不等式》加法定理
《レギオモンタヌスの問題》加法定理
《余接の和の範囲》加法定理
《モリーの法則》2 倍角の公式
《円に接する正多角形の周の長さの関係式》2 倍角の公式
《正多角形の面積》2 倍角の公式
《斜方投射の最大水平到達距離》2 倍角の公式
《ブレートシュナイダーの公式》2 倍角の公式
《ピタゴラスの 3 つ組の公式の三角法的証明》2 倍角の公式
《正五角形の対角線の長さ》3 倍角の公式
《正七角形調和》3 倍角の公式
《cos(π/9) を解にもつ 3 次方程式》3 倍角の公式
《チェビシェフ多項式の存在》n 倍角の公式
《チェビシェフ多項式の性質》n 倍角の公式
《ニーヴェンの定理》n 倍角の公式
《第一トレミーの定理》積和の公式
《紙が重なった部分の面積の最小値》積和の公式
《正接定理》和積の公式
《鋭角三角形の垂足三角形の周長と面積》和積の公式
《三角形の内角の余弦の和と正弦の和》和積の公式
《三角形の辺長の平方和と形状》和積の公式
《フォイエルバッハの定理》和積の公式
《円に内接する長方形の周長の最大値》三角関数の合成
《単位正三角形に外接する正方形》三角関数の合成
指数関数・対数関数
《双曲線関数の加法定理》指数法則
《ド・メレの 2 つのさいころ》対数関数
微分法 (文系・理系共通)
《xn の導関数》微分係数・導関数
《放物線の準線》接線
《放物線の極線》接線
《3 次関数のグラフの対称性》関数の極値
《4 次関数のグラフの対称性》関数の極値
《チェビシェフ多項式に関する最大値》関数の最大・最小
《直方体の箱の容積の最大値》関数の最大・最小
《球に内接する三角柱の体積の最大値》関数の最大・最小
《球に内接する円柱の体積の最大値》関数の最大・最小
《球に内接する円錐の体積の最大値》関数の最大・最小
《表面積が一定である円柱の体積の最大値》関数の最大・最小
《円錐形の容器の容積の最大値》関数の最大・最小
《三角形の等周問題》関数の最大・最小
《チェビシェフ多項式にまつわる方程式》方程式への応用
《3 次関数のグラフの接線の交点の分布》方程式への応用
積分法 (文系・理系共通)
《ルジャンドル多項式》定積分
《ベルヌーイ多項式と累乗和の公式》定積分の等式
関数と極限
《周長と面積が等しい長方形》分数関数
《分数関数を含む方程式と不等式》分数関数
《n 文字の置換の性質》合成関数・逆関数
《コラッツ予想に関する整数の性質》合成関数・逆関数
《1 次分数関数の逆関数》合成関数・逆関数
《マチンの公式》合成関数・逆関数
《双曲線関数の逆関数》合成関数・逆関数
《格子に含まれる長方形の面積の平均値の極限》分数型の数列の極限
《格子に含まれる正方形の面積の平均値の極限》分数型の数列の極限
《フィボナッチ数列の隣接項の比の極限》無限等比数列の極限
《ペル方程式の解の成分の比の極限》無限等比数列の極限
《無理数の連分数展開にまつわる数列の極限》いろいろな数列の極限
《算術幾何平均に関する極限》いろいろな数列の極限
《ニュートン法》いろいろな数列の極限
《縮小関数で定まる数列の極限》いろいろな数列の極限
《nrn とじゃんけんの勝者数の期待値の極限》いろいろな数列の極限
《オイラーの定数にまつわる数列の極限》いろいろな数列の極限
《黄金長方形にまつわる無限等比級数》無限等比級数
《コッホ雪片》無限等比級数
《メンガーのスポンジ》無限等比級数
《nrn の無限和と硬貨を投げる回数の期待値》いろいろな無限級数
《クーポン・コレクターの問題の期待値》いろいろな無限級数
《正接がフィボナッチ数の逆数である角の和》いろいろな無限級数
《シルヴェスター数列の逆数の総和》いろいろな無限級数
《調和級数の発散》いろいろな無限級数
《双曲線の漸近線》関数の極限
《ヴィエトの公式》sin x/x の極限
《半円形の鏡による光の反射》sin x/x の極限
《正多角柱につながれたヤギの問題》sin x/x の極限
《奇数次方程式の実数解の存在》中間値の定理
《カラビの三角形定数にまつわる方程式》中間値の定理
微分法 (理系)
《積・商の微分法》微分係数・導関数
《多項式の重根判定法》微分係数・導関数
《くじで当たらない確率の極限値》微分係数・導関数
《ベルヌーイの不等式とネイピア数の評価》微分係数・導関数
《コーシーの関数方程式》微分係数・導関数
《双曲線関数の関数方程式》微分係数・導関数
《逆双曲線関数の導関数》微分係数・導関数
《逆三角関数の導関数》微分係数・導関数
《有名な関数を導関数にもつ関数》微分係数・導関数
《多項式関数のマクローリン展開》高階導関数
《三角関数と対数関数の高階導関数》高階導関数
《三角関数の微分方程式》高階導関数
《高階導関数に関するライプニッツの公式》高階導関数
《微分積分学におけるシュタイナーの問題》対数微分法
《コーシーの平均値の定理》平均値の定理
《定数関数の特徴付け》平均値の定理
《1 次関数の積の極値》平均値の定理
《イェンゼンの不等式とその応用》平均値の定理
《逐次代入法》平均値の定理
《アネェージの曲線の形状》曲線の凹凸
《凸関数のグラフの接線》曲線の凹凸
《関数のグラフの複接線と変曲点の個数》曲線の凹凸
《4 次関数のグラフの複接線の傾き》曲線の凹凸
《点と曲線を結ぶ最短の線分と接線の関係》関数の最大・最小
《座標軸に接する線分の通過範囲》関数の最大・最小
《廊下を通過できる棒の長さの最大値》関数の最大・最小
《正方形の頂点の最小シュタイナー木問題》関数の最大・最小
《円に内接する三角形の面積の最大値》関数の最大・最小
《与えられた辺長をもつ四角形の面積の最大値》関数の最大・最小
《体積が一定である円柱の表面積の最小値》関数の最大・最小
《体積が一定である円錐の表面積の最小値》関数の最大・最小
《ジョルダンの不等式》不等式の証明
《対数関数と 1 次関数の比の極限》不等式の証明
《指数関数の近似とその応用》不等式の証明
《関数の増減と相加・相乗平均の不等式》不等式の証明
《ヤングの不等式とその応用》不等式の証明
《ベルヌーイの不等式の一般化とその応用》不等式の証明
《円に内接する n 角形の周長・面積の最大値》不等式の証明
《2x=x2 の実数解》不等式の証明
《三角関数のマクローリン展開にまつわる…》不等式の証明
《平方根の和と和の平方根に関する不等式》不等式の証明
《階乗数である最大の高度合成数》不等式の証明
《3 次方程式の実数解の個数》方程式への応用
《xex=a の実数解の個数》方程式への応用
《等速円運動》加速度
積分法 (理系)
《正割と余割の不定積分》不定積分
《逆関数の不定積分》不定積分
《三角関数の直交性》定積分
《逆正接関数の性質》定積分で表された関数
《積分の平均値の定理》定積分の不等式
《定積分のコーシー=シュワルツの不等式》定積分の不等式
《指数関数のマクローリン展開にまつわる…》定積分の不等式
《対数関数のテイラー展開にまつわる不等式》定積分の不等式
《逆双曲線関数のテイラー展開にまつわる…》定積分の不等式
《三角関数のマクローリン展開にまつわる…》定積分の不等式
《グレゴリー=ライプニッツ級数》定積分の不等式
《簡易版スターリングの公式》定積分の不等式
《汎調和級数の収束域》定積分の不等式
《素数の逆数和の発散》定積分の不等式
《定積分に関するヤングの不等式》定積分の不等式
《ウォリスの公式》定積分の漸化式
《精密版スターリングの公式》定積分の漸化式
《バーゼル問題》定積分の漸化式
《ネイピア数の無理性》定積分の漸化式
《円周率の無理性》定積分の漸化式
《ベータ関数と面積》面積 (陽関数表示)
《オイラーの定数にまつわる数列の評価》面積 (陽関数表示)
《対称軸が直交する放物線が囲む図形の面積》面積 (陰関数表示)
《円の面積》面積 (陰関数表示)
《楕円の共通部分の面積》面積 (陰関数表示)
《リサジュー曲線が囲む図形の面積: 陰関数》面積 (陰関数表示)
《リサジュー曲線が囲む図形の面積: 媒介変数》面積 (媒介変数表示)
《サイクロイドと直線が囲む図形の面積》面積 (媒介変数表示)
《らせんと座標軸が囲む図形の面積》面積 (媒介変数表示)
《面積による双曲線関数の特徴付け》面積 (媒介変数表示)
《円柱につながれたヤギの問題》面積 (媒介変数表示)
《正葉曲線が囲む図形の面積》面積 (極座標表示)
《レムニスケートが囲む図形の面積》面積 (極座標表示)
《メルカトル級数とその項の並べ替え》区分求積法
《柱体と錐体の体積》体積 (非回転体)
《円柱の共通部分の体積》体積 (非回転体)
《3 次元アストロイドの体積》体積 (非回転体)
《円柱と円錐の体積》体積 (回転体)
《球の体積》体積 (回転体)
《回転楕円体の体積》体積 (回転体)
《トーラスの体積》体積 (回転体)
《バウムクーヘン分割の公式》体積 (回転体)
《サイクロイドの長さ》曲線の長さ (媒介変数表示)
《カージオイドの長さ》曲線の長さ (媒介変数表示)
《アストロイドの長さ》曲線の長さ (媒介変数表示)
《円の伸開線の長さ》曲線の長さ (媒介変数表示)
《らせんの長さ》曲線の長さ (媒介変数表示)
《懸垂線の長さ》曲線の長さ (関数のグラフ)
《放物線の長さ》曲線の長さ (関数のグラフ)
《ガンマ関数》広義積分
《楕円積分の値の評価》広義積分
《チェビシェフ多項式の直交性》広義積分
《減衰曲線に関する面積の極限》広義積分
《ガブリエルのラッパ》広義積分
《ガウス積分》広義積分
《曲線の等周問題》広義積分
《指数関数の微分方程式》微分方程式
《ロジスティック方程式》微分方程式
《排水時の水位に関する微分方程式》微分方程式
《牽引線の媒介変数表示》微分方程式
幾何学分野
図形の性質
《デザルグの定理とその逆》メネラウスの定理
《完全四辺形に関するニュートンの定理》メネラウスの定理
《三角形の五心》チェヴァの定理
《三角形のジェルゴンヌ点とナーゲル点》チェヴァの定理
《三角形に関する等長共役点》チェヴァの定理
《三角形に関する等角共役点》チェヴァの定理
《シュタイナーの比の定理と三角形の類似重心》チェヴァの定理
《三角形のキーペルト点》チェヴァの定理
《重心・垂心・外心・内心が一致する三角形》三角形の五心
《第一トレミーの定理とその逆》円周角の定理
《トリリウムの定理》円周角の定理
《ピトーの定理》円の接線
《三角形のブロカール点の存在》接弦定理
《鋭角三角形の垂心と垂足三角形の内心》円に内接する四角形
《三角形のフェルマー点の作図》円に内接する四角形
《ウォレス=シムソンの定理とその逆》円に内接する四角形
《三角形のミケル点》円に内接する四角形
《角の二等分線の長さ》方べきの定理
《レギオモンタヌスの問題》方べきの定理
《チャップル=オイラーの定理》方べきの定理
《三角形の類似中線の作図法》方べきの定理
《正多面体の種類》空間図形
図形と方程式
《距離の公式による中線定理の証明》2 点間の距離
《シュタインハウスの問題》2 点間の距離
《3 点が同一直線上にある条件》直線の方程式
《直線のヘッセ標準形》直線の方程式
《直線と座標軸で囲まれた三角形の計量》直線の方程式
《3 円の根心》直線の平行条件
《三角形の垂心》直線の垂直条件
《平行な 2 直線間の距離》点と直線の距離
《三角形の面積の公式とその応用》点と直線の距離
《角の二等分線の傾き》点と直線の距離
《2 点を直径の両端とする円周の方程式》円周の方程式
《方べきの定理》円周と直線
《円周の接線》円周の接線
《円周の極線》円周の接線
《2 円の根軸》円周の接線
《ポンスレの閉形定理にまつわる問題》円周の接線
《円の準円》軌跡
《直線の通過領域》不等式の表す領域
《じゃんけんに関する線形計画問題》不等式の表す領域
《多項式の零点集合の和集合と共通部分》図形と方程式の他の問題
ベクトル
《平面上の点の重心座標と三角形の面積比》分点の位置ベクトル
《角の二等分線の性質》分点の位置ベクトル
《四角形の幾何学的重心》分点の位置ベクトル
《四角形の物理的重心》分点の位置ベクトル
《四面体の幾何学的重心》分点の位置ベクトル
《四面体の内心》分点の位置ベクトル
《平面ベクトルの線形独立性》ベクトルの演算
《空間ベクトルの線形独立性》ベクトルの演算
《ラミの定理》ベクトルの演算
《メネラウスの定理》共線条件
《チェヴァの定理》共線条件
《ベクトルによる中線定理の証明》ベクトルの内積
《角の二等分線の傾き》ベクトルの内積
《正多角形の辺と対角線の長さの平方和》ベクトルの内積
《三角形の頂点からの距離の平方和が最小の点》ベクトルの内積
《四面体の頂点からの距離の平方和が最小の点》ベクトルの内積
《コーシー=シュワルツの不等式》シュワルツの不等式
《ベクトルの三角不等式》シュワルツの不等式
《内積の不等式と三角形のフェルマー点》シュワルツの不等式
《ベクトルの大きさの最小値》ベクトルの垂直条件
《三角形のオイラー線と九点円》ベクトルの垂直条件
《三角形に関する直線の直極点》ベクトルの垂直条件
《グラム=シュミットの正規直交化法》ベクトルの垂直条件
《四面体のモンジュ点》ベクトルの垂直条件
《四面体の垂心の存在条件》ベクトルの垂直条件
《三角形の面積の公式》三角形の面積
《三角形の面積のベクトルの内積による表示》三角形の面積
《対辺が互いに垂直な等面四面体》三角形の面積
《ベクトルの外積とスカラー三重積》三角形の面積
《ベクトルによる点と直線の距離の公式の証明》平面図形のベクトル方程式
《円周の接線の方程式》平面図形のベクトル方程式
《方べきの定理》平面図形のベクトル方程式
《ねじれの位置にある 2 直線に直交する直線》空間図形のベクトル方程式
《点と平面の距離とデカルト=グアの定理》空間図形のベクトル方程式
《球面の接平面の方程式》空間図形のベクトル方程式
複素数平面
《ブラーマグプタ=フィボナッチ恒等式》複素数の極形式
《複素数の偏角とマチンの公式》複素数の極形式
《ド・モアブルの定理》ド・モアブルの定理
《複素数からなる乗法で閉じた集合》ド・モアブルの定理
《1 の 5 乗根にまつわる相反方程式》ド・モアブルの定理
《正多角形の辺と対角線の長さの積》ド・モアブルの定理
《ラグランジュの三角恒等式と約数の和の公式》ド・モアブルの定理
《フィボナッチ数列の三角関数表現》ド・モアブルの定理
《複素数による中線定理の証明》複素数平面上の距離
《単位円周上の点を結ぶ三角形と四角形》複素数平面上の距離
《三角不等式》複素数平面上の距離
《ナポレオンの定理》回転移動
《直線の方程式》共線・平行・垂直条件
《三角形の外心》共線・平行・垂直条件
《三角形のオイラー線》共線・平行・垂直条件
《ウォレス=シムソンの定理》共線・平行・垂直条件
《原点を通る直線に関する対称性》共線・平行・垂直条件
《共円条件》共円条件
《三角形の相似条件》複素数と多角形
《座標法》複素数と多角形
《反転と円円対応》複素数平面上の変換
《1 次分数変換と円円対応》複素数平面上の変換
《ケイリー変換》複素数平面上の変換
《複比の 1 次変換による不変性とその応用》複素数平面上の変換
《ジューコフスキー変換》複素数平面上の変換
式と曲線
《放物線上の調和点列》放物線
《楕円の特徴付け》楕円の周
《楕円の接線の長さの最小値》楕円の周
《双曲線の準円》双曲線
《円錐曲線の名の由来》2 次曲線
《2 次曲線の離心率》2 次曲線
《2 次曲線の媒介変数表示》曲線の媒介変数表示
《サイクロイド》曲線の媒介変数表示
《外サイクロイドと内サイクロイド》曲線の媒介変数表示
《黄金らせん》極座標
《正葉曲線の対称性》極座標
組合せ論・確率論・統計学
データの分析
《共分散の公式》相関関係
《相関係数の値の範囲》相関関係
場合の数
《オイラーの関数》個数定理
《約数の個数の公式》積の法則
《試合数》対応の利用
《順列の漸化式》順列
《正多面体の塗り分け》円順列
《中央二項係数の評価》組合せ
《カタラン数の公式》カタラン数
《カタラン数のなす数列の漸化式》カタラン数
《素数であるカタラン数》カタラン数
《奇数であるカタラン数》カタラン数
《区別できる玉の組分け》組分け
《重複組合せの漸化式》組分け
《ベル数》組分け
確率
《番勝負でリードを許さずに優勝する確率》確率の定義
《ブールの不等式とボンフェローニの不等式》和事象の確率
《じゃんけんであいこになる確率》余事象の確率
《独立な事象の余事象の独立性》事象の独立性
《コイン投げの確率の最大値》反復試行の確率
《直線上のランダム・ウォーク》反復試行の確率
《くじ引きの公平性》確率の乗法定理
《n 回のじゃんけんで順位がつく確率》確率の乗法定理
《ポリアの壺》確率の乗法定理
《くじ引きの条件付き確率》確率の乗法定理
《モンティ・ホール問題》確率の乗法定理
《バナッハのマッチ箱》期待値
《二項分布に従う確率変数の期待値》期待値の線形性
《夫婦円卓問題》期待値の線形性
《ポリアの壺の中の白玉の個数の期待値》期待値の線形性
《共分散と分散の公式》期待値の線形性
※1: 洗練された「有名問題」を集めるため,「典型問題」「頻出問題」「伝説的問題」であっても, 数値設定の動機が不明確であるなど, 上記の条件を満たさない問題は, あえて取り上げていません. 動機や背景のよくわからない問題ばかり解いていても数学の知識はなかなか深まっていかないので, 似たような内容を学ぶのであれば「有名問題」を解いた方が断然効率的だと言えるでしょう. 問題の選定基準がここまで厳しい問題集はないかと思いますが, それゆえに質の高い学習ができるでしょう.
※2: 問題の重要度, 知名度, レベル, タイプの分類は, 1 つの目安としてお考えください. 非常に繊細な分類であるため, 人や解法によって異なる分け方になることがあります.
※3: 融合問題を中心に, 教科書と異なる順序で掲載した問題もあります. 特に, 数列の漸化式, 数列の和, 和の記号, 数学的帰納法 (数学 B) は, 諸分野の基礎としてさまざまな定理の証明に使われるため, これを認めて数学 I・A・II の問題としたものもあります.
※4: これは大学入試の過去問題集ではなく, “ 高校数学の知識でどのような問題が解決でき, どれほどの定理が証明できるか ” という著者の長年の教材研究の成果をまとめた問題集です. つまり, 題材になる定理や素朴さありきで選ばれた天然物の集まりであるため, 問題のレベルはさまざまです. 参考になる入試問題の大学名を記した問題もありますが, 実際の入試問題との違いには十分ご注意ください.
※かぎかっこ「」のついた用語: 高校の教科書に (必ずしも) 載っていないもの
あ
- 「RSA 暗号系」
- アイゼンシュタインの $3$ つ組: 公式 (幾何的証明), 三角形の面積, 恒等式
- アストロイド: 媒介変数表示, 長さ, 接線の長さ,「包絡線」, 廊下を通過できる棒
- 「アネェージの曲線」: 形状, 面積
- アポロニウスの円
- 「アルキメデスの開平法」
- 「アルキメデスの定理」
- 「アルキメデスらせん」→らせん
- 「イェスマノヴィッチ予想」
- 「イェンゼンの不等式」
- 「$1$ 次分数変換」
- 「一致の定理」
- 「一般リュカ数列」
- 「イデアル (可換環の)」: $1$ 次不定方程式
- 「ヴァイツェンベックの不等式」
- 「ヴィエトの公式」
- 「ウォリスの公式」
- 「ウォレス=シムソンの定理」: 初等幾何学, 複素数平面
- 「ABC 予想」: 整数の「根基」
- 「エジプト分数」: 方程式, 不等式, 分解の可能性
- 「エネストレーム=掛谷の定理」
- 「エラトステネスのふるい」
- 「エルミートの恒等式」
- 円周率 (まとめ):「マチンの公式」,「ヴィエトの公式」, 無理性
- 「鉛直投げ上げ」
- 「オイラー数」: 第 $1$ 種
- 「オイラー線 (三角形の)」: ベクトル, 複素数平面
- 「オイラーの関数」: 場合の数, 関数
- 「オイラーの公式 (分数式に関する)」
- 「オイラーの定数」: 数列の極限, 近似値
- 「オイラーの定理」:「RSA 暗号系」
- 「オイラーのレンガ」
- 「黄金比」(まとめ): $2$ 次方程式, 三角比, 三角関数, 無限級数, 近似値
- 「黄金らせん」→らせん
- 「オノの不等式」
か
- カージオイド: 媒介変数表示, 長さ
- 「カーティスの定理」: $n = 2,$ $3$ の場合
- 「カーマイケル数」
- 「階乗進法」
- 「外積 (空間ベクトルの)」
- 「ガウス積分」
- 「ガウスの円問題」
- 「角の三等分問題」
- 「角の有理二等分問題」: 図形と方程式, 三角関数, ベクトル
- 「確率過程」(まとめ):「ポリアの壺」,「ランダム・ウォーク」
- 「カタラン数」: 公式, 漸化式, 素数の「カタラン数」, 奇数の「カタラン数」, 確率
- 「カタラン予想」
- 「カッシーニの公式」
- 「加比の理」
- 「ガブリエルのラッパ」
- 「カラビの三角形」: 三角比, 方程式の解の評価
- 「関数方程式」:「コーシーの関数方程式」,「双曲線関数」
- 「完全四辺形に関するニュートンの定理」: 初等幾何, ベクトル
- 「完全順列」→「モンモール数」
- 「完全数」
- 「ガンマ関数」
- 「キーペルト点 (三角形の)」
- 「幾何分布」: 期待値
- 「基底 (線形空間の)」: 座標平面, 座標空間
- 「逆三角関数」: 導関数, 不定積分
- 「既約多項式」:「アイゼンシュタインの判定法」
- 「九点円 (三角形の)」: 三角関数, ベクトル
- 「共円条件」
- 「極線 (円周の)」
- 「曲率 (曲線の)」:「縮閉線」,「初等超越関数」のグラフ
- 「キングス・プロパティー」
- 「クーポン・コレクターの問題」
- 「くくり出し公式 (二項係数の)」
- くじ引きの公平性 (まとめ): 1, 2
- 「グラム=シュミットの正規直交化法」
- 「グレゴリー=ライプニッツ級数」
- 「群」(まとめ):「巡回群」,「対称群」
- 「ケイリー変換」
- 「ケーキ数」
- 「ゲルフォント=シュナイダーの定理」
- 「牽引線」: 媒介変数表示, 接線, 面積
- 「懸垂線」
- 「広義積分」:「ガブリエルのラッパ」,「ガンマ関数」,「ガウス積分」,「曲線の等周問題」など
- 「コーシー=シュワルツの不等式」(まとめ): $n$ 変数, $3$ 変数 (応用を含む),「ラグランジュの恒等式」からの導出, 平面ベクトル, 微分法, 定積分
- 「コーシーの平均値の定理」
- 「格子多角形」(まとめ): 正三角形 1, 正三角形 2,「格子角定理」
- 「交代級数」:「マーダヴァ=ライプニッツ級数」,「メルカトル級数」
- 「高度合成数」: 性質, 階乗数
- 「合比・除比・合除比の理」
- 古典力学:「鉛直投げ上げ」,「斜方投射」
- 「コラッツの問題」
- 「根軸 ($2$ 円の)」
- 「根心 ($3$ 円の)」
さ
- サイクロイド (まとめ): 媒介変数表示, 面積, 長さ
- 「最小シュタイナー木問題」(まとめ): $3$ 点, 正方形の頂点
- 「最小多項式」
- 「座標法」
- 「ザリスキー位相」
- 「三角数」:「ガウスの三角数定理」,「平方三角数」
- 「三角不等式」:「マンハッタン距離」, 応用, ベクトル, 複素数
- $3$ 次方程式:「対称式」,「カルダーノの公式」,「判別式」, 実数解の個数
- 「算術幾何平均」
- 「ジェルゴンヌ点 (三角形の)」
- 「シェルピンスキー数」
- 「斜方投射」: 最大水平到達距離, 速度, 加速度
- 「シューアの不等式」
- 「ジューコフスキー変換」
- 「重心座標」
- 「重積分」:「ガウス積分」
- 「シュケの不等式」
- 「シュタイナーの比の定理」
- 「シュタイナーの問題 (微分積分学)」: 累乗根, 一般
- 「シュタイナーの問題 (平面・空間の分割)」
- 「シュタインハウスの問題」
- 「準円」: 円, 楕円, 双曲線
- 「巡回群」
- 「巡回セールスマン問題」
- 「順序体」:「実数体」,「複素数体」(反例)
- 「ジョルダンの不等式」: 証明,「バーゼル問題」
- 「シルヴェスター数列」: 「カーティスの定理」の $n = 2,$ $3$ の場合, 漸化式, 逆数の総和, 素数の無限性
- 「伸開線 (曲線の)」: 円周,「ヤギの問題」(正多角柱), 「ヤギの問題」(円柱)
- 「シンプソンの公式」
- 「垂足三角形」: 内心, 周長と面積
- 「スカラー三重積 (ベクトルの)」
- 「スターリング数」: 漸化式 (第 $1$ 種), 二項係数との関係式 (第 $1$ 種), 漸化式 (第 $2$ 種)
- 「スターリングの公式」: 簡易版, 精密版
- 「スチュワートの定理」: 余弦定理
- 「正接定理」
- 正多面体: 種類, 外接球の半径, 内接球の半径, 表面積, 体積
- 「正七角形調和」
- 正葉曲線: 極座標表示, 面積
- 「ゼッケンドルフの定理」
- 「線形計画法」
- 「線形独立性」: 平面ベクトル, 空間ベクトル
- 相加・相乗平均の不等式 (まとめ): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
- 「双曲線関数」:「加法定理」, 逆関数,「関数方程式」,「逆双曲線関数」の導関数, 面積, 長さ
- 「相反方程式」
- 「ソフィー・ジェルマンの恒等式」
た
- 「対称群」
- 「対称式」
- 「代数拡大体」(まとめ):「$2$ 次体」,「最小多項式」
- 「対数らせん」→らせん
- 「楕円曲線」:「整点」,「有理点」
- 「楕円積分」
- 「多角錐数」
- 「多角数」: 一般項,「多角数定理」
- 「タクシー数」
- 「チェビシェフ多項式」(まとめ): 存在, 整除性, 値域, 方程式,「直交性」
- 「チェビシェフの和の不等式」
- 「逐次代入法」
- 「チャップル=オイラーの定理」: 図形と計量, 図形の性質
- 「中国式剰余定理」
- 「中心付き多角数」
- 「中線定理」: 図形と計量, 図形と方程式, ベクトル, 複素数平面
- 「超越関数」
- 「超幾何分布」: 期待値
- 「重複組合せ」: 公式, 漸化式
- 「調和級数」
- 「直極点 (三角形に関する直線の)」
- 「ディオファントス近似」
- 「テイラー展開 (関数の)」(まとめ): 指数関数 (微分法), 指数関数 (積分法), 対数関数 (積分法), 三角関数 (微分法), 三角関数 (積分法), 「逆双曲線関数」,「グレゴリー=ライプニッツ級数」と「マーダヴァ=ライプニッツ級数」,「メルカトル級数」
- 「ディリクレの算術級数定理」: $4n+1$ 型の素数
- 「デカルト=グアの定理」
- 「デカルトの葉線」: 面積
- 「等角らせん」→らせん
- 「等差素数列」: 性質, 公差 $2$
- 「等周問題」(まとめ): 三角形 1, 三角形 2, 曲線
- 「等角共役点 (三角形に関する)」
- 「等長共役点 (三角形に関する)」
- 「等長積図形 (equable shape)」: 「ピタゴラスの三角形」, 長方形
- 「導多項式」:「重根判定法」
- 「等面四面体」: 存在と計量, 正四面体の特徴付け
- トーラス
- 「特性関数 (集合の)」
- 「凸関数」(まとめ): 対数関数, 無理関数,「イェンゼンの不等式」, グラフの接線
- 「ド・メレの問題」
- 「トリチェリーの問題」→「フェルマー点 (三角形の)」
- 「トリリウムの定理」
- 「トレミーの定理」: 第一 (余弦定理), 第一 (初等幾何学), 第一 (積和の公式), 第一 (複素数平面), 第二
な
- 「ナーゲル点 (三角形の)」
- 「ナポレオンの定理」: 三角関数, 複素数平面
- 「怠け仕出し屋の数列」
- 「並べ替え不等式」: 相加・相乗平均の不等式, 数列の積の和の最大値
- 「ニーヴェンの定理」
- 「$2$ 次体」:「基底」,「整数環」,「単数群」
- 「$2$ 乗平均平方根」
- 「ニュートン法」
- ネイピア数: 値の評価, 無理性
- 「ネスビットの不等式」
- 「濃度 (集合の)」
は
- 「バーゼル問題」
- 「バウムクーヘン分割の公式」
- 「パスカルの法則」: 証明, 二項定理の導出
- 「パドヴァン数列」
- 「ハドヴィガー=フィンスラーの不等式」
- 「バナッハの不動点定理」
- 「バナッハのマッチ箱」
- 「ハノイの塔」
- パラボラ・アンテナ
- 「反転」
- 「$p$ 進付値」: 「準同型性」,「三角不等式」
- 「ピタゴラスの $3$ つ組」(まとめ): 公式 (代数的証明), 公式 (幾何的証明), 公式 (三角法的証明), 性質 (媒介変数表示), 性質 (方程式),「ピタゴラス変換」, 恒等式
- 「ピタゴラスの $4$ つ組」(まとめ): 性質, 恒等式
- 「非調和比」→「複比」
- 「ピトーの定理」
- 「ビネの公式」
- 「微分方程式」: 三角関数, 指数関数,「ロジスティック方程式」, 排水時の水面の高さ
- 「ファンデルモンドの畳み込み」
- 「フィボナッチ数列」(まとめ 1, まとめ 2, まとめ 3):「ビネの公式」と和,「一般リュカ数列」,「カッシーニの公式」, 「マチンの公式」の類似, 部分列の漸化式, 「加法定理」と「$2$ 倍公式」, 性質 (整除),「ゼッケンドルフの定理」, 隣接項の比の極限, 三角関数表現
- 「夫婦円卓問題」
- 「ブールの不等式」
- 「フェルマー数」:「フェルマー素数」, 素数の無限性
- 「フェルマー点 (三角形の)」: 特徴付け, 作図
- 「フェルマーの小定理」(まとめ): 合同式, 二項定理, 多項定理など
- 「フェルマーの $2$ 平方和定理」
- 「フェルマー予想」
- 「フォイエルバッハの定理」: 三角関数, ベクトル
- 「フォンタナの三角形」
- 「複比」: 不変性, $4$ 点が円周上にあるための条件
- 「複利計算」
- 「双子素数」「三つ子素数」
- 「ブラーマグプタの公式」: 余弦定理, 「ヘロンの公式」を利用
- 「ブラーマグプタの恒等式」:「ペル方程式」への応用
- 「ブラーマグプタの三角形」
- 「ブラーマグプタ=フィボナッチ恒等式」: 式と証明, 複素数平面
- 「ブレートシュナイダーの公式」
- 「フラクタル図形」:「コッホ雪片」「メンガーのスポンジ」
- 「プラスチック数」
- 「ブロカール点 (三角形の)」: 接弦定理,「ヘロンの公式」, 三角関数
- 「フロベニウス写像」
- 「フロベニウスの硬貨交換問題」
- 平均値の定理: 積分法
- 「ベイズの定理」
- 「平方三角数」
- 「平方四角錐数」
- 「平面充填」: $1$ 種類の正多角形, 多種類の正多角形
- 「ベータ関数」(まとめ): $2$ 次関数, $3$ 次関数, $4$ 次関数, 整数の組での値
- 「ヘッセ標準形 (直線の)」
- 「ベル数」
- 「ペル数」: 公式,「一般リュカ数列」,「平方三角数」
- 「ヘルダーの不等式」
- 「ベルトラン=チェビシェフの定理」
- 「ベルヌーイ多項式」: $2$ 次, 一般
- 「ベルヌーイの不等式」(まとめ): 数学的帰納法, 関数の極限, 微分法
- 「ベルヌーイらせん」→らせん
- 「ペル方程式」(まとめ): 一般解,「一般リュカ数列」, 解なし, 解の生成,「平方三角数」, 連立漸化式, 「ブラーマグプタの三角形」
- 「ヘロンの公式」: 余弦定理, 三角形の内接円と傍接円, 三角関数の加法定理
- 「ヘロンの三角形」(まとめ)
- 「包除原理」
- 方べきの定理: 図形と方程式, ベクトル
- 「包絡線」: 放物線, アストロイド
- 「ホイヘンスの第 $2$ 問題」
- 「ホッケー・スティック恒等式」
- 「ポリアの壺」: 確率, 白玉の個数の期待値
- 「ポリアの定理 (整数値多項式に関する)」
- 「ポンスレの閉形定理」:「チャップル=オイラーの定理」, 円周と放物線
- 「ボンフェローニの不等式」
ま
- 「マーダヴァ=ライプニッツ級数」
- 「マクローリン展開 (関数の)」→「テイラー展開 (関数の)」
- 「マチンの公式」:直接的な証明, 複素数を利用した証明, 類似の公式
- 「継子立て」
- 「マラルディの角度」
- 「マルコフの $3$ つ組」
- 「マンハッタン距離」
- 「ミケル点 (三角形の)」
- 「メビウス関数」:「乗法性」, 基本公式
- 「メルカトル級数」
- 「メルセンヌ素数」(まとめ): 指数の条件,「完全数」との関係
- 「モーザーの円の分割問題」
- 「モリーの法則」
- 「モンジュ点 (四面体の)」
- 「モンティ・ホール問題」
- 「モンモール数」: 関係式, 漸化式,「包除原理」による解法
や
- 「ヤギの問題」: 正多角柱につながれた場合, 円柱につながれた場合
- 「ヤングの不等式」: 微分法, 積分法
- 「友愛数」
- 「有理根定理」
- 「ユークリッドの補題」
- $4$ 次方程式:「フェラーリの公式」
- 「ヨセフスの問題」
ら
- 「ライプニッツの公式 (高階導関数)」
- 「ラグランジュの恒等式」:「ブラーマグプタ=フィボナッチ恒等式」, 「コーシー=シュワルツの不等式」の導出
- 「ラグランジュの三角恒等式」
- 「ラグランジュの補間公式」
- らせん:「黄金らせん」,「等角らせん」の性質, 面積, 長さ
- 「ラミの定理」
- 「ラメの定理」
- 「ランダム・ウォーク」
- 「リーマン・ゼータ関数」: 平方数の逆数の和, 立方数の逆数の和,「調和級数」, 収束域,「バーゼル問題」
- リサジュー曲線: 面積 1, 面積 2
- 「立方体倍積問題」
- 「リュカ数列」
- 「リュカのキャノンボール問題」
- 「類似中線 (三角形の)」:「類似重心 (三角形の)」の存在, 「類似重心 (三角形の)」の特徴付け, 作図法
- 累乗数の和を表す多項式: 存在, 性質
- 「ルジャンドル多項式」
- 「ルジャンドルの公式」: 証明, 応用
- 「ルモワーヌ点 (三角形の)」→「類似中線 (三角形の)」
- 「レイリー=ビーティの定理」
- 「レームスの不等式」
- 「レギオモンタヌスの問題」: 方べきの定理, 三角関数
- レムニスケート: 極座標表示, 面積, 周の長さ
- 「連分数展開 (無理数の)」: 「近似分数」, 数列の一般項, 数列の極限
- 「ロジスティック方程式」: 数列,「微分方程式」
- 「ロピタルの定理」: $\log x/x$ の極限
わ
- 「ワイエルシュトラス置換」:「ピタゴラスの $3$ つ組」
- 「ワイエルシュトラスの近似定理」