有名問題・定理から学ぶ数学

Well-Known Problems and Theorems in Mathematics

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複素数と図形

分点と距離

問題《単位円周上の点を結ぶ三角形と四角形》

 複素数 $z_1,$ $z_2,$ $z_3,$ $z_4$ は互いに異なり, その絶対値はすべて $1$ であるとする. 次のことを示せ.
(1)
$\triangle z_1z_2z_3$ は正三角形である $\iff$ $z_1+z_2+z_3 = 0$ が成り立つ.
(2)
四角形 $z_1z_2z_3z_4$ は長方形である $\iff$ $z_1+z_2+z_3+z_4 = 0$ が成り立つ.
(参考: 2016 お茶の水女子大)

解答例

(1)
仮定 $|z_1| = |z_2| = |z_3| = 1$ から, $\triangle z_1z_2z_3$ の外心は原点である. よって,
$\triangle z_1z_2z_3$ は正三角形である
$\iff \triangle z_1z_2z_3$ の重心と外心は一致する
$\iff \dfrac{z_1+z_2+z_3}{3} = 0$
$\iff z_1+z_2+z_3 = 0$
が成り立つ. なお, 正三角形の重心と外心が一致することは, 明らかである. また, 三角形の重心と外心が一致するとき, 正三角形になることは, 中線が垂直二等分線になり, それによって分けられる直角三角形は合同になって(直角を挟む $2$ 辺が等しい), それらの斜辺の長さが等しくなることから分かる.
(2)
($\Longrightarrow$) を示すため, 四角形 $z_1z_2z_3z_4$ が長方形であるとする. このとき, $\triangle z_1z_2z_3,$ $\triangle z_2z_3z_4$ は $\angle z_1z_2z_3 = 90^\circ,$ $\angle z_2z_3z_4 = 90^\circ$ の直角三角形であるから, $2$ 本の対角線の中点はそれらの外接円の中心, つまり単位円の中心である原点に一致し, \[\frac{z_1+z_3}{2} = \frac{z_2+z_4}{2} = 0\] が成り立つ. よって, \[ z_1+z_2+z_3+z_4 = 2\cdot\frac{z_1+z_3}{2}+2\cdot\frac{z_2+z_4}{2} = 0\] が成り立つ.
 ($\Longleftarrow$) を示すため, $z_1+z_2+z_3+z_4 = 0$ が成り立つとする. このとき, \[\begin{aligned} z_1+z_2 &= -z_3-z_4 \\ |z_1+z_2| &= |z_3+z_4| \\ |z_1+z_2|^2 &= |z_3+z_4|^2 \\ (z_1+z_2)(\overline{z_1}+\overline{z_2}) &= (z_3+z_4)(\overline{z_3}+\overline{z_4}) \\ |z_1|^2\!+\!z_1\overline{z_2}\!+\!\overline{z_1}z_2\!+\!|z_2|^2 &= |z_3|^2\!+\!z_3\overline{z_4}\!+\!\overline{z_3}z_4\!+\!|z_4|^2 \\ z_1\overline{z_2}+\overline{z_1}z_2 &= z_3\overline{z_4}+\overline{z_3}z_4\ (\because |z_k|^2 \!=\! 1) \end{aligned}\] が成り立つ. 一方, \[\begin{aligned} |z_2-z_1|^2 &= |z_1|^2-z_1\overline{z_2}-\overline{z_1}z_2+|z_2|^2 \\ |z_4-z_3|^2 &= |z_3|^2-z_3\overline{z_4}-\overline{z_3}z_4+|z_4|^2 \end{aligned}\] であるから,
$|z_2-z_1|^2 = |z_4-z_3|^2,$ よって $|z_2-z_1| = |z_4-z_3|$
が成り立つ. 同様に \[ |z_3-z_2| = |z_1-z_4|\] が成り立ち, 向かい合う辺の長さがそれぞれ等しいから, 四角形 $z_1z_2z_3z_4$ は長方形である.
 ゆえに, 四角形 $z_1z_2z_3z_4$ は長方形である $\iff$ $z_1+z_2+z_3+z_4 = 0$ が成り立つ.

三角不等式

問題《三角不等式》

(1)
複素数 $z_1,$ $z_2$ に対して \[ |z_1+z_2| \leqq |z_1|+|z_2|\] が成り立つことを示せ. また, その等号成立条件を求めよ.
(2)
平面上の $3$ 点 $\mathrm P_1,$ $\mathrm P_2,$ $\mathrm P_3$ に対して \[\mathrm P_1\mathrm P_2+\mathrm P_2\mathrm P_3 \geqq \mathrm P_1\mathrm P_3\] が成り立つことを示せ. また, その等号成立条件を求めよ.

解答例

(1)
\[\begin{aligned} (|z|+|w|)^2 &= |z|^2+2|z||w|+|w|^2, \\ |z+w|^2 &= (z+w)\overline{(z+w)} = (z+w)(\bar z+\bar w) \\ &= |z|^2+z\bar w+\bar zw +|w|^2 \end{aligned}\] であるから, 辺々を引くと \[\begin{aligned} (|z|+|w|)^2-|z+w|^2 &= 2|z||w|-(z\bar w+\bar zw) \\ &= 2|z||\bar w|-(z\bar w+\overline{z\bar w}) \\ &= 2\{ |z\bar w|-\mathrm{Re}\,(z\bar w)\} \geqq 0 \end{aligned}\] が得られる. ここで, $\mathrm{Re}\,(z\bar w)$ は $z\bar w$ の実部を表す. 最後の不等号は, すべての実数 $x,$ $y$ に対して成り立つ不等式 \[ |x| \leqq \sqrt{x^2+y^2} = |x+yi|\] から従う. よって, $(|z|+|w|)^2 \geqq |z+w|^2,$ $|z+w| \geqq 0,$ $|z|+|w| \geqq 0$ であるから, \[ |z|+|w| \geqq |z+w|\] が成り立つ. 等号成立条件は, $|z\bar w| = \mathrm{Re}\,(z\bar w)$ であること, つまり $z\bar w$ が $0$ 以上の実数であることである. $z \neq 0,$ $w \neq 0$ のとき, 偏角を $-\pi$ より大, $\pi$ 以下の範囲で考えると, これは \[\mathrm{arg}\,z\bar w = \mathrm{arg}\,z+\mathrm{arg}\,\bar w = \mathrm{arg}\,z-\mathrm{arg}\,w = 0,\] つまり $\mathrm{arg}\,z = \mathrm{arg}\,w$ であることに他ならない.
(2)
$3$ 点 $\mathrm P_1,$ $\mathrm P_2,$ $\mathrm P_3$ に対応する複素数をそれぞれ $z_1,$ $z_2,$ $z_3$ とおく. このとき, (1)で示したことから \[\begin{aligned} |z_1-z_2|+|z_2-z_3| &\geqq |(z_1-z_2)+(z_2-z_3)| \\ &= |z_1-z_3| \end{aligned}\] が成り立つので, $\mathrm P_1\mathrm P_2+\mathrm P_2\mathrm P_3 \geqq \mathrm P_1\mathrm P_3$ が得られる. 等号成立条件は, $z_1-z_2 = 0,$ $z_2-z_3 = 0,$ または $\mathrm{arg}\,(z_1-z_2) \equiv \mathrm{arg}\,(z_2-z_3) \pmod{2\pi}$ であること, つまり $\mathrm P_1,$ $\mathrm P_2,$ $\mathrm P_3$ がこの順に一直線上に並ぶことである.

別解

(1)
(i)
$z_1 = 0$ または $z_2 = 0$ のとき. $|z_1+z_2| = |z_1|+|z_2|$ が成り立つ.
(ii)
$z_1,$ $z_2 \neq 0$ のとき. 各番号 $k$ に対して $z_k = r_k(\cos\theta _k+i\sin\theta _k)$ ($r_k > 0,$ $\theta _k$: 実数)とおく. このとき, \[\begin{aligned} &(|z_1|+|z_2|)^2-|z_1+z_2|^2 \\ &=|z_1|^2+2|z_1z_2|+|z_2|^2-(z_1+z_2)(\overline{z_1}+\overline{z_2}) \\ &= 2|z_1||z_2|-z_1\overline{z_2}+\overline{z_1}z_2 \\ &= 2r_1r_2\\ &\quad\!\!-\!r_1(\cos\theta _1\!+\!i\sin\theta _1)r_2\{\cos (-\theta _2)\!+\!i\sin (-\theta _2)\} \\ &\quad\!\!-\!r_1\{\cos (-\theta _1)\!+\!i\sin (-\theta _1)\} r_2(\cos\theta _2\!+\!i\sin\theta _2) \\ &= 2r_1r_2\\ &\quad\!\!-r_1r_2\{\cos (\theta _1-\theta _2)+i\sin (\theta _1-\theta _2)\} \\ &\quad\!\!-r_1r_2\{\cos (\theta _2-\theta _1)+i\sin (\theta _2-\theta _1)\} \\ &= 2r_1r_2\!-\!r_1r_2\cdot 2\cos\frac{0}{2}\cos\frac{(\theta _1\!-\!\theta _2)\!-\!(\theta _2\!-\!\theta _1)}{2} \\ &= 2r_1r_2\{ 1-\cos (\theta _1-\theta _2)\} \\ &\geqq 0 \end{aligned}\] となるから, $|z_1+z_2|^2 \leqq (|z_1|+|z_2|)^2$ つまり $|z_1+z_2| \leqq |z_1|+|z_2|$ が成り立つ. 等号成立は, $\theta _1-\theta _2$ が $2\pi$ の倍数であるとき, つまり $\mathrm{arg}\,z_1 \equiv \mathrm{arg}\,z_2 \pmod{2\pi}$ である場合に限る.
(i), (ii) から, すべての場合に不等式が成り立ち, 等号成立条件は $z_1 = 0,$ $z_2 = 0,$ または $\mathrm{arg}\,z_1 \equiv \mathrm{arg}\,z_2 \pmod{2\pi}$ であることである.

背景

 (2) で示した不等式は「三角不等式」(triangle inequality)と呼ばれる.

回転移動

定理《複素数平面上の点の回転移動》

 点 $\alpha$ を中心として点 $\beta$ を角 $\theta$ だけ回転した点が $\gamma$ であるとき, \[\gamma -\alpha = (\cos\theta +i\sin\theta )(\beta -\alpha )\] が成り立つ.

証明

 平行移動, 拡大・縮小で $2$ 直線のなす角の大きさは変わらないから, $\alpha = 0,$ $|\beta | = |\gamma | = 1$ の場合を示せばよい.
 $\alpha = 0,$ $|\beta | = |\gamma | = 1$ の場合は, $\beta$ の偏角を $\varphi$ とすると, $\gamma$ の偏角は $\theta +\varphi$ となるから, \[ (\cos\theta\!+\!i\sin\theta )(\cos\varphi\!+\!i\sin\varphi ) \!=\! \cos (\theta\!+\!\varphi )\!+\!i\sin (\theta\!+\!\varphi )\] により従う.

問題《複素数平面上の正三角形の成立条件》

 複素平面上の相異なる $3$ 点 $\mathrm A(\alpha ),$ $\mathrm B(\beta ),$ $\mathrm C(\gamma )$ が正三角形を成すための必要十分条件は, $\alpha ^2+\beta ^2+\gamma ^2 = \alpha\beta +\beta\gamma +\gamma\alpha$ であることを示せ.

解答例

$\triangle\mathrm{ABC}$ が正三角形
$\iff$ $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ は $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ を $\pm\dfrac{\pi}{3}$ だけ回転したベクトル
$\iff$ $\gamma -\alpha = (\beta -\alpha )\left\{\cos\left(\pm\dfrac{\pi}{3}\right) +i\sin\left(\pm\dfrac{\pi}{3}\right)\right\}$
$\iff$ $\gamma -\alpha = (\beta -\alpha )\left(\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{\sqrt 3}{2}i\right)$
$\iff$ $\gamma -\dfrac{1}{2}(\alpha +\beta ) = \pm\dfrac{\sqrt 3}{2}(\beta -\alpha )i$
$\iff$ $\left\{\gamma -\dfrac{1}{2}(\alpha +\beta )\right\} ^2 = -\dfrac{3}{4}(\beta -\alpha )^2$
$\iff$ $\alpha ^2 +\beta ^2+\gamma ^2 = \alpha\beta +\beta\gamma +\gamma\alpha$
が成り立つ.

参考

 $3$ 点 $\mathrm A(\alpha ),$ $\mathrm B(\beta ),$ $\mathrm C(\gamma )$ が正三角形をなすためには,
  • $\dfrac{\gamma -\alpha}{\beta -\alpha} = \dfrac{\alpha -\beta}{\gamma -\beta}$ 
  • $(\alpha -\beta )^2+(\beta -\gamma )^2+(\gamma -\alpha )^2 = 0$ 
  • $\alpha ^2+\beta ^2+\gamma ^2 = \alpha\beta +\beta\gamma +\gamma\alpha$ 
  • $\alpha +\beta +\gamma = \alpha ^2+\beta ^2+\gamma ^2 = 0$
  • $\alpha\beta = \gamma ^2,$ $\beta\gamma = \alpha ^2$ 
の少なくとも $1$ つが成り立つことが必要十分である(証明は省略).

定理《ナポレオンの定理》

 複素数平面上に $3$ 点 $\mathrm A(\alpha ),$ $\mathrm B(\beta ),$ $\mathrm C(\gamma )$ が反時計回りに並び, 三角形をなしている. $\triangle\mathrm{ABC}$ の外側に正三角形 $\mathrm A'\mathrm{BC},$ $\mathrm B'\mathrm{CA},$ $\mathrm C'\mathrm{AB}$ をかき, それらの重心をそれぞれ $\mathrm A'',$ $\mathrm B'',$ $\mathrm C''$ とおく. $\zeta = \cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}$ として, 次の問いに答えよ.
(1)
$\zeta ^2-\zeta+1$ の値を求めよ.
(2)
$\alpha,$ $\beta,$ $\gamma,$ $\zeta$ を用いて, 点 $\mathrm A'',$ $\mathrm B'',$ $\mathrm C''$ に対応する複素数 $\alpha'',$ $\beta'',$ $\gamma''$ を表せ.
(3)
$\triangle\mathrm A''\mathrm B''\mathrm C''$ はどのような形の三角形か.

解答例

(1)
ド・モアブルの定理により \[\zeta ^3 = \cos\pi +i\sin\pi = -1\] であるから, \[\begin{aligned} \zeta ^3+1 &= 0 \\ (\zeta +1)(\zeta ^2-\zeta +1) &= 0 \end{aligned}\] が成り立つ. $\zeta \neq -1$ つまり $\zeta +1 \neq 0$ であるから, \[\zeta ^2-\zeta +1 = 0 \quad \cdots [1]\] である.
(2)
点 $\mathrm A'(\alpha ')$ は点 $\mathrm C(\gamma )$ を中心として点 $\mathrm B(\beta )$ を $\dfrac{\pi}{3}$ だけ回転した点であるから, \[\begin{aligned} \frac{\alpha '-\gamma}{\beta -\gamma} &= \zeta \\ \alpha '-\gamma &= \zeta (\beta -\gamma ) \\ \alpha ' &= \zeta\beta +(1-\zeta )\gamma \end{aligned}\] である. 点 $\mathrm A''(\alpha '')$ は $\triangle\mathrm A'\mathrm{BC}$ の重心であるから, \[\alpha '' = \frac{\alpha '+\beta +\gamma}{3} = \frac{(1+\zeta )\beta +(2-\zeta )\gamma}{3} \quad \cdots [2]\] である. 同様に, \[\begin{aligned} \beta '' &= \frac{(1+\zeta )\gamma +(2-\zeta )\alpha}{3} \quad \cdots [3], \\ \gamma '' &= \frac{(1+\zeta )\alpha +(2-\zeta )\beta}{3} \quad \cdots [4] \end{aligned}\] である.
(3)
$[2]$~$[4]$ から, \[\begin{aligned} &\frac{\gamma ''-\alpha ''}{\beta ''-\alpha ''} = \frac{3\gamma ''-3\alpha ''}{3\beta ''-3\alpha ''} \\ &= \frac{(1+\zeta )\alpha +(2-\zeta )\beta -(1+\zeta )\beta -(2-\zeta )\gamma}{(1+\zeta )\gamma +(2-\zeta )\alpha -(1+\zeta )\beta -(2-\zeta )\gamma} \\ &= \frac{(1+\zeta )\alpha +(1-2\zeta )\beta +(-2+\zeta )\gamma}{(2-\zeta )\alpha +(-1-\zeta )\beta +(-1+2\zeta )\gamma} \end{aligned}\] が成り立つ. ここで, $[1]$ から \[\begin{aligned} \zeta (2-\zeta ) &= 2\zeta -\zeta ^2 = 2\zeta -(\zeta -1) = 1+\zeta, \\ \zeta (-1-\zeta ) &= -\zeta -\zeta ^2 = -\zeta -(\zeta -1) = 1-2\zeta, \\ \zeta (-1+2\zeta ) &= -\zeta +2\zeta ^2 = -\zeta +2(\zeta -1) = -2+\zeta \end{aligned}\] であるので, \[\frac{\gamma ''\!-\!\alpha ''}{\beta ''\!-\!\alpha ''} \!=\! \frac{\zeta (2\!-\!\zeta )\alpha\!+\!\zeta (-1\!-\!\zeta )\beta\!+\!\zeta (-1\!+\!2\zeta )\gamma}{(2\!-\!\zeta )\alpha\!+\!(-1\!-\!\zeta )\beta\!+\!(-1\!+\!2\zeta )\gamma} \!=\! \zeta\] が成り立つ. よって, \[\frac{|\gamma ''-\alpha ''|}{|\beta ''-\alpha ''|} = 1, \quad \mathrm{arg}\,\frac{\gamma ''-\alpha ''}{\beta ''-\alpha ''} = \frac{\pi}{3}\] から \[\mathrm A''\mathrm B'' = \mathrm A''\mathrm C'', \quad \angle\mathrm B''\mathrm A''\mathrm C'' = \frac{\pi}{3}\] が成り立つので, $\triangle\mathrm A''\mathrm B''\mathrm C''$ は正三角形である.

背景

  • 本問において $\triangle\mathrm A''\mathrm B''\mathrm C''$ が正三角形になることは, ナポレオンによって発見されたといわれ,「ナポレオンの定理」(Napoleon's theorem)として知られている.
  • 余弦定理, 正弦定理, 加法定理による証明については, こちらを参照されたい.
  • $\triangle\mathrm{ABC}$ の内側に正三角形 $\mathrm A'\mathrm{BC},$ $\mathrm B'\mathrm{CA},$ $\mathrm C'\mathrm{AB}$ をかいても, それらの重心を結ぶ三角形 $\mathrm A''\mathrm B''\mathrm C''$ は正三角形になることが, 上記と同様に証明できる($\zeta$ を $\cos\left( -\dfrac{\pi}{3}\right) +i\sin\left( -\dfrac{\pi}{3}\right)$ に置き換える). このことも「ナポレオンの定理」として知られている.

問題《曲線 $\sqrt x+\sqrt y = 1$ の回転移動》

 曲線 $C:\sqrt x+\sqrt y = 1$ を原点の周りに角 $\dfrac{\pi}{4}$ だけ回転移動した曲線 $C'$ の方程式を求めよ. また, その概形を描け.

解答例

 曲線 $C$ 上の点 $(x,y)$ を原点の周りに角 $\dfrac{\pi}{4}$ だけ回転した点を $(X,Y)$ とおく. 複素数平面上で考えると, 点 $x+yi$ は点 $X+Yi$ を原点の周りに角 $-\dfrac{\pi}{4}$ だけ回転した点であるから, \[\begin{aligned} x+yi &= (X+Yi)\left\{\cos\left( -\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left( -\frac{\pi}{4}\right)\right\} \\ &= \frac{(X+Yi)(1-i)}{\sqrt 2} = \frac{(X+Y)+(-X+Y)i}{\sqrt 2}, \end{aligned}\] よって $x = \dfrac{X+Y}{\sqrt 2},$ $y = \dfrac{-X+Y}{\sqrt 2}\ \cdots [1]$ である. また, \[\begin{aligned} &\sqrt x+\sqrt y = 1 \\ &\iff (\sqrt x+\sqrt y)^2 = 1,\ x \geqq 0,\ y \geqq 0 \\ &\iff x+2\sqrt{xy}+y = 1,\ x \geqq 0,\ y \geqq 0 \\ &\iff 2\sqrt{xy} = 1-(x+y),\ x \geqq 0,\ y \geqq 0 \\ &\iff 4xy = \{ 1-(x+y)\} ^2,\ x \geqq 0,\ y \geqq 0,\ x+y \leqq 1 \end{aligned}\] である. $[1]$ のもとで \[\begin{aligned} &4xy = \{ 1-(x+y)\} ^2 \\ &\iff 4\cdot\frac{X+Y}{\sqrt 2}\cdot\frac{-X+Y}{\sqrt 2} = \left( 1-\frac{2Y}{\sqrt 2}\right) ^2 \\ &\iff 2(-X^2+Y^2) = (1-\sqrt 2Y)^2 \\ &\iff -2X^2 = 1-2\sqrt 2Y \\ &\iff Y = \frac{\sqrt 2}{2}X^2+\frac{\sqrt 2}{4}, \\ &\text{「}x \geqq 0,\ y \geqq 0,\ x+y \leqq 1\text{」} \\ &\iff\text{「}X+Y \geqq 0,\ -X+Y \geqq 0,\ \sqrt 2Y \leqq 1\text{」} \\ &\iff \text{「}-Y \leqq X \leqq Y,\ Y \leqq \frac{\sqrt 2}{2}\text{」} \end{aligned}\] が成り立つから, 曲線 $C'$ の方程式は \[\begin{aligned} &y = \frac{\sqrt 2}{2}x^2+\frac{\sqrt 2}{4} \\ &\left( -\frac{\sqrt 2}{2} \leqq x \leqq \frac{\sqrt 2}{2},\ -\frac{\sqrt 2}{2} \leqq y \leqq \frac{\sqrt 2}{2}\right) \end{aligned}\] である. また, $C'$ の概形は, 次のようになる.

背景

 $0 < p < 1$ のとき, $2$ 点 $\mathrm P_1(x_1,y_1),$ $\mathrm P_2(x_2,y_2)$ に対して $|x_2-x_1|^p+|y_2-y_1|^p$ は $\mathrm P_1,$ $\mathrm P_2$ の「$l^p$ 距離」と呼ばれる. 「$l^p$ 距離」について, 曲線 $|x|^p+|y|^p = 1$ は単位円周のような役割を果たす.

共線・平行・垂直条件

問題《ウォレス=シムソンの定理》

 $\mathrm A(\alpha ),$ $\mathrm B(\beta ),$ $\mathrm C(\gamma ),$ $\mathrm D(\delta )$ を複素数平面上の点とする.
(A)
$\mathrm A,$ $\mathrm B,$ $\mathrm C$ が同一直線上にあることと $(\beta -\alpha )(\bar\gamma -\bar\alpha )-(\bar\beta -\bar\alpha )(\gamma -\alpha ) = 0$ が成り立つことは同値であることを示せ.
(B)
直線 $\mathrm{AB},$ $\mathrm{CD}$ が垂直であることと $(\beta -\alpha )(\bar\delta -\bar\gamma )+(\bar\beta -\bar\alpha )(\delta -\gamma ) = 0$ が成り立つことは同値であることを示せ.
(C)
$\mathrm A,$ $\mathrm B,$ $\mathrm C,$ $\mathrm D$ が単位円周上にあるとき, 直線 $\mathrm{AB},$ $\mathrm{CD}$ が平行であることと $\alpha\beta -\gamma\delta = 0$ が成り立つことは同値であることを示せ.
(D)
$\triangle\mathrm{ABC}$ の外接円の周上の点 $\mathrm P$ から直線 $\mathrm{BC},$ $\mathrm{CA},$ $\mathrm{AB}$ に下ろした垂線の足 $\mathrm A'(\alpha '),$ $\mathrm B'(\beta '),$ $\mathrm C'(\gamma ')$ が同一直線上にあることを示したい. 回転移動と拡大・縮小を考えることにより, $\mathrm A,$ $\mathrm B,$ $\mathrm C$ が単位円周上にあり, $\mathrm P(1)$ であるとして一般性を失わないので, その場合を考える.
(1)
$2\alpha' = 1+\beta +\gamma -\beta\gamma,$ $2\beta' = 1+\gamma +\alpha -\gamma\alpha,$ $2\gamma' = 1+\alpha +\beta -\alpha\beta$ であることを示せ.
(2)
$\mathrm D(-\beta\gamma),$ $\mathrm E(-\gamma\alpha ),$ $\mathrm F(-\alpha\beta )$ とおき, $\kappa = \dfrac{1+\alpha +\beta +\gamma}{2},$ $\alpha '' = \alpha '-\kappa,$ $\beta '' = \beta '-\kappa,$ $\gamma '' = \gamma '-\kappa$ とおく. 直線 $\mathrm{AD},$ $\mathrm{BE},$ $\mathrm{CF}$ が平行であることを使って, $3$ 点 $\mathrm A''(\alpha ''),$ $\mathrm B''(\beta ''),$ $\mathrm C''(\gamma '')$ が同一直線上にあることを示し, $\mathrm A',$ $\mathrm B',$ $\mathrm C'$ が同一直線上にあることを示せ.

解答例

(A)
$3$ 点 $\mathrm A,$ $\mathrm B,$ $\mathrm C$ のうち $2$ 点以上が一致する場合は等式が明らかに成り立つので, $3$ 点が相異なる場合を考える. このとき,
$\mathrm A,\ \mathrm B,\ \mathrm C$ が同一直線上
$\iff \mathrm{arg}\dfrac{\gamma -\alpha}{\beta -\alpha} = n\pi$ ($n$: 整数)
$\iff \dfrac{\gamma -\alpha}{\beta -\alpha}$ が実数 $\iff \overline{\left(\dfrac{\gamma -\alpha}{\beta -\alpha}\right)} = \dfrac{\gamma -\alpha}{\beta -\alpha}$
$\iff \dfrac{\bar\gamma -\bar\alpha}{\bar\beta -\bar\alpha} = \dfrac{\gamma -\alpha}{\beta -\alpha}$
$\iff (\beta -\alpha )(\bar\gamma -\bar\alpha )-(\bar\beta -\bar\alpha )(\gamma -\alpha ) = 0$
が成り立つ.
(B)
$\mathrm E(\beta -\alpha ),$ $\mathrm F(\delta -\gamma )$ とおくと, $\mathrm{AB} /\!/ \mathrm{OE},$ $\mathrm{CD} /\!/ \mathrm{OF}$ となるから,
$\mathrm{AB} \perp \mathrm{CD} \iff \mathrm{OE} \perp \mathrm{OF}$
$\iff \mathrm{arg}\dfrac{\delta -\gamma}{\beta -\alpha} = \dfrac{\pi}{2}+n\pi$ ($n$: 整数)
$\iff \dfrac{\delta -\gamma}{\beta -\alpha}$ が純虚数 $\iff \overline{\left(\dfrac{\delta -\gamma}{\beta -\alpha}\right)} = -\dfrac{\delta -\gamma}{\beta -\alpha}$
$\iff \dfrac{\bar\delta -\bar\gamma}{\bar\beta -\bar\alpha} = -\dfrac{\delta -\gamma}{\beta -\alpha}$
$\iff (\beta -\alpha )(\bar\delta -\bar\gamma )+(\bar\beta -\bar\alpha )(\delta -\gamma ) = 0$
が成り立つ.
(C)
$\mathrm E(\beta -\alpha ),$ $\mathrm F(\delta -\gamma )$ とおくと, $\mathrm{AB} /\!/ \mathrm{OE},$ $\mathrm{CD} /\!/ \mathrm{OF}$ となるから,
$\mathrm{AB} /\!/ \mathrm{CD} \iff \mathrm{OE} /\!/ \mathrm{OF}$
$\iff \mathrm{arg}\dfrac{\delta -\gamma}{\beta -\alpha} = n\pi$ ($n$: 整数)
$\iff \dfrac{\delta -\gamma}{\beta -\alpha}$ が実数 $\iff \overline{\left(\dfrac{\delta -\gamma}{\beta -\alpha}\right)} = \dfrac{\delta -\gamma}{\beta -\alpha}$
$\iff \dfrac{\bar\delta -\bar\gamma}{\bar\beta -\bar\alpha} = \dfrac{\delta -\gamma}{\beta -\alpha}$
が成り立つ. $\mathrm A,$ $\mathrm B,$ $\mathrm C,$ $\mathrm D$ が単位円周上にあるとき, $|\alpha | = 1$ つまり $\alpha\bar\alpha = |\alpha |^2 = 1$ から $\bar\alpha = \alpha ^{-1}$ であり, 同様に $\bar\beta = \beta ^{-1},$ $\bar\gamma = \gamma ^{-1},$ $\bar\delta = \delta ^{-1}$ であるから, \[\begin{aligned} &\mathrm{AB} /\!/ \mathrm{CD} \iff \frac{\delta ^{-1}-\gamma ^{-1}}{\beta ^{-1}-\alpha ^{-1}} = \frac{\delta -\gamma}{\beta -\alpha} \\ &\iff \frac{\gamma -\delta}{\alpha -\beta} = \frac{\gamma -\delta}{\alpha -\beta}\cdot\frac{\gamma\delta}{\alpha\beta} \iff 1 = \frac{\gamma\delta}{\alpha\beta} \\ &\iff \alpha\beta -\gamma\delta = 0 \end{aligned}\] が成り立つ.
(D)
(1)
$\mathrm A',$ $\mathrm B,$ $\mathrm C$ が同一直線上にあることから, (A) により \[\begin{aligned} &(\alpha '-\beta )(\bar\gamma -\bar\beta )-(\overline{\alpha '}-\bar\beta )(\gamma -\beta ) = 0 \\ &\alpha '(\bar\gamma -\bar\beta )-\overline{\alpha '}(\gamma -\beta ) = \beta (\bar\gamma -\bar\beta )-\bar\beta (\gamma -\beta ) \end{aligned}\] が成り立つ. また, $\mathrm{PA}' \perp \mathrm{BC}$ から, (B) により \[\begin{aligned} &(\alpha '-1)(\bar\gamma -\bar\beta )+(\overline{\alpha '}-1)(\gamma -\beta ) = 0 \\ &\alpha '(\bar\gamma -\bar\beta )+\overline{\alpha '}(\gamma -\beta ) = (\bar\gamma -\bar\beta )+(\gamma -\beta ) \end{aligned}\] が成り立つ. $2$ 式の辺々を加えて $\bar\gamma -\bar\beta $ で割ると, \[\begin{aligned} 2\alpha ' &= 1+\beta +(1-\bar\beta )\frac{\gamma -\beta}{\bar\gamma -\bar\beta} \\ &= 1+\beta +(1-\bar\beta )\frac{\gamma -\beta}{\gamma ^{-1}-\beta ^{-1}} \\ &= 1+\beta +(1-\bar\beta )\frac{-\beta\gamma (\beta -\gamma )}{\beta -\gamma} \\ &= 1+\beta +(\bar\beta -1)\beta\gamma \\ &= 1+\beta +\bar\beta\beta\gamma -\beta\gamma \\ &= 1+\beta +\gamma -\beta\gamma \end{aligned}\] が得られる. 同様に, $2\beta' = 1+\gamma +\alpha -\gamma\alpha,$ $2\gamma' = 1+\alpha +\beta -\alpha\beta$ である.
(2)
$|\alpha | = |-\beta\gamma | = |\beta | = |-\gamma\alpha | = 1,$ $\alpha\cdot (-\beta\gamma )-\beta\cdot (-\gamma\alpha ) = 0$ であるから, (C) により $\mathrm{AD} /\!/ \mathrm{BE}$ が成り立つ. よって, $\beta +\gamma\alpha = k(\alpha +\beta\gamma )$ なる実数 $k$ が存在する. 同様に, $\mathrm{AD} /\!/ \mathrm{CF}$ から, $\gamma +\alpha\beta = l(\alpha +\beta\gamma )$ なる実数 $l$ が存在する. よって, \[\begin{aligned} &\frac{\gamma ''-\alpha ''}{\beta ''-\alpha ''} = \frac{2\gamma ''-2\alpha ''}{2\beta ''-2\alpha ''} = \frac{\alpha +\beta\gamma -\gamma -\alpha\beta}{\alpha +\beta\gamma -\beta -\gamma\alpha} \\ &= \frac{(1-l)(\alpha +\beta\gamma )}{(1-k)(\alpha +\beta\gamma )} = \frac{1-l}{1-k} \end{aligned}\] は実数であるから $\mathrm A''(\alpha ''),$ $\mathrm B''(\beta ''),$ $\mathrm C''(\gamma '')$ は同一直線上にあり, これらを $\kappa$ だけ平行移動した $\mathrm A'(\alpha '),$ $\mathrm B'(\beta '),$ $\mathrm C'(\gamma ')$ は同一直線上にある.

背景

 (D) の結果は「ウォレス=シムソンの定理」(Wallace–Simson theorem)または「シムソンの定理」として知られており, $3$ 点 $\mathrm A',$ $\mathrm B',$ $\mathrm C'$ を通る直線は $\triangle\mathrm{ABC}$ の「ウォレス=シムソン線」(Wallace–Simson line)または「シムソン線」と呼ばれる. 初等幾何学的な証明については, こちらを参照されたい.

共円条件

問題《共円条件》

 相異なる複素数 $\alpha,$ $\beta,$ $\gamma,$ $\delta$ で表される点が同一直線上にないとき, $4$ 点がこの順に同一円周上に並ぶためには, \[\frac{\alpha -\beta}{\gamma -\beta}\cdot\frac{\gamma -\delta}{\alpha -\delta}\] が負の実数であることと同値であることを示せ.

解答例

 $4$ 点 $\alpha,$ $\beta,$ $\gamma,$ $\delta$ がこの順に同一円周上に並ぶとする. このとき, $\mathrm{arg}\,\dfrac{\alpha -\beta}{\gamma -\beta},$ $\mathrm{arg}\,\dfrac{\gamma -\delta}{\alpha -\delta}$ の符号は等しいから, 偏角を $-\pi$ より大, $\pi$ 以下の範囲で考えると, 円に内接する四角形の内角の和が $\pi$ であることから \[\mathrm{arg}\,\frac{\alpha -\beta}{\gamma -\beta}\cdot\dfrac{\gamma -\delta}{\alpha -\delta} = \left|\mathrm{arg}\,\frac{\alpha -\beta}{\gamma -\beta}\right| +\left|\mathrm{arg}\,\frac{\gamma -\delta}{\alpha -\delta}\right| = \pi\] が成り立つ. これは, $\dfrac{\alpha -\beta}{\gamma -\beta}\cdot\dfrac{\gamma -\delta}{\alpha -\delta}$ が負の実数であることを意味している.
この逆も, 向かい合う内角の和が $\pi$ の四角形は円に内接することから従う.

問題《トレミーの不等式》

 次の問いに答えよ. ただし, 上の問題で示した「三角不等式」は証明なしに用いてよい.
(1)
$(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)$ を因数分解せよ.
(2)
平面上の相異なる $4$ 点 $\mathrm A,$ $\mathrm B,$ $\mathrm C,$ $\mathrm D$ に対して, 不等式 \[\mathrm{AB}\cdot\mathrm{CD}+\mathrm{AD}\cdot\mathrm{BC} \geqq \mathrm{AC}\cdot\mathrm{BD}\] が成り立つことを示せ. また, その等号成立条件を求めよ.
(3)
最大の内角が $120^\circ$ 未満の $\triangle\mathrm{ABC}$ の内部に点 $\mathrm P$ をとり, $\triangle\mathrm{ABC}$ の外側に正三角形 $\mathrm{ABC}'$ を描く. $\mathrm{PA}+\mathrm{PB} \geqq \mathrm{PC}'$ が成り立つことを示せ. また, $\mathrm{PA}+\mathrm{PB}+\mathrm{PC}$ が最小になるとき, $\angle\mathrm{APB} = 120^\circ$ が成り立つことを示せ.

解答例

(1)
与式を変形すると, \[\begin{aligned} &(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c) \\ &= (ac-ad-bc+bd)+(ab-ac-bd+cd) \\ &= ab-ad-bc+cd \\ &= a(b-d)-c(b-d) \\ &= (a-c)(b-d) \end{aligned}\] となる.
(2)
$4$ 点 $\mathrm A,$ $\mathrm B,$ $\mathrm C,$ $\mathrm D$ に対応する複素数をそれぞれ $\alpha,$ $\beta,$ $\gamma,$ $\delta$ とおく. \[ (\alpha -\beta )(\gamma -\delta )+(\alpha -\delta )(\beta -\gamma ) = (\alpha -\gamma )(\beta -\delta )\] の両辺の絶対値をとると \[ |(\alpha -\beta )(\gamma -\delta )+(\alpha -\delta )(\beta -\gamma )| = |\alpha -\gamma ||\beta -\delta |\] となるから, 三角不等式により \[\begin{aligned} |\alpha -\beta ||\gamma -\delta |+|\alpha -\delta ||\beta -\gamma | &\geqq |\alpha -\gamma ||\beta -\delta | \\ \mathrm{AB}\cdot\mathrm{CD}+\mathrm{AD}\cdot\mathrm{BC} &\geqq \mathrm{AC}\cdot\mathrm{BD} \end{aligned}\] となる. 等号は, 偏角を $-\pi$ より大, $\pi$ 以下の範囲で考えると, \[\begin{aligned} \mathrm{arg}\,(\alpha -\beta )(\gamma -\delta ) &= \mathrm{arg}\,(\alpha -\delta )(\beta -\gamma ) \\ \mathrm{arg}\,\dfrac{(\alpha -\beta )(\gamma -\delta )}{(\alpha -\delta )(\beta -\gamma )} &= 0 \\ \mathrm{arg}\,\frac{(\alpha -\beta )(\gamma -\delta )}{(\gamma -\beta )(\alpha -\delta )} &= \pi \\ \left|\mathrm{arg}\,\frac{\alpha -\beta}{\gamma -\beta}\right| +\left|\mathrm{arg}\,\frac{\gamma -\delta}{\alpha -\delta}\right| &= \pi \end{aligned}\] のとき, つまり $\mathrm A,$ $\mathrm B,$ $\mathrm C,$ $\mathrm D$ がこの順に同一円周上に並ぶときに成り立つ.
(3)
(2) から, \[\mathrm{PA}\cdot\mathrm C'\mathrm B+\mathrm{PB}\cdot\mathrm{AC}' \geqq \mathrm P\mathrm C'\cdot\mathrm{AB}\] が成り立つ. $\triangle\mathrm{ABC}'$ は正三角形であることから, 両辺を $\mathrm C'\mathrm B = \mathrm{AC}' = \mathrm{AB}$ で割ると, \[\mathrm{PA}+\mathrm{PB} \geqq \mathrm{PC}'\] となる. 両辺に $\mathrm{PC}$ を加えると,「三角不等式」により, \[\mathrm{PA}+\mathrm{PB}+\mathrm{PC} \geqq \mathrm{CP}+\mathrm{PC}' \geqq \mathrm{CC}' \] が得られる. 等号成立は, $\mathrm P,$ $\mathrm A,$ $\mathrm C',$ $\mathrm B$ がこの順に同一円周上に並び, $\mathrm C,$ $\mathrm P,$ $\mathrm C'$ がこの順に同一直線上に並ぶ場合に限る.
このとき, 円に内接する四角形の性質から, \[\angle\mathrm{APB} = 180^\circ -\angle\mathrm{AC}'\mathrm B = 180^\circ -60^\circ = 120^\circ\] が成り立つ.

背景

  • (2) で示した不等式は「トレミーの不等式」(Ptolemy's inequality)と呼ばれる.
  • (3) と同様にして, $\mathrm{PA}+\mathrm{PB}+\mathrm{PC}$ が最小になるとき, \[\angle\mathrm{APB} = \angle\mathrm{BPC} = \angle\mathrm{CPA} = 120^\circ\] の成り立つことが分かる. このような点 $\mathrm P$ は $\triangle\mathrm{ABC}$ の「フェルマー点」または「トリチェリ点」(Fermat point, Torricelli point)などと呼ばれる.

その他

問題《三角形の相似条件》

 複素数平面において,
$\triangle z_1z_2z_3,$ $\triangle w_1w_2w_3$ が同じ向きで相似
$\iff$ $\dfrac{z_3-z_1}{z_2-z_1} = \dfrac{w_3-w_1}{w_2-w_1},$
$\triangle z_1z_2z_3,$ $\triangle w_1w_2w_3$ が逆の向きで相似
$\iff$ $\overline{\,\dfrac{z_3-z_1}{z_2-z_1}\,} = \dfrac{w_3-w_1}{w_2-w_1}$
が成り立つことを示せ. ただし, 相似な $2$ つの三角形は, 対応する $3$ 頂点がどちらも時計回りに並んでいるか, どちらも反時計回りに並んでいるとき, 同じ向きであるという. また, そうでないとき, 逆の向きであるという.

解答例

 三角形の相似条件「$2$ 組の辺の長さの比とその間の角が等しい」により,
$\triangle z_1z_2z_3,$ $\triangle w_1w_2w_3$ が同じ向きで相似
$\iff$ $\dfrac{|z_3\!-\!z_1|}{|z_2\!-\!z_1|} \!=\! \dfrac{|w_3\!-\!w_1|}{|w_2\!-\!w_1|},$ $\mathrm{arg}\,\dfrac{z_3\!-\!z_1}{z_2\!-\!z_1} \!=\! \mathrm{arg}\dfrac{w_3\!-\!w_1}{w_2\!-\!w_1}$
$\iff$ $\left|\dfrac{z_3\!-\!z_1}{z_2\!-\!z_1}\right| \!=\! \left|\dfrac{w_3\!-\!w_1}{w_2\!-\!w_1}\right|,$ $\mathrm{arg}\,\dfrac{z_3\!-\!z_1}{z_2\!-\!z_1} \!=\! \mathrm{arg}\dfrac{w_3\!-\!w_1}{w_2\!-\!w_1}$
$\iff$ $\dfrac{z_3-z_1}{z_2-z_1} = \dfrac{w_3-w_1}{w_2-w_1},$
$\triangle z_1z_2z_3,$ $\triangle w_1w_2w_3$ が逆の向きで相似
$\iff$ $\dfrac{|z_3\!-\!z_1|}{|z_2\!-\!z_1|} \!=\! \dfrac{|w_3\!-\!w_1|}{|w_2\!-\!w_1|},$ $-\mathrm{arg}\,\dfrac{z_3\!-\!z_1}{z_2\!-\!z_1} \!=\! \mathrm{arg}\dfrac{w_3\!-\!w_1}{w_2\!-\!w_1}$
$\iff$ $\left|\dfrac{z_3\!-\!z_1}{z_2\!-\!z_1}\right| \!=\! \left|\dfrac{w_3\!-\!w_1}{w_2\!-\!w_1}\right|,$ $-\mathrm{arg}\,\dfrac{z_3\!-\!z_1}{z_2\!-\!z_1} \!=\! \mathrm{arg}\dfrac{w_3\!-\!w_1}{w_2\!-\!w_1}$
$\iff$ $\left|\overline{\,\dfrac{z_3-z_1}{z_2-z_1}\,}\right| \!=\! \left|\dfrac{w_3\!-\!w_1}{w_2\!-\!w_1}\right|,$ $\mathrm{arg}\,\overline{\,\dfrac{z_3-z_1}{z_2-z_1}\,} \!=\! \mathrm{arg}\dfrac{w_3\!-\!w_1}{w_2\!-\!w_1}$
$\iff$ $\overline{\,\dfrac{z_3-z_1}{z_2-z_1}\,} = \dfrac{w_3-w_1}{w_2-w_1}$
が成り立つ.

問題《原点を通る直線に関する対称性》

 複素数平面上の $2$ 点 $\mathrm P(z),$ $\mathrm P'(z')$ が原点 $\mathrm O$ と点 $\mathrm A(\alpha )$ を通る直線に関して対称であるためには, $z'\bar\alpha = \bar z\alpha$ の成り立つことが必要十分であることを示せ.

解答例

 $\alpha = r(\cos\theta +i\sin\theta )$ とおく. $2$ 点 $\mathrm P(z),$ $\mathrm P'(z')$ を $\mathrm O$ を中心に $-\theta$ だけ回転移動した点を $\mathrm Q(w),$ $\mathrm Q'(w')$ とおく. このとき, \[\begin{aligned} w &= z\{\cos (-\theta )+i\sin (-\sin\theta )\} \\ &= z(\cos\theta -i\sin\theta ), \\ \bar w &= \bar z\overline{(\cos\theta -i\sin\theta )} \\ &= \bar z(\cos\theta +i\sin\theta ) = \bar z\frac{\alpha}{r}, \\ w' &= z'(\cos\theta -i\sin\theta ) = z'\frac{\bar\alpha}{r} \end{aligned}\] が成り立つ. よって,
$2$ 点 $\mathrm P(z),$ $\mathrm P'(z')$ が直線 $\mathrm{OA}$ に関して対称
$\iff$ $2$ 点 $\mathrm Q(w),$ $\mathrm Q'(w')$ が実軸に関して対称
$\iff$ $w' = \bar w$
$\iff$ $z'\dfrac{\bar\alpha}{r} = \bar z\dfrac{\alpha}{r}$
$\iff$ $z'\bar\alpha = \bar z\alpha$
が成り立つ.

問題《直線の方程式》

 $\delta$ を $0$ でない複素数とする. 複素数平面上で, 次が成り立つことを示せ.
(A)
(1)
原点と点 $\delta$ を結ぶ直線に平行で点 $\alpha$ を通る直線は方程式 $\bar\delta (z-\alpha ) -\delta (\bar z-\bar\alpha ) = 0$ で表される.
(2)
原点と点 $\delta$ を結ぶ直線に垂直で点 $\alpha$ を通る直線は方程式 $\bar\delta (z-\alpha ) +\delta (\bar z-\bar\alpha ) = 0$ で表される.
(B)
相異なる $2$ 点 $\mathrm A,$ $\mathrm B$ を通る直線は $(\bar\beta -\bar\alpha )z-(\beta -\alpha )\bar z+\bar\alpha\beta -\bar\alpha\beta = 0$ で表される.

解答例

(A)
(1)
複素数 $z$ に対して,
点 $z$ が $0,$ $\delta$ を結ぶ直線に平行で点 $\alpha$ を通る直線上にある
$\iff$ ある実数 $k$ に対して $z-\alpha = k\delta$
$\iff \dfrac{z-\alpha}{\delta}$ は実数
$\iff \overline{\left(\dfrac{z-\alpha}{\delta}\right)} = \dfrac{z-\alpha}{\delta}$
$\iff \dfrac{\bar z-\bar\alpha}{\bar\delta} = \dfrac{z-\alpha}{\delta}$
$\iff \bar\delta (z-\alpha ) -\delta (\bar z-\bar\alpha ) = 0$
が成り立つ.
(2)
複素数 $z$ に対して,
点 $z$ が $0,$ $\delta$ を結ぶ直線に垂直で点 $\alpha$ を通る直線上にある
$\iff \mathrm{arg}\,\dfrac{z-\alpha}{\delta} \equiv \pm\dfrac{\pi}{2} \pmod{2\pi},$ または $z = \alpha$
$\iff \dfrac{z-\alpha}{\delta}$ は純虚数, または $z = \alpha$
$\iff \overline{\left(\dfrac{z-\alpha}{\delta}\right)} = -\dfrac{z-\alpha}{\delta}$
$\iff \dfrac{\bar z-\bar\alpha}{\bar\delta} = -\dfrac{z-\alpha}{\delta}$
$\iff \bar\delta (z-\alpha ) +\delta (\bar z-\bar\alpha ) = 0$
が成り立つ.
(B)
複素数 $z$ に対して,
点 $z$ が $\alpha,$ $\beta$ を通る直線上にある
$\iff \overline{\left(\dfrac{z-\alpha}{\beta -\alpha}\right)} = \dfrac{z-\alpha}{\beta -\alpha}$
$\iff \dfrac{\bar z-\bar\alpha}{\bar\beta -\bar\alpha} = \dfrac{z-\alpha}{\beta -\alpha}$
$\iff (\bar\beta -\bar\alpha )z-(\beta -\alpha )\bar z+\bar\alpha\beta -\bar\alpha\beta = 0$
が成り立つ.

問題《三角形の外心》

 複素数平面上の点 $\mathrm O(0),$ $\mathrm A(\alpha ),$ $\mathrm B(\beta )$ が三角形を成すとき,
(1)
線分 $\mathrm{OA}$ の垂直二等分線は方程式 $\overline\alpha z+\alpha\overline z = |\alpha |^2$ で表されることを示せ.
(2)
$\triangle\mathrm{OAB}$ の外心に対応する複素数を $\alpha,$ $\beta$ で表せ.

解答例

(1)
点 $\mathrm P(z)$ について,
$\mathrm P$ が線分 $\mathrm{OA}$ の垂直二等分線上にある
\[\begin{aligned} &\iff \mathrm{OP} = \mathrm{AP} \iff \mathrm{OP}^2 = \mathrm{AP}^2 \\ &\iff |z|^2 = |z-\alpha |^2 \\ &\iff z\overline z = (z-\alpha )\overline{(z-\alpha )} \\ &\iff z\overline z = (z-\alpha )(\overline z-\overline\alpha ) \\ &\iff z\overline z = z\overline z-\overline\alpha z-\alpha\overline z-\alpha\overline\alpha \\ &\iff \overline\alpha z+\alpha\overline z = |\alpha |^2 \quad \cdots [1] \end{aligned}\]
が成り立つ.
(2)
点 $\mathrm P(z)$ が線分 $\mathrm{OB}$ の垂直二等分線上にあるとき, (1) と同様に, \[\overline\beta z+\beta\overline z = |\beta |^2 \quad \cdots [2]\] が成り立つ. $\triangle\mathrm{OAB}$ の外心 $\mathrm P(z)$ は $[1],$ $[2]$ を満たすので, $[1]\times\beta -[2]\times\alpha$ から, \[ (\overline\alpha\beta -\alpha\overline\beta )z = |\alpha |^2\beta-|\beta |^2\alpha \quad \cdots [3]\] が得られる. また,
$3$ 点 $\mathrm O,$ $\mathrm A,$ $\mathrm B$ は同一直線上にない
$\iff$ $\arg\dfrac{\alpha -0}{\beta -0}$ は $\pi$ の倍数でない
$\iff$ $\dfrac{\alpha}{\beta}$ は実数でない
$\iff$ $\overline{\left(\dfrac{\alpha}{\beta}\right)} \neq \dfrac{\alpha}{\beta}$ $\iff$ $\dfrac{\overline\alpha}{\overline\beta} \neq \dfrac{\alpha}{\beta}$
$\iff$ $\overline\alpha\beta \neq \alpha\overline\beta$
が成り立つ. ゆえに, $\overline\alpha\beta -\alpha\overline\beta \neq 0$ であるので, $[3]$ から \[ z = \frac{|\alpha |^2\beta-|\beta |^2\alpha}{\overline\alpha\beta -\alpha\overline\beta}\] である.

問題《座標法》

 複素数 $z$ の虚部を $\mathrm{Im}(z)$ で表す. $n$ 角形 $z_1z_2\cdots z_n$ の面積 $S$ は \[ S = \displaystyle\frac{1}{2}\left|\sum_{k = 1}^n\mathrm{Im}\,(\overline{z_k}z_{k+1})\right|\] であり, 絶対値記号の中は頂点の並び方が反時計回りのとき正, 時計回りのとき負であることを示せ. ただし, $z_{n+1} = z_1$ とする.
(参考: 2000 横浜市立大)

解答例

(I)
$n = 3$ のとき.
(i)
$z_3 = 0$ のとき. $\theta = \mathrm{arg}\,\dfrac{z_2}{z_1}$ $(-\pi < \theta < \pi,$ $\theta \neq 0)$ とおく. $\cos\theta +i\sin\theta = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}\cdot\dfrac{z_2}{z_1}$ であるから, $\mathrm{Im}\,(z) = \dfrac{z-\overline{z}}{2i}$ により \[\begin{aligned} \sin\theta &= \frac{|z_1|}{|z_2|}\mathrm{Im}\left(\frac{z_2}{z_1}\right) = \frac{|z_1|}{|z_2|}\cdot\frac{1}{2i}\left(\frac{z_2}{z_1}-\frac{\overline{z_2}}{\overline{z_1}}\right) \\ &= \frac{|z_1|}{|z_2|}\cdot\frac{1}{2i}\cdot\frac{\overline{z_1}z_2-z_1\overline{z_2}}{|z_1|^2} = \frac{1}{|z_1||z_2|}\mathrm{Im}\,(\overline{z_1}z_2) \end{aligned}\] が成り立つ. よって, \[ S = \frac{1}{2}|z_1||z_2|\left|\sin\theta\right| = \frac{1}{2}|\mathrm{Im}\,(\overline{z_1}z_2)|\] が成り立つ. $\mathrm{Im}\,(\overline{z_1}z_2)$ の符号は, $\sin\theta$ の符号, つまり $\theta = \mathrm{arg}\,\dfrac{z_2}{z_1}$ の符号に一致する.
(ii)
一般の場合. 平行移動しても面積は変わらないから, (i) において $z_1,$ $z_2,$ $z_3$ を $w_1 = z_1-z_3,$ $w_2 = z_2-z_3,$ $0$ に置き換えると, $\mathrm{Im}\,(z+w) = \mathrm{Im}\,(z)+\mathrm{Im}\,(w),$ $\mathrm{Im}\,(\overline{z}) = -\mathrm{Im}\,(z)$ により \[\begin{aligned} S &= \frac{1}{2}|\mathrm{Im}\,(\overline{w_1}w_2)| = \frac{1}{2}\left|\mathrm{Im}\,((\overline{z_1}-\overline{z_3})(z_2-z_3))\right| \\ &= \frac{1}{2}\left|\mathrm{Im}\,(\overline{z_1}z_2-z_2\overline{z_3}-z_3\overline{z_1}+|z_3|^2)\right| \\ &= \frac{1}{2}\left|\mathrm{Im}\,(\overline{z_1}z_2)-\mathrm{Im}\,(z_2\overline{z_3})-\mathrm{Im}\,(z_3\overline{z_1})\right| \\ &= \frac{1}{2}\left|\mathrm{Im}\,(\overline{z_1}z_2)+\mathrm{Im}\,(\overline{z_2}z_3)+\mathrm{Im}\,(\overline{z_3}z_1)\right| \end{aligned}\] が得られる. 絶対値記号の中は, $\mathrm{arg}\,\dfrac{w_2}{w_1} = \mathrm{arg}\,\dfrac{z_2-z_3}{z_1-z_3}$ と符号が一致するから, 頂点の並び方が反時計回りのとき正, 時計回りのとき負である.
(II)
$n = m-1$ ($m$: $4$ 以上の整数)のとき公式が成り立つとし, $n = m$ の場合を考える. $m-1$ 角形 $\mathrm P_1\cdots\mathrm P_{m-1}$ の面積を $S'$ とおく. 点 $\mathrm P_m$ が $m-1$ 角形 $\mathrm P_1\cdots\mathrm P_{m-1}$ の外部にあるとき, \[\begin{aligned} S &= S'+\triangle\mathrm P_1\mathrm P_{m-1}\mathrm P_m \\ &= \frac{1}{2}\left|\sum_{k = 1}^{m-2}\mathrm{Im}\,(\overline{z_k}z_{k+1})+\mathrm{Im}\,(\overline{z_{m-1}}z_1)\right| \\ &\qquad +\frac{1}{2}\left|\mathrm{Im}\,(\overline{z_1}z_{m-1})+\mathrm{Im}\,(\overline{z_{m-1}}z_m)+\mathrm{Im}\,(\overline{z_m}z_1)\right| \\ &= \frac{1}{2}\left|\sum_{k = 1}^{m-2}\mathrm{Im}\,(\overline{z_k}z_{k+1})+\mathrm{Im}\,(\overline{z_{m-1}}z_1)+\mathrm{Im}\,(\overline{z_1}z_{m-1})\right. \\ &\qquad \left.+\mathrm{Im}\,(\overline{z_{m-1}}z_m)+\mathrm{Im}\,(\overline{z_m}z_1)\right| \\ &= \frac{1}{2}\left|\sum_{k = 1}^m\mathrm{Im}\,(\overline{z_k}z_{k+1})\right| \end{aligned}\] が成り立つ. 点 $\mathrm P_m$ が $m-1$ 角形 $\mathrm P_1\cdots\mathrm P_{m-1}$ の内部にあるとき($\mathrm P_1,$ $\mathrm P_m,$ $\mathrm P_{m-1}$ の並び方に注意), \[\begin{aligned} S &= S'-\triangle\mathrm P_1\mathrm P_m\mathrm P_{m-1} \\ &= \frac{1}{2}\left|\sum_{k = 1}^{m-2}\mathrm{Im}\,(\overline{z_k}z_{k+1})+\mathrm{Im}\,(\overline{z_{m-1}}z_1)\right| \\ &\qquad -\frac{1}{2}\left|\mathrm{Im}\,(\overline{z_1}z_m)+\mathrm{Im}\,(\overline{z_m}z_{m-1})+\mathrm{Im}\,(\overline{z_{m-1}}z_1)\right| \\ &= \frac{1}{2}\left|\sum_{k = 1}^{m-2}\mathrm{Im}\,(\overline{z_k}z_{k+1})+\mathrm{Im}\,(\overline{z_{m-1}}z_1)-\mathrm{Im}\,(\overline{z_1}z_m)\right. \\ &\qquad \left.-\mathrm{Im}\,(\overline{z_m}z_{m-1})-\mathrm{Im}\,(\overline{z_{m-1}}z_1)\right| \\ &= \frac{1}{2}\left|\sum_{k = 1}^m\mathrm{Im}\,(\overline{z_k}z_{k+1})\right| \end{aligned}\] が成り立つ. 絶対値記号の中は, 頂点の並び方が反時計回りのとき正, 時計回りのとき負である.
(I), (II) から, $3$ 以上のすべての整数 $n$ に対して公式が成り立つ.

背景

  • $z_1 = a+bi,$ $z_2 = c+di$ ($a,$ $b,$ $c,$ $d$: 実数)とすると, \[\overline{z_1}z_2 = (a-bi)(c+di) = (ac+bd)+(ad-bc)i\] から, \[\triangle 0z_1z_2 = \frac{1}{2}|\mathrm{Im}(\overline{z_1}z_2)| = \frac{1}{2}|ad-bc|\] が得られる.
  • 複素数 $z_1 = x_1+y_1i,$ $\cdots,$ $z_n = x_n+y_ni$ ($n \geqq 3,$ $x_k,$ $y_k$: 実数)に対して, $n$ 角形 $z_1\cdots z_n$ の面積 $S$ は, $z_{n+1} = z_1$ とおくと, \[\begin{aligned} S &= \frac{1}{2}\left|\mathrm{Im}\left(\sum_{k = 1}^n\overline{z_k}z_{k+1}\right)\right| = \frac{1}{2}\left|\sum_{k = 1}^n\mathrm{Im}(\overline{z_k}z_{k+1})\right| \\ &= \frac{1}{2}\left|\sum_{k = 1}^n\mathrm{Im}(x_k-y_ki)(x_{k+1}+y_{k+1}i)\right| \\ &= \frac{1}{2}\left|\sum_{k = 1}^n(x_ky_{k+1}-y_kx_{k+1})\right| \end{aligned}\] と表される. この公式は「座標法」と呼ばれ, 測量でよく利用されている.