有名問題・定理から学ぶ数学

Well-Known Problems and Theorems in Mathematics

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正多角形

正多角形

定義《正多角形》

 すべての辺の長さが等しい多角形を正多角形(regular polygon)と呼ぶ.

問題

数学 II: 三角関数

問題《正多角形の面積》

 $1$ 辺の長さが $a$ である正 $n$ 角形について,
(1)
外接円の半径 $R$ を $a$ と $\dfrac{\pi}{n}$ の三角比を用いて表せ.
(2)
面積 $S$ を $a,$ $n$ と $\dfrac{\pi}{n}$ の三角比を用いて表せ.

解答例

 こちらを参照.

問題《正七角形調和》

 正七角形 $\mathrm{ABCDEFG}$ において $a = \mathrm{GA},$ $b = \mathrm{GB},$ $c = \mathrm{GC}$ とおき, $\theta = \dfrac{\pi}{7}$ とおく.
(1)
$\triangle\mathrm{GAB}$ と $\triangle\mathrm{GBC}$ に着目して, $b = 2a\cos\theta$ と $c = a(4\cos ^2\theta -1)$ を示せ.
(2)
$\sin 3\theta$ と $\sin 4\theta$ を $\cos\theta$ の多項式と $\sin\theta$ の積の形に表せ.
(3)
$\cos\theta$ を解に持つ $3$ 次方程式を $1$ つ求めよ.
(4)
$a^{-1} = b^{-1}+c^{-1}$ が成り立つことを示せ.

解答例

 こちらを参照.

数学 III: 複素数平面

問題《正多角形の辺と対角線の長さの積》

 単位円に内接する正 $n$ 角形の $1$ つの頂点から引けるすべての辺と対角線の長さの積は $n$ であることを示せ.

解答例

 こちらを参照.