点 $\mathrm A,$ $\mathrm B,$ $\mathrm C$ と異なる点 $\mathrm O$ を基点とする位置ベクトルによって $\mathrm A(\vec a),$ $\mathrm B(\vec b),$ $\mathrm C(\vec c),$ $\mathrm P(\vec p)$ とおき, \[ L = |\overrightarrow{\mathrm{PA}}|+|\overrightarrow{\mathrm{PB}}|+|\overrightarrow{\mathrm{PC}}|\] の最小値を求める. \[\overrightarrow{e_1} = \frac{\vec a}{|\vec a|}, \quad \overrightarrow{e_2} = \frac{\vec b}{|\vec b|}, \quad \overrightarrow{e_3} = \frac{\vec c}{|\vec c|}\] とおく. 不等式 \[ |\vec v-\vec w| \geqq |\vec v|-\frac{\vec v}{|\vec v|}\cdot\vec w \quad (\vec v \neq \vec 0) \quad \cdots [\ast ]\] により, \[\begin{aligned} |\overrightarrow{\mathrm{PA}}| &= |\vec a-\vec p| \geqq |\vec a|-\overrightarrow{e_1}\cdot\vec p \quad \cdots [1], \\ |\overrightarrow{\mathrm{PB}}| &= |\vec b-\vec p| \geqq |\vec b|-\overrightarrow{e_2}\cdot\vec p \quad \cdots [2], \\ |\overrightarrow{\mathrm{PC}}| &= |\vec c-\vec p| \geqq |\vec c|-\overrightarrow{e_3}\cdot\vec p \quad \cdots [3] \end{aligned}\] が成り立つ. 辺々を加えると, \[ L \geqq |\vec a|+|\vec b|+|\vec c|-(\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}+\overrightarrow{e_3})\cdot\vec p\] が得られる. \[\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}+\overrightarrow{e_3} = \vec 0\] が成り立つように点 $\mathrm O$ をとり直す. \[ |\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}| = |-\overrightarrow{e_3}| = |\overrightarrow{e_3}| = 1\] の両辺を $2$ 乗すると, $|\overrightarrow{e_1}| = |\overrightarrow{e_2}| = 1$ から \[ 1 = |\overrightarrow{e_1}|^2+2\overrightarrow{e_1}\cdot\overrightarrow{e_2}+|\overrightarrow{e_2}|^2 = 2\overrightarrow{e_1}\cdot\overrightarrow{e_2}+2\] つまり \[\overrightarrow{e_1}\cdot\overrightarrow{e_2} = -\dfrac{1}{2}\] となるので, $\overrightarrow{e_1}$ と $\overrightarrow{e_2}$ のなす角は $120^\circ$ である. 同様に, $\overrightarrow{e_2}$ と $\overrightarrow{e_3},$ $\overrightarrow{e_3}$ と $\overrightarrow{e_1}$ のなす角は $120^\circ$ である. よって, 上記の点 $\mathrm O$ は \[\angle\mathrm{BOC} = \angle\mathrm{COA} = \angle\mathrm{AOB}\] を満たす点として定まる. しかも, $\triangle\mathrm{ABC}$ の内角に関する条件から, この $\mathrm O$ は $\triangle\mathrm{ABC}$ の内部にとれることに注意する. このとき, \[ L \geqq |\vec a|+|\vec b|+|\vec c|\] が成り立つ. 等号成立は, $[1]$～$[3]$ で等号が成り立つ場合に限る. これは, $\vec p$ が $\vec a,$ $\vec b,$ $\vec c$ の $1$ 以下の定数倍である場合に限る. $\vec a,$ $\vec b,$ $\vec c$ は $\vec 0$ でなく互いに平行でないから, これは $\vec p = \vec 0$ の場合である. ゆえに, $L$ が最小になるような点 $\mathrm P$ は, 上記の点 $\mathrm O$ の位置, つまり $\angle\mathrm{BPC} = \angle\mathrm{CPA} = \angle\mathrm{APB}$ を満たすような位置にある (作図法についてはこちらを参照). 　なお, $[\ast ]$ は, 次のように証明できる: コーシー=シュワルツの不等式により, \[\begin{aligned} |\vec v-\vec w| &= \left|\frac{\vec v}{|\vec v|}\right||\vec v-\vec w| \\ &\geqq \left|\frac{\vec v}{|\vec v|}\cdot (\vec v-\vec w)\right| = \left||\vec v|-\dfrac{\vec v}{|\vec v|}\cdot\vec w\right| \quad (\because\vec v\cdot\vec v = |\vec v|^2) \\ &\geqq |\vec v|-\dfrac{\vec v}{|\vec v|}\cdot\vec w \end{aligned}\] が成り立つ. 等号成立は, $\vec v-\vec w$ が $\dfrac{\vec v}{|\vec v|}$ の実数倍，つまり $\vec w$ が $\vec v$ の実数倍であって $|\vec v| \geqq \dfrac{\vec v}{|\vec v|}\cdot\vec w$ である場合に限るので, 実数 $l$ に対して \[\frac{\vec v}{|\vec v|}\cdot l\vec v = l\frac{\vec v\cdot\vec v}{|\vec v|} = l|\vec v|\] が成り立つことから, $\vec w$ が $\vec v$ の $1$ 以下の実数倍である場合に限る.

　ゴールラインと選手が進む直線の交点を $\mathrm O,$ ゴールの両端を $\mathrm A,$ $\mathrm B$ とおき, 点 $\mathrm P$ でゴールを見込む角 $\angle\mathrm{APB}$ が最大になるとする. $\mathrm A,$ $\mathrm B$ を通って直線 $\mathrm{OP}$ に点 $\mathrm T$ で接する円周 $C$ をかく. $\mathrm P \neq \mathrm T$ のときは線分 $\mathrm{AP}$ と $C$ の交点を $\mathrm Q$ とおくと \[\angle\mathrm{APB} < \angle\mathrm{AQB} = \angle\mathrm{ATB}\] となってしまうから, $\mathrm P = \mathrm T$ である. よって, 方べきの定理により \[\mathrm{OP}^2 = \mathrm{OA}\cdot\mathrm{OB}\] であるから, ゴールを見込む角が最も大きくなる地点のゴールラインからの距離は \[\mathrm{OP} = \sqrt{\mathrm{OA}\cdot\mathrm{OB}} = \sqrt{\left( d+\frac{w}{2}\right)\left(d-\frac{w}{2}\right)}\] である.

　$1$ 辺の長さが $1$ の正 $n$ 角形 $\mathrm P_0\mathrm P_1\cdots\mathrm P_{n-1}$ において, 辺と対角線の長さの総和 $L$ を求める. $a_k = \mathrm P_0\mathrm P_k$ $(1 \leqq k \leqq n-1)$ とおく. 四角形 $\mathrm P_0\mathrm P_1\mathrm P_k\mathrm P_{n-1}$ $(2 \leqq k \leqq n-2)$ に「トレミーの定理」を適用すると, $\mathrm P_0\mathrm P_1 = \mathrm P_0\mathrm P_{n-1} = a_1,$ $\mathrm P_1\mathrm P_k = a_{k-1},$ $\mathrm P_{n-1}\mathrm P_k = a_{n-k-1},$ $\mathrm P_1\mathrm P_{n-1} = a_2,$ $\mathrm P_0\mathrm P_k = a_k$ から \[ a_1a_{k-1}+a_1a_{n-k-1} = a_2a_k\] が得られる. これらの辺々と \[ 2a_1a_{n-2}+2a_1a_{n-1} = a_2a_1+a_2a_{n-1}+2a_1{}^2\] を加えると, \[\begin{aligned} 2a_1\sum_{k = 1}^{n-1}a_k &= 2a_1{}^2+a_2\sum_{k = 1}^{n-1}a_k \\ (2a_1-a_2)\sum_{k = 1}^{n-1}a_k &= 2a_1{}^2 \\ \sum_{k = 1}^{n-1}a_k &= \frac{2a_1{}^2}{2a_1-a_2} \end{aligned}\] が得られる. よって, \[ L = \frac{1}{2}\sum_{j = 0}^{n-1}\sum_{k = 0}^{n-1}\mathrm P_j\mathrm P_k = \frac{n}{2}\sum_{k = 0}^{n-1}\mathrm P_0\mathrm P_k = \frac{n}{2}\sum_{k = 1}^{n-1}a_k = \frac{a_1{}^2n}{2a_1-a_2}\] が成り立つ. ここで, $a_1 = 1$ であり, 頂角の大きさが $\dfrac{n-2}{n}\pi$ の二等辺三角形 $\mathrm P_0\mathrm P_1\mathrm P_2$ を半分にした直角三角形に着目すると \[ a_2 = 2\sin\dfrac{n-2}{2n}\pi = 2\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{n}\right) = 2\cos\frac{\pi}{n}\] であることがわかるから, \[ L = \frac{n}{2-a_2} = \frac{n}{2\left( 1-\cos\dfrac{\pi}{n}\right)} = \frac{n}{4\sin ^2\dfrac{\pi}{2n}}\] である.
　ゆえに, 求める倍率は, \[ L\div n = \frac{1}{4\sin ^2\dfrac{\pi}{2n}}\] である.

　正七角形 $\mathrm{ABCDEFG}$ において, $a = \mathrm{GA},$ $b = \mathrm{GB},$ $c = \mathrm{GC}$ とおく. B さん, C さんの所要時間を $1$ とし, B さん, C さんの平均の速さ (行き $\dfrac{1}{b},$ 帰り $\dfrac{1}{c}$ の速さで片道の距離 $1$ の道のりを往復するときの速さ) を $v$ とおく.

(1)

B さん, C さんの速さはそれぞれ $\dfrac{1}{b},$ $\dfrac{1}{c}$ であるから, \[ v = \frac{2}{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}}\] である.

(2)

四角形 $\mathrm{BCDG}$ は円に内接するから,「トレミーの定理」により, \[\mathrm{BC}\cdot\mathrm{DG}+\mathrm{CD}\cdot\mathrm{GB} = \mathrm{BD}\cdot\mathrm{CG}\] つまり \[ ac+ab = bc\] が成り立つ.

両辺を $abc$ で割ると, \[\frac{1}{b}+\frac{1}{c} = \frac{1}{a}\] が得られる. よって, \[ v = 2\div\frac{1}{a} = 2a\] である.

(3)

ゆえに, A さんの所要時間は \[\frac{a}{v} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}\] であり, これは B さんの所要時間の

$\dfrac{1}{2}\div 1 = \dfrac{1}{2}$ (倍)

である.