(1)

$0$ 以上 $n-1$ 以下の各整数 $k$ に対して, A が $n$ 勝 $k$ 敗で優勝する場合の数も B が $n$ 勝 $k$ 敗で優勝する場合の数も ${}_{n+k}\mathrm C_n$ であるから, 求める場合の数は \[ 2({}_n\mathrm C_n+\cdots +{}_{2n-1}\mathrm C_n) = 2\cdot{}_{2n}\mathrm C_{n+1} = \frac{2(2n)!}{(n+1)!(n-1)!}\] である.

(2)

A が B に $1$ 度もリードを許さずに優勝する場合の数は, 優勝者が決まった後は両者が $n$ 勝 $n$ 敗になるまで優勝者が勝ちを譲るという取り決めのもとで $2n$ 回の勝負をするとき, A の負けが先行しない場合の数に他ならず, $n$ 番目の「カタラン数」 \[ C_n = \frac{{}_{2n}\mathrm C_n}{n+1} = \frac{(2n)!}{(n+1)!n!}\] に等しい. よって, 求める確率は, \[\frac{(2n)!}{(n+1)!n!}\div\frac{2(2n)!}{(n+1)!(n-1)!} = \frac{1}{2n}\] である.

　$[1]$ を事象の個数 $n$ に関する数学的帰納法で示す.

(i)

$n = 2$ のとき. \[\begin{aligned} P(A_1\cup A_2) &= P(A_1)+P(A_2)-P(A_1\cap A_2) \\ &\leqq P(A_1)+P(A_2) \end{aligned}\] であるから, $[1]$ が成り立つ.

(ii)

$n = k$ ($k$: $2$ 以上の整数) のとき $[1]$ が成り立つとすると, \[\begin{aligned} &P(A_1\cup\cdots\cup A_k\cup A_{k+1}) \\ &\leqq P(A_1\cup\cdots\cup A_k)+P(A_{k+1}) \quad (\because n = 2\text{ の場合}) \\ &\leqq P(A_1)+\cdots +P(A_k)+P(A_{k+1}) \quad (\because\text{仮定}) \end{aligned}\] となるから, $n = k+1$ のとき $[1]$ が成り立つ.

(i), (ii) から, $2$ 以上のすべての整数 $n$ に対して $[1]$ が成り立つ.
　また, $[1]$ とド・モルガンの法則により, \[\begin{aligned} &P(A_1\cap\cdots\cap A_n) = P(\overline{\overline{A_1\cap\cdots\cap A_n}}) \\ &= 1-P(\overline{A_1\cap\cdots\cap A_n}) \\ &= 1-P(\overline{A_1}\cup\cdots\cup\overline{A_n}) \quad (\because\text{ド・モルガンの法則}) \\ &\geqq 1-P(\overline{A_1})-\cdots -P(\overline{A_n}) \quad (\because [1]) \\ &= 1-\{ 1-P(A_1)\}-\cdots -\{ 1-P(A_n)\} \\ &= P(A_1)+\cdots +P(A_n)-(n-1) \end{aligned}\] が得られる.

　$n$ 人のじゃんけんで, 全員の手の出し方は $3^n$ 通りある.
　あいこにならないのは, 全員の出した手がちょうど $2$ 種類になる場合である. この場合に, グー, チョキ, パーの $3$ 種類から $2$ 種類を選ぶ方法が ${}_3\mathrm C_2 = 3$ 通りあり, そのそれぞれに対して全員の手の出し方が $2^n-2$ 通りある. よって, あいこにならない場合の数は $3(2^n-2)$ であるから, あいこにならない確率は \[\frac{3(2^n-2)}{3^n} = \frac{2^n-2}{3^{n-1}}\] である.
　ゆえに, あいこになる確率は, \[ p_n = 1-\frac{2^n-2}{3^{n-1}} = \frac{3^{n-1}-2^n+2}{3^{n-1}}\] である.

　$n+1$ 人のじゃんけんであいこになる事象は, $n$ 人と $n+1$ 人目が何種類の手を出すかに着目すると, 次の $3$ つに分けられる.

(i)

$n$ 人が同じ手を出して, $n+1$ 人目がそれと同じ手を出す事象. この確率は $\dfrac{3}{3^n}\cdot\dfrac{1}{3}$ である.

(ii)

$n$ 人が $2$ 種類の手を出し ($n$ 人があいこにならず), $n+1$ 人目がそれらと異なる手を出す事象. この確率は $(1-p_n)\cdot\dfrac{1}{3}$ である.

(iii)

$n$ 人が $3$ 種類の手を出して, $n+1$ 人目が任意の手を出す事象. この確率は $\left( p_n-\dfrac{3}{3^n}\right)\cdot 1$ である.

(i)～(iii) は排反であるから, \[\begin{aligned} p_{n+1} &= \frac{3}{3^n}\cdot\frac{1}{3}+(1-p_n)\cdot\frac{1}{3}+\left( p_n-\frac{3}{3^n}\right)\cdot 1 \\ &= \frac{2}{3}p_n-\frac{2}{3^n}+\frac{1}{3} \end{aligned}\] が成り立つ. これは \[\begin{aligned} p_{n+1}-1 &= \frac{2}{3}(p_n-1)-\frac{2}{3^n} \\ 3^n(p_{n+1}-1) &= 2\cdot 3^{n-1}(p_n-1)-2 \end{aligned}\] と変形できる. $a_n = 3^{n-1}(p_n-1)$ とおくと, \[\begin{aligned} &a_{n+1} = 2a_n-2, \quad a_{n+1}-2 = 2(a_n-2), \\ &a_2 = 3(p_2-1) = 3\left(\frac{1}{3}-1\right) = -2 \end{aligned}\] から, \[\begin{aligned} a_n-2 &= (a_2-2)2^{n-2} = -4\cdot 2^{n-2} = -2^n \\ a_n &= -2^n+2 \end{aligned}\] となる. ゆえに, 求める確率は, \[ p_n = 1+\frac{a_n}{3^{n-1}} = \frac{3^{n-1}-2^n+2}{3^{n-1}}\] である.

　事象 $A$ と $B$ が独立であるとする.

(i)

このとき, \[\begin{aligned} P(A\cap\bar B) &= P(A)-P(A\cap B) = P(A)-P(A)P(B) \\ &= P(A)\{ 1-P(B)\} = P(A)P(\bar B) \end{aligned}\] が成り立つから, $A$ と $\bar B$ は独立である.

(ii)

(i) において $A$ と $B$ を入れ替えれば, $\bar A$ と $B$ は独立であることがわかる.

(iii)

(ii) により, (i) の結果を $\bar A$ と $B$ に適用すると, $\bar A$ と $\bar B$ は独立であることがわかる.