有名問題・定理から学ぶ数学

Well-Known Problems and Theorems in Mathematics

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数学資料集

公式集

高校数学

数と式, 論理と集合, 2 次関数, 図形と計量, データの分析
場合の数, 確率, 整数の性質 (数学と人間の活動), 図形の性質
式と証明, 複素数と方程式, 図形と方程式, 三角関数, 指数関数・対数関数, 微分法・積分法
数列
関数・極限, 微分法, 積分法
ベクトル, 複素数平面, 式と曲線

各分野の興味深い話題

代数学分野

解析学分野

幾何学分野

課題学習

高校数学

チャヌシッチの必勝法
フィボナッチ数の判定条件
RSA 暗号系の仕組み
ランダム・ウォークの再帰確率
完全順列の場合の数と確率
カルダーノの公式とフェラーリの公式
ピタゴラスの $3$ つ組を表す公式
格子正多角形の決定
円周率の近似値の求め方
等周問題

未解決問題

代数学

メルセンヌ素数, 多重メルセンヌ素数, メルセンヌ数の素因数, レピュニット素数,
フェルマー素数, ピアポント素数,
ウィルソン素数, ウォルステンホルム素数,
階乗素数, 素数階乗素数, カレン素数, ウッダル素数, プロス素数, タービト素数,
幸運素数,
ソフィー・ジェルマン素数, 任意の長さのカニンガム鎖
双子素数, 三つ子素数,
ルジャンドル予想, オッパーマンの予想, アンドリカの予想, ブニャコフスキー予想,
アルティン予想,
ギルブレス予想,
フォーチュン予想
完全数, 奇数の完全数, 超完全数, 奇数の超完全数,
倍積完全数, 概完全数, 準完全数,
基準完全数, 乗法的完全数, e-多重完全数,
奇数の不思議数, 調和数,
友愛数, 婚約数, 社交数,
ルース=アーロン・ペア,
サブライム数, 奇数のサブライム数,
隣り合う優高度合成数の比,
シェルピンスキー数, リーゼル数, ブリエ数,
カーマイケル予想,
約数の和が素数である整数,
ベイトマンの問題,
階乗数の和の整除性,
3 個の素数の積であるカーマイケル数
フィボナッチ素数, リュカ素数, ペル素数,
平方トリボナッチ数, 平方パドヴァン数,
等差数列に関するエルデシュ予想, 素数を公比とする数列の和として 2 通りに表せる整数,
コラッツ予想, リクレル数
ネガティブなペル方程式の整数解の存在条件,
ビール予想, ランダー=パーキン=セルフリッジ予想,
合同数,
中線の長さが整数であるヘロンの三角形, 全有理距離点問題, 完全直方体, 有理四面体,
マルコフ数,
エルデシュ=シュトラウス予想,
ゴールマハティヒ予想,
イェスマノヴィッチ予想, 積が等しいピタゴラスの 3 つ組
ブロカールの問題
ゴールドバッハ予想, ルモワーヌ=レヴィ予想, 2 個の幸運数の和, 孫の予想, トゥーランの問題,
階乗数の交代和として表される素数,
ウェアリングの問題,
フロベニウスの硬貨交換問題, 郵便切手問題
四元数体上の代数方程式の解の公式

解析学

等比数列の小数部分の一様分布性,
掛谷の問題の派生版
$\pi +e,$ $\pi e$, オイラーの定数, ゼータ関数の奇数点での値, カタランの定数,
ブルンの定数, 逆フィボナッチ定数

幾何学

三角形の中の三角形, 内接正方形問題,
四面体内の四面体の体積の期待値,
体積が最小の 3 次元定幅図形,
ルパート王子の問題の一般化, ソファー問題
充填密度が最小の凸体, 半円・半球の最密充填,
正方形への単位正方形の詰め込み, 単位正方形への円の詰め込み,
被覆密度が最大の凸体, 図形を被覆する円の半径,
帯に円を詰め込むときの密度,
単位球による遮光雲の厚み,
正方形の等積長方形への分割の問題,
レプ・タイルの問題, 擬似レプ・タイルの問題,
空間充填可能な四面体, 空間充填可能な凸多面体の面数, 空間の非周期充填,
平面の彩色数,
藤村の三角形問題,
一般の位置にある点を結ぶ多角形,
シェーンベルクの有理多角形問題, ハーボースの予想,
凸多面体の展開図,
格子三角形上の格子点

その他

シングマスター予想, エルデシュ=セケレスの問題, ベル素数,
魔方陣の個数, 平方数のみからなる 3 次の魔方陣,
切手折り問題

近年解決された問題

代数学

素数列に含まれる等差数列
カーマイケル数の無限性
弱いゴールドバッハ予想
フェルマー予想, カタラン予想

解析学

$2^{\sqrt 2}$ や ${\sqrt 2}^{\sqrt 2}$ などの実数の無理性

幾何学

4 色問題, ヒーウッド予想, 平面充填可能な凸五角形の分類, アインシュタイン問題, ケプラー予想

数表

数列

平方数, 平方因数をもたない整数, 立方数
三角数, 矩形数, 四角数, 五角数, 六角数,
中心付き三角数, 中心付き四角数, 中心付き五角数, 中心付き六角数,
三角錐数, 四角錐数, 五角錐数, 六角錐数
五胞体数
素数,
メルセンヌ素数,
フェルマー素数, 作図可能な正多角形の頂点の個数,
ピアポント素数, 折り紙で作図可能な正多角形の頂点の個数,
階乗素数, カレン素数, ウッダル素数, プロス素数,
双子素数, ソフィー・ジェルマン素数,
フォーチュン数
幸運数, 幸運素数,
実際数, 原始的実際数
約数の個数, 約数の総和, 相異なる素因数の個数, 重複度込みの素因数の個数,
オイラーの $\varphi$ 関数, カーマイケルの $\lambda$ 関数,
完全数, 調和数,
友愛数, 婚約数
高度合成数,
カーマイケル数
分割数, 整数の分割における項の総数,
ウェアリングの問題の解,
n 通りの表示をもつ 2 個の平方数の和, ―― 3 個の平方数の和, ―― 4 個の平方数の和,
ルース=アーロン・ペア
フィボナッチ数列, リュカ数列,
トリボナッチ数列, パドヴァン数列, ペラン数列,
シルヴェスター数列
階乗, モンモール数,
二項係数, カタラン数, モツキン数,
第 1 種スターリング数, 第 2 種スターリング数, ベル数,
第 1 次オイラー数, 第 2 次オイラー数,
ベルヌーイ数,
直線による平面の分割数, 円周による平面の分割数,
楕円の周による平面の分割数, 三角形の周による平面の分割数,
平面による空間の分割数, 球面による空間の分割数,
モーザー数列,
長方形の長方形への分割による分割数の一般化

不定方程式の解

ピタゴラスの $3$ つ組, ヘロンの三角形,
ピタゴラスの $4$ つ組
実 $2$ 次体の基本単数,
$x^2-dy^2 = -1$ が有理数解をもつような平方因数をもたない整数 $d\,(> 1)$,
$|x^2-2y^2| = 1$ の整数解, ペル=リュカ数, ペル数,
$x^2-3y^2 = 1$ の整数解, $|x^2-5y^2| = 1$ の整数解
合同数,
マルコフ数

定数

$2$ の平方根, $3$ の平方根, $5$ の平方根,
$2$ の立方根, $3$ の立方根, $5$ の立方根
円周率, レムニスケート周率,
ネイピア数 (自然対数の底),
オイラーの定数,
黄金数, 白銀数, 超黄金数, 超白銀数,
トリボナッチ定数, プラスチック数,
カラビの三角形定数,
逆フィボナッチ定数,
$2$ 個の整数が互いに素である確率, カタランの定数,
ヴァルディの定数, ミルズの定数,
オメガ定数, ドッティ数,
平面の円による最密充填密度, 空間の球による最密充填密度,
単位線分上の線分の長さの平均値, 単位正方形上の――, 単位立方体内の―― (ロビンズ),
単位円上の線分の長さの平均値, 単位球内の――

多項式

第 $1$ 種チェビシェフ多項式, 第 $2$ 種チェビシェフ多項式, ルジャンドル多項式
ベルヌーイ多項式, 累乗数の和を表す多項式

特別な意味をもつ整数

1 桁の整数

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

2 桁の整数

10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19
20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 28, 29
30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38
41, 43, 44, 48, 49
50, 53, 55, 56
60, 62, 68
70, 71, 73, 75
81, 84
91, 92, 99

3 桁の整数

105, 110, 112, 117, 120, 121, 124, 127, 128, 135, 140, 144, 157, 163, 169, 180
203, 216, 220, 230, 239, 240, 276, 287, 288, 290
313, 399
427, 429
561, 563
600, 648, 697
714
836, 864, 880
945, 959

4 桁の整数

1093, 1601, 1681, 1729, 1807, 1980
2016, 2047
3003, 3511
4181, 4375, 4680, 4900
5040, 5041, 5778
6384, 6876
7140, 7192, 7200, 7560, 7920
8000, 8064, 8191, 8855
9801

5 桁の整数

10609, 12285, 12496, 14316, 14595, 16843, 18144, 19600
22960, 23760
30240, 35899
41041, 43380
50625, 59536
64584, 65537
78557
95040

6 桁以上の整数

175560, 248832, 271441, 326981, 417162, 443520, 509203, 510510, 604800, 904631
1264460, 2124679, 3564288, 5134240
10200960, 33817088, 50232960, 67898771, 87539319
103340640, 244823040, 258474216, 275305224, 459818240, 635318657
1163962800
13967553600, 15170835645
495766656000
6963472309248
20922789888000, 42305421312000, 64561751654400
953467954114363
43142746595714191, 48988659276962496
4157776806543360000
86775571046077562880
3316923598096294713661
146361946186458562560000
581442729886633902054768000
808017424794512875886459904961710757005754368000000000
6.0865556702…×1075
(2# )4・(3#)3・5#・7#・23#・313#
(2# )4・(3#)2・5#・7#・23#・317#
(2# )4・(3#)2・5#・11#・23#・347#
282589933－1
2136279841－1
282589932(282589933－1)
2136279840(2136279841－1)

有名な数学者

古代～中世の数学者

タレス, ピタゴラス, テアイトス, ユークリッド,
エラトステネス, アルキメデス, アポロニウス
ヘロン, メネラウス, トレミー
ディオファントス, パップス
ブラーマグプタ
フワーリズミー
バースカラ 2 世, フィボナッチ
マーダヴァ

中世～近代の数学者

カルダーノ, フェラーリ, ヴィエト, ネイピア,
メルセンヌ, デザルグ, デカルト
フェルマー, パスカル, ホイヘンス, グレゴリー, 関孝和, ニュートン,
ライプニッツ, チェヴァ, ロル, ヤコブ・ベルヌーイ, ヨハン・ベルヌーイ,
ド・モアヴル, テイラー, スターリング, マクローリン
オイラー, スチュワート, ダランベール, アネェージ, ランベルト,
ラグランジュ, モンジュ, ラプラス, ルジャンドル, フーリエ,
ジェルマン, ガウス, ポアソン, ポンスレ, コーシー, ロバチェフスキー,
シュタイナー
アーベル, ヤコビ, ディリクレ, ハミルトン, ド・モルガン, リウヴィル,
クンマー, ヘッセ, ガロア, カタラン, シルヴェスター,
ヴァイエルシュトラス, ブール, チェビシェフ, ケイリー, クロネッカー,
リーマン, デーデキント, リプシッツ, ジョルダン, リュカ, カントール,
クライン, フロベニウス

近代～現代の数学者

リンデマン, ポアンカレ, マルコフ, ペアノ, イェンセン, ヘルダー,
ヒルベルト, ヤング, ミンコフスキー, ラッセル, 高木貞治, ルベーグ,
ハーディ, ブラウワー, シェルピンスキー, ネーター, ベル,
レフシェッツ, ポリア, ラマヌジャン, モーデル, バナッハ, アルティン,
ハーセ, ザリスキ,
タルスキ, 岡潔, コルモゴロフ, ホッジ, ノイマン, ゲーデル,
ヴェイユ, マックレーン, チューリング, 小平邦彦, 伊藤清, セルバーク,
岩澤健吉, カラビ, テイト, セール, 谷山豊, グロタンディーク,
ナッシュ, 志村五郎, ティッツ, ミルナー, 廣中平祐, トンプソン,
ラングランズ, メイザー, ボンビエリ, セメレディ, グロモフ,
ドリーニュ, サーストン, コンヌ

記号

高校数学の記号

その他

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© 2013 Takashi Hirotsu