※1: 洗練された「有名問題」を集めるため,「典型問題」「頻出問題」「伝説的問題」であっても, 数値設定の動機が不明確であるなど, 上記の条件を満たさない問題は, あえて取り上げていません. 動機や背景のよくわからない問題ばかり解いていても数学の知識はなかなか深まっていかないので, 似たような内容を学ぶのであれば「有名問題」を解いた方が断然効率的だと言えるでしょう. 問題の選定基準がここまで厳しい問題集はないかと思いますが, それゆえに質の高い学習ができるでしょう.

※2: 問題の重要度, 知名度, レベル, タイプの分類は, 1 つの目安としてお考えください. 非常に繊細な分類であるため, 人や解法によって異なる分け方になることがあります.

※3: 融合問題を中心に, 教科書と異なる順序で掲載した問題もあります. 特に, 数列の漸化式, 数列の和, 和の記号, 数学的帰納法(数学 B)は, 諸分野の基礎としてさまざまな定理の証明に使われるため, これを認めて数学 I・A・II の問題としたものもあります.

※4: これは大学入試の過去問題集ではなく, “ 高校数学の知識でどのような問題が解決でき, どれほどの定理が証明できるか ” という著者の長年の教材研究の成果をまとめた問題集です. つまり, 題材になる定理や素朴さありきで選ばれた天然物の集まりであるため, 問題のレベルはさまざまです. 参考になる入試問題の大学名を記した問題もありますが, 実際の入試問題との違いには十分ご注意ください.

あ

• 「RSA 暗号系」
• アイゼンシュタインの $3$ つ組: 公式(幾何的証明), 三角形の面積, 恒等式
• アステロイド: 媒介変数表示, 長さ, 接線の長さ,「包絡線」, 廊下を通過できる棒
• 「アネェージの曲線」: 形状, 面積
• アポロニウスの円
• 「アルキメデスの開平法」
• 「アルキメデスの定理」
• 「アルキメデスらせん」→らせん
• 「イェンゼンの不等式」
• 「$1$ 次分数変換」
• 「一致の定理」
• 「イデアル(可換環の)」: $1$ 次不定方程式
• 「ヴィエトの公式」
• 「ウォリスの公式」
• 「ウォレス=シムソンの定理」: 初等幾何学, 複素数平面
• 「エジプト分数」: 方程式, 不等式, 分解の可能性
• 「エネストレーム=掛谷の定理」
• 「エラトステネスのふるい」
• 円周率(まとめ):「マチンの公式」,「ヴィエトの公式」, 無理性
• 「鉛直投げ上げ」
• 「オイラー線(三角形の)」
• 「オイラーの関数」
• 「オイラーの公式(分数式に関する)」
• 「オイラーの定数」: 数列の極限, 近似値
• 「オイラーの定理」:「RSA 暗号系」
• 「オイラーのレンガ」
• 「黄金比」(まとめ): $2$ 次方程式, 三角比, 三角関数, 無限級数, 近似値
• 「黄金らせん」→らせん
• 「オノの不等式」

か

• カージオイド: 媒介変数表示, 長さ
• 「カーティスの定理」: $n = 2,$ $3$ の場合
• 「カーマイケル数」
• 「ガウス積分」
• 「ガウスの円問題」
• 「確率過程」(まとめ):「ポリアの壺」,「ランダム・ウォーク」
• 「カタラン数」: 公式, 漸化式, 素数の「カタラン数」, 奇数の「カタラン数」
• 「カタラン予想」
• 「カッシーニの公式」
• 「加比の理」
• 「ガブリエルのラッパ」
• 「カラビの三角形」: 三角比, 方程式の解の評価
• 「関数方程式」:「コーシーの関数方程式」,「双曲線関数」
• 「完全四辺形に関するニュートンの定理」: 初等幾何, ベクトル
• 「完全順列」
• 「完全数」
• 「ガンマ関数」
• 「キーペルト点(三角形の)」
• 「幾何分布」: 期待値
• 「既約多項式」:「アイゼンシュタインの判定法」
• 「九点円(三角形の)」: 三角関数, ベクトル
• 「共円条件」
• 「極線(円周の)」
• 「曲率(曲線の)」:「縮閉線」,「初等超越関数」のグラフ
• 「キングス・プロパティー」
• 「くくり出し公式(二項係数の)」
• くじ引きの公平性(まとめ): 1, 2
• 「グレゴリー=ライプニッツ級数」
• 「群」(まとめ):「巡回群」,「対称群」
• 「ケイリー変換」
• 「ゲルフォント=シュナイダーの定理」
• 「懸垂線」
• 「コーシー=シュワルツの不等式」(まとめ):「ユークリッド内積」, 「ラグランジュの恒等式」からの導出, ベクトル, 微分法, 定積分
• 「広義積分」:「ガブリエルのラッパ」,「ガンマ関数」,「ガウス積分」,「曲線の等周問題」など
• 「格子多角形」(まとめ): 正三角形 1, 正三角形 2,「格子角定理」
• 「交代級数」:「マーダヴァ=ライプニッツ級数」,「メルカトル級数」
• 「高度合成数」
• 「合比・除比・合除比の理」
• 古典力学:「鉛直投げ上げ」,「斜方投射」
• 「根軸($2$ 円の)」
• 「根心($3$ 円の)」

さ

• サイクロイド(まとめ): 媒介変数表示, 面積, 長さ
• 「最小シュタイナー木問題」(まとめ): $3$ 点, 正方形の頂点
• 「最小多項式」
• 「座標法」
• 「ザリスキー位相」
• 「三角不等式」:「マンハッタン距離」, 応用, 複素数
• $3$ 次方程式:「対称式」,「カルダーノの公式」,「判別式」, 実数解の個数
• 「算術幾何平均」
• 「ジェルゴンヌ点(三角形の)」
• 「シェルピンスキー数」
• 「斜方投射」
• 「シューアの不等式」
• 「ジューコフスキー変換」
• 「重心座標」
• 「重積分」:「ガウス積分」
• 「シュケの不等式」
• 「シュタイナーの問題(微分積分学)」: 累乗根, 一般
• 「シュタイナーの問題(平面・空間の分割)」
• 「シュタインハウスの問題」
• 「準円」: 楕円, 双曲線
• 「巡回群」
• 「順序体」:「実数体」,「複素数体」(反例)
• 「ジョルダンの不等式」: 証明,「バーゼル問題」
• 「シルヴェスター数列」: 「カーティスの定理」の $n = 2,$ $3$ の場合, 漸化式, 逆数の総和, 素数の無限性
• 「伸開線(曲線の)」: 円周,「ヤギの問題」(正多角柱), 「ヤギの問題」(円柱)
• 「シンプソンの公式」
• 「スターリング数」
• 「スターリングの公式」: 簡易版, 精密版
• 「スチュワートの定理」: 余弦定理
• 「正接定理」
• 正多面体: 種類, 外接球の半径, 内接球の半径, 表面積, 体積
• 「正七角形調和」
• 正葉曲線: 極座標表示, 面積
• 「ゼッケンドルフの定理」
• 「線形計画法」
• 相加・相乗平均の不等式(まとめ): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11
• 「双曲線関数」:「加法定理」, 逆関数,「関数方程式」,「逆双曲線関数」の導関数, 面積, 長さ
• 「相反方程式」
• 「ソフィー・ジェルマンの恒等式」

た

• 「対称群」
• 「対称式」
• 「代数拡大体」(まとめ):「$2$ 次体」,「最小多項式」
• 「対数らせん」→らせん
• 「楕円曲線」
• 「タクシー数」
• 「チェビシェフ多項式」(まとめ): 存在, 整除性, 値域, 方程式
• 「チェビシェフの和の不等式」
• 「逐次代入法」
• 「チャップル=オイラーの定理」
• 「中国式剰余定理」
• 「中線定理」: 余弦定理, 座標, ベクトル, 複素数
• 「超越関数」
• 「重複組合せ」: 公式, 漸化式
• 「調和級数」
• 「ディオファントス近似」
• 「テイラー展開(関数の)」(まとめ): 指数関数(微分法), 指数関数(積分法), 対数関数(積分法), 三角関数(微分法), 三角関数(積分法), 「逆双曲線関数」,「グレゴリー=ライプニッツ級数」と「マーダヴァ=ライプニッツ級数」,「メルカトル級数」
• 「ディリクレの算術級数定理」: $4n+1$ 型の素数
• 「デカルト=グアの定理」
• 「デカルトの葉線」: 面積
• 「等角らせん」→らせん
• 「等差素数列」: 性質, 公差 $2$
• 「等周問題」(まとめ): 三角形 1, 三角形 2, 曲線
• 「等長積図形(equable shape)」: 「ピタゴラスの三角形」, 長方形
• 「導多項式」:「重根判定法」
• 「等面四面体」: 存在と計量, 正四面体の特徴付け
• トーラス
• 「凸関数」(まとめ): 対数関数, 無理関数,「イェンゼンの不等式」, グラフの接線
• 「ド・メレの問題」
• 「トレミーの定理」: 第一(余弦定理), 第一(初等幾何学), 第一(積和の公式), 第一(複素数平面), 第二

な

• 「ナーゲル点(三角形の)」
• 「ナポレオンの定理」: 三角関数, 複素数平面
• 「並べ替え不等式」: 相加・相乗平均の不等式, 数列の積の和の最大値
• 「ニーヴェンの定理」
• 「$2$ 次体」:「基底」,「ノルム」と「単数」
• 「$2$ 乗平均平方根」
• 「ニュートン法」
• ネイピア数: 値の評価, 無理性
• 「濃度(集合の)」

は

• 「バーゼル問題」
• 「バウムクーヘン分割の公式」
• パスカルの法則
• 「パドヴァン数列」
• 「バナッハの不動点定理」
• 「バナッハのマッチ箱」
• 「ハノイの塔」
• パラボラ・アンテナ
• 「反転」
• 「$p$ 進付値」: 「準同型性」,「三角不等式」
• 「ピタゴラスの $3$ つ組」(まとめ): 公式(代数的証明), 公式(幾何的証明), 公式(三角法的証明), 性質(媒介変数表示), 性質(方程式),「ピタゴラス変換」, 恒等式
• 「ピタゴラスの $4$ つ組」(まとめ): 性質, 恒等式
• 「ビネの公式」
• 「微分方程式」: 三角関数, 指数関数,「ロジスティック方程式」, 排水時の水面の高さ
• 「ファンデルモンドの畳み込み」
• 「フィボナッチ数列」(まとめ 1, まとめ 2, まとめ 3):「ビネの公式」と和,「カッシーニの公式」,「加法定理」と「$2$ 倍公式」, 性質,「ゼッケンドルフの定理」, 隣接項の比の極限, 三角関数表現
• 「夫婦円卓問題」
• 「フェルマー数」:「フェルマー素数」, 素数の無限性
• 「フェルマー点(三角形の)」: 特徴付け, 作図
• 「フェルマーの小定理」(まとめ): 合同式, 二項定理, 多項定理など
• 「フェルマーの $2$ 平方和定理」
• 「フェルマー予想」
• 「フォイエルバッハの定理」: 三角関数, ベクトル
• 「フォンタナの三角形」
• 「複利計算」
• 「双子素数」「三つ子素数」
• 「ブラーマグプタの公式」
• 「ブラーマグプタの恒等式」:「ペル方程式」への応用
• 「ブラーマグプタの三角形」
• 「ブラーマグプタ=フィボナッチ恒等式」: 式と証明, 複素数平面
• 「ブレートシュナイダーの公式」
• 「フラクタル図形」:「コッホ雪片」
• 「プラスチック数」
• 「ブロカール点(三角形の)」: 接弦定理,「ヘロンの公式」, 三角関数
• 「フロベニウス写像」
• 「フロベニウスの硬貨交換問題」
• 平均値の定理: 積分法
• 「ベイズの定理」
• 「平方三角数」
• 「平方四角錐数」
• 「平面充填」: $1$ 種類の正多角形, 多種類の正多角形
• 「ベータ関数」(まとめ): $2$ 次関数, $3$ 次関数, $4$ 次関数, 整数の組での値
• 「ヘッセ標準形(直線の)」
• 「ベル数」
• 「ベルトラン=チェビシェフの定理」
• 「ベルヌーイ多項式」: $2$ 次, 一般
• 「ベルヌーイの不等式」(まとめ): 数学的帰納法, 関数の極限, 微分法
• 「ベルヌーイらせん」→らせん
• 「ペル方程式」(まとめ): 一般解, 解なし, 解の生成,「平方三角数」, 連立漸化式, 「ブラーマグプタの三角形」
• 「ヘロンの公式」
• 「ヘロンの三角形」(まとめ)
• 方べきの定理: 図形と方程式, ベクトル
• 「包絡線」: 放物線, アステロイド
• 「ホッケー・スティック恒等式」
• 「ポリアの壺」
• 「ポリアの定理(整数値多項式に関する)」
• 「ポンスレの閉形定理」:「チャップル=オイラーの定理」, 円周と放物線

ま

• 「マーダヴァ=ライプニッツ級数」
• 「マクローリン展開(関数の)」→「テイラー展開(関数の)」
• 「マチンの公式」
• 「継子立て」
• 「マラルディの角度」
• 「マルコフの $3$ つ組」
• 「マンハッタン距離」
• 「メルカトル級数」
• 「メルセンヌ素数」(まとめ): 指数の条件,「完全数」との関係
• 「モーザーの円の分割問題」
• 「モリーの法則」
• 「モンジュ点(四面体の)」
• 「モンティ・ホール問題」
• 「モンモール数」

や

• 「ヤギの問題」: 正多角柱につながれた場合, 円柱につながれた場合
• 「ヤングの不等式」: 微分法, 積分法
• 「友愛数」
• 「有理根定理」
• 「ユークリッドの補題」
• $4$ 次方程式:「フェラーリの公式」
• 「ヨセフスの問題」

ら

• 「ライプニッツの公式(高階導関数)」
• 「ラグランジュの恒等式」:「ブラーマグプタ=フィボナッチ恒等式」, 「コーシー=シュワルツの不等式」の導出
• 「ラグランジュの補間公式」
• らせん:「黄金らせん」,「等角らせん」の性質, 面積, 長さ
• 「ラメの定理」
• 「ランダム・ウォーク」
• 「リーマン・ゼータ関数」: 平方数の逆数の和, 立方数の逆数の和,「調和級数」, 収束域,「バーゼル問題」
• リサジュー曲線: 面積 1, 面積 2
• 「立方体倍積問題」
• 「リュカ数列」
• 「リュカのキャノンボール問題」
• 累乗数の和を表す多項式: 存在, 性質
• 「ルジャンドル多項式」
• 「ルジャンドルの公式」
• 「レイリー=ビーティの定理」
• 「レームスの不等式」
• 「レギオモンタヌスの問題」: 方べきの定理, 三角関数
• レムニスケート: 媒介変数表示
• 「連分数展開(無理数の)」: 「近似分数」, 数列の一般項, 数列の極限
• 「ロジスティック方程式」: 数列,「微分方程式」
• 「ロピタルの定理」: $\log x/x$ の極限

わ

• 「ワイエルシュトラス置換」:「ピタゴラスの $3$ つ組」
• 「ワイエルシュトラスの近似定理」