$1$ 辺の長さが $a$ である正 $n$ 角形について,

(1)

外接円の半径 $R$ を $a$ と $\dfrac{\pi}{n}$ の三角比を用いて表せ.

(2)

面積 $S$ を $a,$ $n$ と $\dfrac{\pi}{n}$ の三角比を用いて表せ.

　正七角形 $\mathrm{ABCDEFG}$ において $a = \mathrm{GA},$ $b = \mathrm{GB},$ $c = \mathrm{GC}$ とおき, $\theta = \dfrac{\pi}{7}$ とおく.

(1)

$\triangle\mathrm{GAB}$ と $\triangle\mathrm{GBC}$ に着目して, $b = 2a\cos\theta$ と $c = a(4\cos ^2\theta -1)$ を示せ.

(2)

$\sin 3\theta$ と $\sin 4\theta$ を $\cos\theta$ の多項式と $\sin\theta$ の積の形に表せ.

(3)

$\cos\theta$ を解にもつ $3$ 次方程式を $1$ つ求めよ.

(4)

$a^{-1} = b^{-1}+c^{-1}$ が成り立つことを示せ.

　単位円に内接する正 $n$ 角形の $1$ つの頂点から引けるすべての辺と対角線の長さの積は $n$ であることを示せ.