有名問題・定理から学ぶ数学

Well-Known Problems and Theorems in Mathematics

数式を枠からはみ出さずに表示するためには, 画面を横に傾けてください.

円の性質

円周角の定理

定理《円周角の定理とその逆》

 相異なる $4$ 点 $\mathrm A,$ $\mathrm B,$ $\mathrm P,$ $\mathrm Q$ について, $\mathrm P,$ $\mathrm Q$ が直線 $\mathrm{AB}$ に対して同じ側にあるとき, 次は同値である.
(i)
$4$ 点 $\mathrm A,$ $\mathrm B,$ $\mathrm P,$ $\mathrm Q$ は同一円周上にある.
(ii)
$\angle\mathrm{APB} = \angle\mathrm{AQB}$ が成り立つ.

問題《第一トレミー定理とその逆》

(A)
四角形 $\mathrm{ABCD}$ が円に内接するとき, 対角線 $\mathrm{BD}$ 上に $\angle\mathrm{BAE} = \angle\mathrm{CAD}$ なる点 $\mathrm E$ をとる. 次のことを示せ.
(1)
$\triangle\mathrm{ABE},$ $\triangle\mathrm{ACD}$ は相似である.
(2)
$\triangle\mathrm{ABC},$ $\triangle\mathrm{AED}$ は相似である.
(3)
$\mathrm{AB}\cdot\mathrm{CD}+\mathrm{AD}\cdot\mathrm{BC} = \mathrm{AC}\cdot\mathrm{BD}$ が成り立つ.
(参考: $2008$ 東京慈恵会医科大)
(B)
凸四角形 $\mathrm{ABCD}$ の内部に, $\triangle\mathrm{ABF},$ $\triangle\mathrm{ACD}$ が相似になるような点 $\mathrm F$ をとる. 次のことを示せ.
(1)
$\triangle\mathrm{ABC},$ $\triangle\mathrm{AFD}$ は相似である.
(2)
$\mathrm{AB}\cdot\mathrm{CD}+\mathrm{AD}\cdot\mathrm{BC} \geqq \mathrm{AC}\cdot\mathrm{BD}$ が成り立つ.
(3)
$\mathrm{AB}\cdot\mathrm{CD}+\mathrm{AD}\cdot\mathrm{BC} = \mathrm{AC}\cdot\mathrm{BD}$ が成り立つならば, 四角形 $\mathrm{ABCD}$ は円に内接する.

解答例

(A)
(1)
仮定から \[\angle\mathrm{BAE} = \angle\mathrm{CAD}\] であり, 円周角の定理により \[\angle\mathrm{ABE} = \angle\mathrm{ABD} = \angle\mathrm{ACD}\] が成り立つので, $\triangle\mathrm{ABE},$ $\triangle\mathrm{ACD}$ は相似である.
(2)
仮定から \[\begin{aligned} \angle\mathrm{BAC} &= \angle\mathrm{BAE}+\angle\mathrm{EAC} \\ &= \angle\mathrm{CAD}+\angle\mathrm{EAC} = \angle\mathrm{EAD} \end{aligned}\] であり, 円周角の定理により \[\angle\mathrm{ACB} = \angle\mathrm{ADB} = \angle\mathrm{ADE}\] が成り立つので, $\triangle\mathrm{ABC},$ $\triangle\mathrm{AED}$ は相似である.
(3)
(1) で示した通り $\triangle\mathrm{ABE},$ $\triangle\mathrm{ACD}$ は相似であるから, \[\begin{aligned} \mathrm{AB}:\mathrm{AC} &= \mathrm{BE}:\mathrm{CD} \\ \mathrm{AB}\cdot\mathrm{CD} &= \mathrm{AC}\cdot\mathrm{BE} \quad \cdots [1] \end{aligned}\] が成り立つ. また, (2) で示した通り $\triangle\mathrm{ABC},$ $\triangle\mathrm{AED}$ は相似であるから, \[\begin{aligned} \mathrm{BC}:\mathrm{ED} &= \mathrm{CA}:\mathrm{DA} \\ \mathrm{AD}\cdot\mathrm{BC} &= \mathrm{AC}\cdot\mathrm{ED} \quad \cdots [2] \end{aligned}\] が成り立つ. $[1],$ $[2]$ の辺々を加えると, \[\begin{aligned} \mathrm{AB}\cdot\mathrm{CD}+\mathrm{AD}\cdot\mathrm{BC} &= \mathrm{AC}\cdot (\mathrm{BE}+\mathrm{ED}) \\ &= \mathrm{AC}\cdot\mathrm{BD} \end{aligned}\] が得られる.
(B)
(1)
$\triangle\mathrm{ABF},$ $\triangle\mathrm{ACD}$ が相似であることから \[\mathrm{AB}:\mathrm{AC} = \mathrm{AF}:\mathrm{AD}\] つまり \[\mathrm{AB}:\mathrm{AF} = \mathrm{AC}:\mathrm{AD}\] が成り立ち, \[\begin{aligned} \angle\mathrm{BAC} &= \angle\mathrm{BAF}+\angle\mathrm{FAC} \\ &= \angle\mathrm{CAD}+\angle\mathrm{FAC} = \angle\mathrm{FAD} \end{aligned}\] であるから, $\triangle\mathrm{ABC},$ $\triangle\mathrm{AFD}$ は相似である.
(2)
$\triangle\mathrm{ABF},$ $\triangle\mathrm{ACD}$ が相似であることから, \[\begin{aligned} \mathrm{AB}:\mathrm{AC} &= \mathrm{BF}:\mathrm{CD} \\ \mathrm{AB}\cdot\mathrm{CD} &= \mathrm{AC}\cdot\mathrm{BF} \quad \cdots [1] \end{aligned}\] が成り立つ. また, (1) で示した通り $\triangle\mathrm{ABC},$ $\triangle\mathrm{AFD}$ は相似であるから, \[\begin{aligned} \mathrm{AC}:\mathrm{AD} &= \mathrm{BC}:\mathrm{FD} \\ \mathrm{AD}\cdot\mathrm{BC} &= \mathrm{AC}\cdot\mathrm{FD} \quad \cdots [2] \end{aligned}\] が成り立つ. $[1],$ $[2]$ の辺々を加えると, \[\begin{aligned} \mathrm{AB}\cdot\mathrm{CD}+\mathrm{AD}\cdot\mathrm{BC} &= \mathrm{AC}\cdot (\mathrm{BF}+\mathrm{FD}) \\ &\geqq \mathrm{AC}\cdot\mathrm{BD} \quad \cdots [3] \end{aligned}\] が得られる.
(3)
$[3]$ において等号が成り立つのは, 点 $\mathrm F$ が $\mathrm{BD}$ 上にあるときに限る. このとき, 仮定から \[\angle\mathrm{ABD} = \angle\mathrm{ABF} = \angle\mathrm{ACD}\] であるので, 円周角の定理の逆により, 四角形 $\mathrm{ABCD}$ は円に内接する.

参考

  • 本問の結果は「第一トレミーの定理」または単に「トレミーの定理」(Ptolemy's theorem)として知られている(トレミーはプトレマイオスとも呼ばれる).
  • 余弦定理を使う別証明(こちらを参照), 三角関数の積和の公式(数学 II)を使う別証明(こちらを参照)もある.
  • 円に内接する四角形の対角線の長さの比に関する「第二トレミーの定理」(こちらを参照)もある.
(最終更新日: $2022/05/11$)

接弦定理

定理《接弦定理とその逆》

 円 $\mathrm O$ の弧 $\mathrm{ST}$ と半直線 $\mathrm{TX}$ が直線 $\mathrm{ST}$ に対して同じ側にあるとき, 次は同値である.
(i)
直線 $\mathrm{TX}$ は点 $\mathrm T$ で円 $\mathrm O$ に接する.
(ii)
弧 $\mathrm{ST}$ に対する円周角 $\angle\mathrm{SAT}$ は $\angle\mathrm{STX}$ に等しい.

問題《三角形のブロカール点の存在》

 $\triangle\mathrm{ABC}$ の内部に \[\angle\mathrm{PAB} = \angle\mathrm{PBC} = \angle\mathrm{PCA}\] を満たす点 $\mathrm P$ がただ $1$ つ存在することを示せ.

解答例

 $2$ 点 $\mathrm A,$ $\mathrm B$ を通って点 $\mathrm B$ で辺 $\mathrm{BC}$ に接する円周 $C_1,$ $2$ 点 $\mathrm B,$ $\mathrm C$ を通って点 $\mathrm C$ で辺 $\mathrm{CA}$ に接する円周 $C_2$ の交点のうち, $\mathrm B$ でない方を $\mathrm P$ とおく.
 この点は, 接弦定理により, \[\angle\mathrm{PAB} = \angle\mathrm{PBC} = \angle\mathrm{PCA}\] を満たす. さらに, $\angle\mathrm{PCA} = \angle\mathrm{PAB}$ であるから, 接弦定理の逆により, この点 $\mathrm P$ は $2$ 点 $\mathrm C,$ $\mathrm A$ を通って点 $\mathrm A$ で辺 $\mathrm{AB}$ に接する円周 $C_3$ の上にある. よって, 点 $\mathrm P$ は $3$ つの円周 $C_1,$ $C_2,$ $C_3$ の交点としてただ $1$ 通りに定まる. 点 $\mathrm P$ は $\angle\mathrm A,$ $\angle\mathrm B$ $\angle\mathrm C$ の内側にあるから, $\triangle\mathrm{ABC}$ の内部にある.

参考

 $\triangle\mathrm{ABC}$ の内部にあり, $\angle\mathrm{PAB} = \angle\mathrm{PBC} = \angle\mathrm{PCA} = \theta,$ $\angle\mathrm P'\mathrm{AC} = \angle\mathrm P'\mathrm{BA} = \angle\mathrm P'\mathrm{CB} = \theta$ を満たす点 $\mathrm P,$ $\mathrm P'$ をそれぞれ「第一ブロカール点」(first Brocard point),「第二ブロカール点」(second Brocard point), $\theta$ を「ブロカール角」(Brocard angle)と呼ぶ.
(最終更新日: $2022/05/11$)

円に内接する四角形

定理《四角形が円に内接する条件》

 次は同値である.
(i)
四角形は円に内接する.
(ii)
四角形の向かい合う内角の和は $180^\circ$ である.

問題《三角形のフェルマー点の作図》

 すべての内角が $120^\circ$ 未満であるような $\triangle\mathrm{ABC}$ の外側に, $\triangle\mathrm{ABC}$ と $1$ 辺を共有するような正三角形 $\mathrm{BCA}',$ $\mathrm{CAB}'$ をかき, $\mathrm{AA}',$ $\mathrm{BB}'$ の交点を $\mathrm F$ とおく.
(1)
$\triangle\mathrm{ACA}' \equiv \triangle\mathrm B'\mathrm{CB}$ であることを示せ.
(2)
$4$ 点 $\mathrm B,$ $\mathrm F,$ $\mathrm C,$ $\mathrm A'$ と $4$ 点 $\mathrm C,$ $\mathrm F,$ $\mathrm A,$ $\mathrm B'$ はそれぞれ同一円周上にあることを示せ.
(3)
$\angle\mathrm{BFC},$ $\angle\mathrm{CFA},$ $\angle\mathrm{AFB}$ を求めよ.

解答例

(1)
\[\begin{aligned} \mathrm{CA} &= \mathrm{CB}', \quad \mathrm{CA}' = \mathrm{CB}, \\ \angle\mathrm{ACA'} &= \angle\mathrm{B'CB} = \angle\mathrm{ACB}+60^\circ \end{aligned}\] から, \[\triangle\mathrm{ACA}' \equiv \triangle\mathrm B'\mathrm{CB}\] である.
(2)
よって, \[\angle\mathrm{FA}'\mathrm C = \angle\mathrm{FBC}, \quad \angle\mathrm{FAC} = \angle\mathrm{FB}'\mathrm C\] であるから, 円周角の定理の逆により, $4$ 点 $\mathrm B,$ $\mathrm F,$ $\mathrm C,$ $\mathrm A'$ と $4$ 点 $\mathrm C,$ $\mathrm F,$ $\mathrm A,$ $\mathrm B'$ はそれぞれ同一円周上にある.
(3)
よって, 円に内接する四角形の対角の和が $180^\circ$ であることから, \[\begin{aligned} \angle\mathrm{BFC} &= \angle\mathrm{CFA} = 180^\circ -60^\circ = 120^\circ, \\ \angle\mathrm{AFB} &= 360^\circ -\angle\mathrm{BFC}-\angle\mathrm{CFA} = 120^\circ \end{aligned}\] である.

参考

  • $\triangle\mathrm{ABC}$ の $3$ 頂点までの距離の和が最小になる点 $\mathrm F$ は,「フェルマー点」または「トリチェリ点」(Fermat point, Torricelli point)などと呼ばれ, 次のように定まることが知られている(こちらを参照).
    (i)
    $\triangle\mathrm{ABC}$ のすべての内角が $120^\circ$ 未満であるとき. 点 $\mathrm F$ は, $\angle\mathrm{BFC} = \angle\mathrm{CFA} = \angle\mathrm{AFB} = 120^\circ$ を満たす点であり, $\triangle\mathrm{ABC}$ と $1$ 辺を共有する正三角形 $\mathrm{BCA}',$ $\mathrm{CAB}',$ $\mathrm{ABC}'$ を $\triangle\mathrm{ABC}$ の外側にかくとき $3$ 直線 $\mathrm{AA}',$ $\mathrm{BB}',$ $\mathrm{CC}'$ の交点である(「キーペルト点」, こちらを参照).
    (ii)
    $\angle\mathrm A \geqq 120^\circ$ のとき. 点 $\mathrm F$ は, 頂点 $\mathrm A$ と一致する.
  • 上記の (ii) は, 次のように証明できる: 平面上に点 $\mathrm P$ をとる. $\mathrm P \neq \mathrm A$ のとき, 半直線 $\mathrm{CA}$ 上に $\mathrm{AB} = \mathrm{AB}'$ となるように点 $\mathrm B'$ をとり, $\triangle\mathrm{APB} \equiv \triangle\mathrm{AP}'\mathrm B'$ となるように点 $\mathrm P'$ をとると, 仮定から $\triangle\mathrm{APP}'$ は頂角が $60^\circ$ 以下の二等辺三角形になるので, $\mathrm{PA} \geqq \mathrm{PP}'$ となり, \[\begin{aligned} \mathrm{PA}+\mathrm{PB}+\mathrm{PC} &\geqq \mathrm B'\mathrm P'+\mathrm P'\mathrm P+\mathrm{PC} \\ &> \mathrm B'\mathrm C = \mathrm B'\mathrm A+\mathrm{AC} = \mathrm{BA}+\mathrm{AC} \end{aligned}\] となる. よって, $\mathrm{PA}+\mathrm{PB}+\mathrm{PC}$ は $\mathrm P = \mathrm A$ のとき最小になる.
(最終更新日: $2022/06/06$)

問題《ウォレス=シムソンの定理とその逆》

 $\triangle\mathrm{ABC}$ の外部の点 $\mathrm P$ が図のような位置にあるとし, 点 $\mathrm P$ から直線 $\mathrm{BC},$ $\mathrm{CA},$ $\mathrm{AB}$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $\mathrm A',$ $\mathrm B',$ $\mathrm C'$ とおく.
(1)
$\angle\mathrm{PAB}+\angle\mathrm{PB}'\mathrm C'$ を求めよ.
(2)
$\angle\mathrm{BCP}+\angle\mathrm A'\mathrm B'\mathrm P$ を求めよ.
(3)
$\mathrm P$ が $\triangle\mathrm{ABC}$ の外接円の周上にあることと, $\mathrm A',$ $\mathrm B',$ $\mathrm C'$ が同一直線上にあることは同値であることを示せ.

解答例

(1)
$\angle\mathrm{PB}'\mathrm A = \angle\mathrm{PC}'\mathrm A = 90^\circ$ であるから, 円周角の定理の逆により, 四角形 $\mathrm{PAC}'\mathrm B'$ は円に内接する. よって, \[\angle\mathrm{PAB}+\angle\mathrm{PB}'\mathrm C' = \angle\mathrm{PAC}'+\angle\mathrm C'\mathrm B'\mathrm P = 180^\circ \ \cdots [1]\] である.
(2)
$\angle\mathrm{CA}'\mathrm P = \angle\mathrm{PB}'\mathrm C = 90^\circ$ であるから, 四角形 $\mathrm A'\mathrm{PB}'\mathrm C$ は円に内接する. よって, 円周角の定理により \[\angle\mathrm A'\mathrm B'\mathrm P = \angle\mathrm A'\mathrm{CP} = 180^\circ -\angle\mathrm{BCP},\] したがって \[\angle\mathrm{BCP}+\angle\mathrm A'\mathrm B'\mathrm P = 180^\circ \quad \cdots [2]\] である.
(3)
$[1],$ $[2]$ から \[\angle\mathrm{PAB}+\angle\mathrm{BCP}+\angle\mathrm A'\mathrm B'\mathrm P+\angle\mathrm{PB}'\mathrm C' = 360^\circ\] であるので,
$\mathrm P$ が $\triangle\mathrm{ABC}$ の外接円の周上にある
$\iff$ $\angle\mathrm{PAB}+\angle\mathrm{BCP} = 180^\circ$
$\iff$ $\angle\mathrm A'\mathrm B'\mathrm P+\angle\mathrm{PB}'\mathrm C' = 180^\circ$
$\iff$ $\mathrm A',$ $\mathrm B',$ $\mathrm C'$ が同一直線上にある
が成り立つ.

参考

 (3) の結果は, 点 $\mathrm P$ の位置によらず成り立つ. ($\Longrightarrow$) は「ウォレス=シムソンの定理」(Wallace–Simson theorem)または「シムソンの定理」として知られており, $3$ 点 $\mathrm A',$ $\mathrm B',$ $\mathrm C'$ を通る直線は $\triangle\mathrm{ABC}$ の「ウォレス=シムソン線」(Wallace–Simson line)または「シムソン線」と呼ばれる. 複素数を使った証明については, こちらを参照されたい.
(最終更新日: $2022/05/11$)

方べきの定理

定理《方べきの定理とその逆》

 $2$ 本の線分 $\mathrm{AB},$ $\mathrm{CD}$ またはそれらの延長が点 $\mathrm P$ で交わるとき, 次は同値である.
(i)
$4$ 点 $\mathrm A,$ $\mathrm B,$ $\mathrm C,$ $\mathrm D$ は同一円周上にある.
(ii)
$\mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB} = \mathrm{PC}\cdot\mathrm{PD}$ が成り立つ.
 また, 一直線上にない $3$ 点 $\mathrm A,$ $\mathrm B,$ $\mathrm T$ と, 線分 $\mathrm{AB}$ の延長上の点 $\mathrm P$ に対して, 次は同値である.
(i)
$\mathrm{PT}$ は $3$ 点 $\mathrm A,$ $\mathrm B,$ $\mathrm T$ を通る円に接する.
(ii)
$\mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB} = \mathrm{PT}^2$ が成り立つ.

問題《角の二等分線の長さ》

 $\triangle\mathrm{ABC}$ において, $\angle\mathrm A$ の二等分線と辺 $\mathrm{BC}$ の交点を $\mathrm D,$ 半直線 $\mathrm{AD}$ と $\triangle\mathrm{ABC}$ の外接円の周の交点を $\mathrm E$ とおく. 次のことを示せ.
(1)
$\mathrm{AB}\cdot\mathrm{AC} = \mathrm{AD}\cdot\mathrm{AE}$ である.
(2)
$\mathrm{AD} = \sqrt{\mathrm{AB}\cdot\mathrm{AC}-\mathrm{BD}\cdot\mathrm{CD}}$ である.

解答例

(1)
$\mathrm{AD}$ が $\angle\mathrm A$ を二等分することから \[\angle\mathrm{BAD} = \angle\mathrm{EAC},\] 円周角の定理により \[\angle\mathrm{ABD} = \angle\mathrm{ABC} = \angle\mathrm{AEC}\] であるので, $\triangle\mathrm{ABD},$ $\triangle\mathrm{AEC}$ は相似である. よって, \[\begin{aligned} \mathrm{AB}:\mathrm{AE} &= \mathrm{AD}:\mathrm{AC}, \\ \mathrm{AB}\cdot\mathrm{AC} &= \mathrm{AD}\cdot\mathrm{AE} \end{aligned}\] である.
(2)
\[\begin{aligned} \mathrm{AB}\cdot\mathrm{AC} &= \mathrm{AD}\cdot (\mathrm{AD}+\mathrm{ED}) = \mathrm{AD}^2+\mathrm{AD}\cdot\mathrm{ED} \\ \mathrm{AD}^2 &= \mathrm{AB}\cdot\mathrm{AC}-\mathrm{AD}\cdot\mathrm{ED} \end{aligned}\] であり, 方べきの定理により, \[\mathrm{AD}\cdot\mathrm{ED} = \mathrm{BD}\cdot\mathrm{CD}\] が成り立つから, \[\begin{aligned} \mathrm{AD}^2 &= \mathrm{AB}\cdot\mathrm{AC}-\mathrm{BD}\cdot\mathrm{CD} \\ \mathrm{AD} &= \sqrt{\mathrm{AB}\cdot\mathrm{AC}-\mathrm{BD}\cdot\mathrm{CD}} \end{aligned}\] である.

参考

 (2) の別証明については, こちらを参照されたい.

問題《レギオモンタヌスの問題》

 水平面上の点 $\mathrm O$ の真上に相異なる $2$ 点 $\mathrm A,$ $\mathrm B$ をとる($\mathrm A$ は $\mathrm B$ より上方にあるとする). $\mathrm A,$ $\mathrm B$ を見た仰角の差が最大になるような水平面上の点 $\mathrm P$ について, $a = \mathrm{OA},$ $b = \mathrm{OB}$ を用いて距離 $\mathrm{OP}$ を表せ.

解答例

 $2$ 点 $\mathrm A,$ $\mathrm B$ を通って直線 $\mathrm{OP}$ に点 $\mathrm T$ で接する円周 $C$ をかく.
$\mathrm P \neq \mathrm T$ のときは線分 $\mathrm{AP}$ と $C$ の交点を $\mathrm Q$ とおくと \[\angle\mathrm{APB} < \angle\mathrm{AQB} = \angle\mathrm{ATB}\] となってしまうから, $\mathrm P = \mathrm T$ である. よって, 方べきの定理により \[\mathrm{OP}^2 = \mathrm{OA}\cdot\mathrm{OB} = ab\] であるから, $\mathrm{OP} = \sqrt{ab}$ である.

参考

  • ここで解いた「レギオモンタヌスの問題」は, 中世ドイツの天文学者・数学者のレギオモンタヌス(Regiomontanus)によって考え出された($1471$ 年). 本問に結果から, 高い建物の窓や高い位置に掲げられた絵画を見上げるとき, ラグビーのコンバージョン・キックでゴールを狙うとき(平面上で考察), どの位置に立つのが最も好ましいのかがわかる.
  • 三角関数の加法定理を使った別解については, こちらを参照されたい.
(最終更新日: $2022/05/27$)