確率の基本
確率の基本
事象 $E$ が起こる確率を $P(E)$ で表す.
定理《和事象の確率》
事象 $A,$ $B$ について,
- (1)
- $A,$ $B$ の和事象 $A\cup B$ が起こる確率は, \[ P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B)\] である.
- (2)
- $A,$ $B$ が互いに排反であるとき, \[ P(A\cup B) = P(A)+P(B)\] が成り立つ.
定理《余事象の確率》
事象 $A$ の余事象 $\bar A$ が起こる確率 $P(\bar A)$ は,
\[ P(\bar A) = 1-P(A)\]
である.
定理《独立試行の確率》
$2$ つの独立な試行 S, T を行うとき, S では事象 $A$ が起こり, T では事象 $B$ が起こるという事象 $C$ が起こる確率は,
\[ P(C) = P(A)P(B)\]
である.
問題《番勝負でリードを許さずに優勝する確率》
A, B の $2$ 人が $2n−1$ 番勝負を行う.
つまり, 引き分けのない勝負を繰り返し, 先に $n$ 勝した方を優勝者に決める.
- (1)
- A, B の勝ち星の取り方の総数を求めよ.
- (2)
- A が B に $1$ 度もリードを許さずに優勝する確率を求めよ. ただし, A, B の実力は互角とする.
実戦素朴$2023/04/03$$2023/04/05$
解答例
- (1)
- $0$ 以上 $n-1$ 以下の各整数 $k$ に対して, A が $n$ 勝 $k$ 敗で優勝する場合の数も B が $n$ 勝 $k$ 敗で優勝する場合の数も ${}_{n+k}\mathrm C_n$ であるから, 求める場合の数は \[ 2({}_n\mathrm C_n+\cdots +{}_{2n-1}\mathrm C_n) = 2\cdot{}_{2n}\mathrm C_{n+1} = \frac{2(2n)!}{(n+1)!(n-1)!}\] である.
- (2)
- A が B に $1$ 度もリードを許さずに優勝する場合の数は, 優勝者が決まった後は両者が $n$ 勝 $n$ 敗になるまで優勝者が勝ちを譲るという取り決めのもとで $2n$ 回の勝負をするとき, A の負けが先行しない場合の数に他ならず, $n$ 番目の「カタラン数」 \[ C_n = \frac{{}_{2n}\mathrm C_n}{n+1} = \frac{(2n)!}{(n+1)!n!}\] に等しい. よって, 求める確率は, \[\frac{(2n)!}{(n+1)!n!}\div\frac{2(2n)!}{(n+1)!(n-1)!} = \frac{1}{2n}\] である.
問題《じゃんけんであいこになる確率》
$n$ を $2$ 以上の整数とする.
$n$ 人のじゃんけんであいこになる確率 $p_n$ を求めよ.
標準素朴$2019/04/17$$2022/05/09$
解答例
$n$ 人のじゃんけんで, 全員の手の出し方は $3^n$ 通りある.
あいこにならないのは, 全員の出した手がちょうど $2$ 種類になる場合である. この場合に, グー, チョキ, パーの $3$ 種類から $2$ 種類を選ぶ方法が ${}_3\mathrm C_2 = 3$ 通りあり, そのそれぞれに対して全員の手の出し方が $2^n-2$ 通りある. よって, あいこにならない場合の数は $3(2^n-2)$ であるから, あいこにならない確率は \[\frac{3(2^n-2)}{3^n} = \frac{2^n-2}{3^{n-1}}\] である.
ゆえに, あいこになる確率は, \[ p_n = 1-\frac{2^n-2}{3^{n-1}} = \frac{3^{n-1}-2^n+2}{3^{n-1}}\] である.
あいこにならないのは, 全員の出した手がちょうど $2$ 種類になる場合である. この場合に, グー, チョキ, パーの $3$ 種類から $2$ 種類を選ぶ方法が ${}_3\mathrm C_2 = 3$ 通りあり, そのそれぞれに対して全員の手の出し方が $2^n-2$ 通りある. よって, あいこにならない場合の数は $3(2^n-2)$ であるから, あいこにならない確率は \[\frac{3(2^n-2)}{3^n} = \frac{2^n-2}{3^{n-1}}\] である.
ゆえに, あいこになる確率は, \[ p_n = 1-\frac{2^n-2}{3^{n-1}} = \frac{3^{n-1}-2^n+2}{3^{n-1}}\] である.
別解
$n+1$ 人のじゃんけんであいこになる事象は, $n$ 人と $n+1$ 人目が何種類の手を出すかに着目すると, 次の $3$ つに分けられる.
- (i)
- $n$ 人が同じ手を出して, $n+1$ 人目がそれと同じ手を出す事象. この確率は $\dfrac{3}{3^n}\cdot\dfrac{1}{3}$ である.
- (ii)
- $n$ 人が $2$ 種類の手を出し($n$ 人があいこにならず), $n+1$ 人目がそれらと異なる手を出す事象. この確率は $(1-p_n)\cdot\dfrac{1}{3}$ である.
- (iii)
- $n$ 人が $3$ 種類の手を出して, $n+1$ 人目が任意の手を出す事象. この確率は $\left( p_n-\dfrac{3}{3^n}\right)\cdot 1$ である.
問題《独立な事象の余事象の独立性》
事象 $A$ と $B$ が独立であるならば, $A$ と $\bar B,$ $\bar A$ と $B,$ $\bar A$ と $\bar B$ はそれぞれ独立であることを示せ.
基本定理$2022/11/29$$2022/11/29$
解答例
事象 $A$ と $B$ が独立であるとする.
- (i)
- このとき, \[\begin{aligned} P(A\cap\bar B) &= P(A)-P(A\cap B) = P(A)-P(A)P(B) \\ &= P(A)\{ 1-P(B)\} = P(A)P(\bar B) \end{aligned}\] が成り立つから, $A$ と $\bar B$ は独立である.
- (ii)
- (i) において $A$ と $B$ を入れ替えれば, $\bar A$ と $B$ は独立であることがわかる.
- (iii)
- (ii) により, (i) の結果を $\bar A$ と $B$ に適用すると, $\bar A$ と $\bar B$ は独立であることがわかる.