有名問題・定理から学ぶ数学

Well-Known Problems and Theorems in Mathematics

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本格数学クイズ

 手を動かして解くタイプの本格的な数学クイズを収集, 制作しています (対象は高校生以上, 算数クイズや記数法に依存する謎解きは掲載なし). $1$ 人でじっくり考えて解くのも良し, クイズ大会の早解きで使うのも良しの, 解きごたえのあるクイズを厳選しています. 問題は, 随時追加中です (2023/06/02 掲載開始).

本格数学クイズ (48 問)

代数学

整数論

《完全数》$p,$ $q$ を素数とする. $p\times q$ マスの余白のない方眼紙を罫線に沿って $1$ 個以上の合同な小長方形に分ける. このような分け方すべてにわたる小長方形の個数の総和がマス目の個数の $2$ 倍に等しいとき, $pq$ の値はいくらか. →答え
《フロベニウスの硬貨交換問題》$a,$ $b$ を互いに素な $1$ より大きい整数とする. $a$ 円硬貨, $b$ 円硬貨のみを使ってちょうど支払えない金額は最大で何円か. ただし, 各硬貨は何枚使ってもよいが, おつりはもらえないものとする. →答え
《底面積と側面積が等しい整数直方体》高さが整数 $z$ であり, 残りの辺の長さも整数であって, 底面積と側面積が等しい直方体は何個あるか. →答え
《ピタゴラスの $3$ つ組に現れる整数》同じ長さのマッチ棒をつなげて直角三角形の枠を作るとき, $1$ 辺に使われるマッチ棒の本数として考えられない整数の最大値はいくらか. →答え
《辺長が整数である格子三角形の面積》方眼紙の罫線 (間隔は $1$) の交点を頂点とする三角形において, 各辺の長さが整数であるならば面積も整数である, という主張は正しいか. 正しければ証明し, 正しくなければ反例を挙げよ. →答え
《平方三角数》正方形 (中実方陣) の形に並べられた複数個の石を, $1$ 段目に $1$ 個, $\cdots,$ $k$ 段目に $k$ 個, $\cdots$ と並べ直していくと, 正三角形の形に余すことなく並べられた. このとき, 考えられる石の個数として最も少ない個数は何個か. →答え
《辺長が等差数列をなすヘロンの三角形》$1$ 辺の長さが $1$ のマッチ棒をつなげて, 鋭角三角形の枠を作る. 各辺で使う本数が等差数列になり, 面積が整数になるようにするとき, 考えられるマッチ棒の本数として最も少ない本数は何本か. →答え
《平方四角錐数》正方形 (中実方陣) の形に並べられた複数個の球を, $1$ 段目に $1$ 個, $\cdots,$ $k$ 段目に $k$ 個, $\cdots$ となるように積み上げていくと, 正四角錐の形に余すことなく並べられた. このとき, 考えられる球の個数として最も少ない個数は何個か. →答え
《累乗の差》バレーボール, キンボール ($3$ チームが $1$ つのコートに入って戦う球技) のトーナメント大会がそれぞれ開かれた. $2$ つの大会の出場チーム数の差は $1$ であり, 各大会でどのチームも $1$ 回戦を戦ったという. このとき, 各大会の出場チーム数はいくらか. →答え

数列

《ハノイの塔》地面に $3$ 本の棒 A, B, C が立てられており, 棒 A に穴の開いた半径の異なる $n$ 枚の円盤が半径の大きい順に通されている.
(1)
すべての円盤を棒 B に移す手数の最小値はいくらか.
(2)
円盤に半径の大きい方から $2$ 枚ごとに白色, 黒色の順に色が塗られているとする. 白色の円盤を棒 B, 黒色の円盤を棒 C に移す手数の最小値はいくらか.
(3)
円盤に半径の大きい方から $3$ 枚ごとに白色, 灰色, 黒色の順に色が塗られているとする. 白色の円盤を棒 A, 灰色の円盤を棒 B, 黒色の円盤を棒 C に移す手数の最小値はいくらか.
ただし, $1$ 本の棒の最も上にある $1$ 枚を別の棒の最も上に移す操作を $1$ 手と数え, いずれの段階においても小さい円盤の上に大きい円盤は置かないものとする. →答え
《うなぎの寝床での畳の敷き方》ちょうど $n$ 枚の畳が敷けるような長方形のうなぎの寝床に畳を敷く方法は何通りあるか. ただし, 寝床の縦の長さは畳の長い方の辺の長さに等しく, 横の長さは畳の短い方の辺の長さの $n$ 倍に等しいとする. →答え

解析学

極限

《方眼の中の正方形》$n\times n$ マスの方眼の罫線に沿って描かれた正方形がマス目全体に占める面積の割合として見込まれる値は, $n$ が大きくなるにつれてどのような値に近づいていくか. →答え
《方眼の中の長方形》$n\times n$ マスの方眼の罫線に沿って描かれた長方形がマス目全体に占める面積の割合として見込まれる値は, $n$ が大きくなるにつれてどのような値に近づいていくか. →答え
《長方形の辺長の比の極限値》正方形の $1$ 辺に, それと $1$ 辺の長さが等しい正方形の辺を貼り合わせて長方形を作る. その長い方の辺に, それと $1$ 辺の長さが等しい正方形の辺を貼り合わせて新たな長方形を作る. この操作を続けるとき, 長方形の隣り合う $2$ 辺の長さの比はどのような値に近づいていくか. →答え
《くじで当たらない確率の極限値》$n$ 本中 $1$ 本だけ当たりが入ったくじを $n$ 回引くときに $1$ 回も当たらない確率は, $n$ が大きくなるにつれてどのような値に近づいていくか. ただし, 引いたくじは毎回もとに戻すものとする. →答え
《硬貨を投げる回数の期待値》表が出る確率も裏が出る確率も $\dfrac{1}{2}$ である硬貨を表が出るまで投げ続けるとき, 何回目に投げ終わると見込まれるか. →答え

微分法

《正方形の紙で作れる最大の箱》正方形の紙の四隅から正方形を取り除き, その残りを折り曲げて, ふたのない正四角柱の箱を作る. 容積を最大にするには, 底面の $1$ 辺の長さと高さの比をどのような値にすればよいか. ただし, 紙の厚さは考えないものとする. →答え
《カプセルに入る最大の積み木》球形のカプセルの中にできるだけ体積が大きい三角柱の積み木を入れるとき, その体積はカプセルの容積の何倍になるか. →答え
《廊下を通過できる棒の長さの最大値》幅 $x,$ $y$ の通路が直角につながった廊下を, 水平に保ったまま通過できる棒の長さの最大値はいくらか. ただし, 通路は十分に長いとし, 棒の太さは無視して考えるものとする. →答え
《紙が重なった部分の面積の最小値》正方形の紙を $2$ 本の対角線の交点を通る直線で折り, 紙が重なった部分の面積が最小になるようにするとき, その面積が紙全体の面積に占める割合はいくらか. →答え

積分法

《棒の通過範囲の面積》鉛直な壁に垂直に立てかけられた細い棒が水平な床に, 上端が壁に接したまま下端が床をすべりながら倒れた. このときの棒の通過範囲の面積は, 下端を中心に回転して倒れたときの何倍か. →答え
《ヤギの問題》平らな農場で, ヤギが円柱形の柱の一端に伸び縮みのしないひもでつながれている. ひもの長さが柱の周の長さに等しいとき, ヤギが動き回れる範囲の面積は, 柱の断面積の何倍か. ただし, ヤギの大きさ, ひもの太さとつなぎ目は考えないものとする. →答え
《パイプの共通部分の体積》前後, 左右, 上下方向に延びる内径の等しいパイプの軸が $1$ 点で直交するとき, $3$ 本のパイプの共通部分の体積は, パイプが円柱状である場合, 正四角柱である場合の何倍になるか. →答え
《円の伸開線の長さ》円に伸び縮みのしないひもをたるみなく巻きつけていくと, ちょうど $1$ 周したところで巻き終わった. このとき, ひもの先端が描く曲線の長さはひもの長さの何倍か. ただし, ひもの太さは無視して考えるものとする. →答え

幾何学

初等幾何学

《レギオモンタヌスの問題》フィールドの中央から $d$ だけ離れたセンターライン上の地点から, 選手が敵陣のゴールラインに向かって真っすぐ進んでいる. ゴールの幅が $w$ であるとき, ゴールを見込む角が最大になるという意味でシュートを放つのに最も適しているのは, ゴールラインからどれだけ離れた地点か. ただし, $d > \dfrac{w}{2}$ とする. →答え
《正多角形の辺と対角線の長さの総和》ペンキで正 $n$ 角形の周とそのすべての対角線を描くとき, 周のみを描くときの何倍のペンキを使うか. →答え

解析幾何学

《オイラーの不等式》円柱に $3$ 枚の薄い長方形の板を貼り付けて三角柱を作り, これを回転させることで新しい円柱を作る. 新しい円柱の半径が最小になるようにするとき, その半径はもとの円柱の半径の何倍になるか. →答え
《三角柱の側面の勾配》三角柱のブロックを横にして平らな床で転がすと, 側面が床につく度に斜面の勾配が整数になった. このとき, 各勾配の値はいくらか. →答え

離散幾何学

《正平面充填形》平面に $1$ 種類の正多角形を隙間も重なりもなく敷き詰める方法は, 全部で何通りあるか. ただし, 使用する正多角形はすべて同じ大きさであり, $3$ 枚以上の正多角形は頂点のみを共有する方法のみを考えるものとする. →答え
《一筆書きが可能な正多面体》正多面体のうち, すべての辺が一筆書きでなぞれるものはどれか. →答え
《正方形の頂点を結ぶ最短経路》分岐点を新たに設けてもよいとするとき, 正方形の $4$ 個の頂点を結ぶ最短経路の長さは正方形の周の長さの何倍か. →答え
《円を用いたヴェン図の限界》ある全体集合に属する集合を円で表し (集合の要素を円の内部または周上の点, 補集合の要素を円の外部の点に対応させる), 集合の共通部分を円の重なり (面積は正) で表す. このとき, どのような集合も $1$ つの平面上に表せるのは, 集合が何個以下のときか. →答え

さまざまな幾何学

《コッホ雪片の一般化》$p$ を $3$ 以上の整数とする. $K_0$ を正 $p$ 角形として, 多角形 $K_n$ $(n \geqq 0)$ の各辺の $3$ 等分点を隣り合う $2$ つの頂点とするような正 $p$ 角形を $K_n$ の外側に重なりを許して貼り合わせることで多角形 $K_{n+1}$ を定める. このとき, $K_n$ ののべ面積 (重なりも加算) が有限な値に近づいていく $p$ の最大値はいくらか. →答え

組合せ論・確率論

組合せ論

《パスワードの作り方》$2n$ 個の文字を各文字の候補として $n$ 文字のパスワードを作る. 重複する文字がある確率が重複する文字がない確率より高くなるのは, パスワードが何文字のときか. →答え
《試合数》総当たりのリーグ戦の試合数, トーナメント戦で優勝チームを決めるのに必要な試合数を比較するとき, 前者が後者を上回るのは, 参加チームが何チーム以上のときか. →答え
《リーグ戦で全チームの勝敗の数が異なる確率》$n$ チームが参加する総当たりのリーグ戦において, 全チームの勝敗の数が異なる確率はいくらか. ただし, 全チームの実力は互角であり, 各試合で引き分けはないものとする. →答え
《リーグ戦で全チームが引き分ける確率》$2n+1$ チーム $(n \geqq 1)$ が参加する総当たりのリーグ戦において, 全チームが $n$ 勝 $n$ 敗で引き分ける確率はいくらか. ただし, 全チームの実力は互角であり, 各試合で引き分けはないものとする. →答え
《完全順列の割合》$n$ 人 $(n \geqq 2)$ の席替えで全員の席が替わる確率 $p_n$ の最大値, 最小値はいくらか (高校生向け). また, $n$ が大きくなるにつれて $p_n$ はどのような値に近づいていくか (大学生向け). →答え
《番勝負が最終戦までもつれ込む確率》A, B の $2$ 人が $2n−1$ 番勝負 ($n$: 正の整数) を行うとき, 対戦が最終戦までもつれ込む確率はいくらか. ただし, A, B の実力は互角であり, 引き分けはないとする. →答え
《番勝負でリードを許さずに優勝する確率》A, B の $2$ 人が $2n−1$ 番勝負 ($n$: 正の整数) を行うとき, A が B に $1$ 度もリードを許さずに優勝する確率はいくらか. ただし, A, B の実力は互角であり, 引き分けはないとする. →答え
《ケーキ数》A, B の $2$ 人がそれぞれ $1$ ホールのケーキを切り分ける. A は毎回ピースを一列に並べ直してから切り, B はケーキを固定したまま切る. できるだけ多くのピースに切り分けるとき, ピースの個数で A が B を上回るのは, 何回ナイフを入れたときか. ただし, ナイフは空間内のどの方向にでも真っすぐに入れられるものとし, $1$ 回の入刀で切断面が通るピースをすべて切り分けるものとする. →答え

確率論

《モンティ・ホール問題》$3$ つのドア A, B, C のうち, いずれかのドアの向こうに賞品が無作為に隠されている. 挑戦者はドアを $1$ つだけ開けて, 賞品があれば, それをもらうことができる. 挑戦者がドアを選んでからドアを開けるまでの間に, 司会者は残った $2$ つのドアのうち, はずれのドアを $1$ つ無作為に開ける. このとき, 挑戦者は開けるドアを変更することができる. ドアを変更するとき, しないときのどちらが賞品を得る確率が高いか. →答え
《ポリアの壺》最初, 壺の中に色 $1$ の玉が $a_1$ 個, $\cdots,$ 色 $r$ の玉が $a_r$ 個だけ入っている. 壺の中から無作為に玉を $1$ 個取り出して, その玉と同じ色の玉を $c$ 個だけ壺の中に入れ, 取り出した玉も戻すという試行を繰り返す. $n$ 回目に色 $i$ $(1 \leqq i \leqq r)$ の玉を取り出す確率はいくらか. →答え
《じゃんけんの勝者の人数》$1$ 回だけじゃんけんをするとき, 勝者の人数が最も多くなると見込まれるのは, 何人でじゃんけんをするときか. →答え
《夫婦円卓問題》$n$ 組 $(n \geqq 2)$ の夫婦 $2n$ 人が, 男女交互に, それ以外は無作為に円卓の周りに座るとき, 隣どうしに座ると見込まれる夫婦は何組か. →答え
《さいころですべての目を出すまでにかかる回数》$n$ 面のさいころがある. すべての目を出すには, 平均的に何回さいころをふればよいと見込まれるか (ヒント: 正の整数全体を値域とする確率変数 $W$ の期待値は $E(W) = \displaystyle\sum_{m = 1}^\infty m\,P(W = m)$ で定義される). →答え

書籍

 書籍『偉大な定理に迫る!理系脳を鍛える数学クイズ』(Amazon, 楽天ブックス, 書店で販売中) のクイズもお楽しみいただければ幸いです.
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廣津 孝 (ひろつ たかし) 
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