α \alpha α を
0 0 0 でない複素数とする.
(1) 2 2 2 O ( 0 ) , \mathrm O(0), O ( 0 ) , A ( α ) \mathrm A(\alpha ) A ( α ) z α + z ˉ α ˉ = 1 \dfrac{z}{\alpha}+\dfrac{\bar z}{\bar \alpha} = 1 α z + α ˉ z ˉ = 1 (2) 複素数平面上の原点 O \mathrm O O P ( z ) \mathrm P(z) P ( z ) O P \mathrm{OP} O P Q ( w ) \mathrm Q(w) Q ( w ) O P ⋅ O Q = 1 \mathrm{OP}\cdot\mathrm{OQ} = 1 O P ⋅ O Q = 1
① w w w z z z ② 点 P \mathrm P P ∣ z − α ∣ = r |z-\alpha | = r ∣ z − α ∣ = r Q \mathrm Q Q ∣ α ∣ = r |\alpha | = r ∣ α ∣ = r ∣ α ∣ ≠ r |\alpha| \neq r ∣ α ∣ = r
2018 / 12 / 28 2018/12/28 2 0 1 8 / 1 2 / 2 8 2022 / 06 / 09 2022/06/09 2 0 2 2 / 0 6 / 0 9 解答例
(1) 複素数平面上の点 P ( z ) \mathrm P(z) P ( z )
点 P \mathrm P P O A \mathrm{OA} O A ⟺ \iff ⟺ O P = A P \mathrm{OP} = \mathrm{AP} O P = A P ⟺ \iff ⟺ ∣ z ∣ = ∣ z − α ∣ |z| = |z-\alpha | ∣ z ∣ = ∣ z − α ∣ ⟺ \iff ⟺ ∣ z ∣ 2 = ∣ z − α ∣ 2 |z|^2 = | z-\alpha |^2 ∣ z ∣ 2 = ∣ z − α ∣ 2 ⟺ \iff ⟺ z z ˉ = ( z − α ) ( z − α ) ‾ z\bar z = (z-\alpha )\overline{(z-\alpha )} z z ˉ = ( z − α ) ( z − α ) ⟺ \iff ⟺ z z ˉ = ( z − α ) ( z ˉ − α ˉ ) z\bar z = (z-\alpha )(\bar z-\bar\alpha ) z z ˉ = ( z − α ) ( z ˉ − α ˉ ) ⟺ \iff ⟺ z z ˉ = z z ˉ − α ˉ z − α z ˉ + α α ˉ z\bar z = z\bar z-\bar\alpha z-\alpha\bar z+\alpha\bar\alpha z z ˉ = z z ˉ − α ˉ z − α z ˉ + α α ˉ ⟺ \iff ⟺ α ˉ z + α z ˉ = α α ˉ \bar\alpha z+\alpha\bar z = \alpha\bar\alpha α ˉ z + α z ˉ = α α ˉ ⟺ \iff ⟺ z α + z ˉ α ˉ = 1 \dfrac{z}{\alpha}+\dfrac{\bar z}{\bar\alpha} = 1 α z + α ˉ z ˉ = 1
O A \mathrm{OA} O A z α + z ˉ α ˉ = 1 \dfrac{z}{\alpha}+\dfrac{\bar z}{\bar \alpha} = 1 α z + α ˉ z ˉ = 1 (2)
① 点 Q \mathrm Q Q O P \mathrm{OP} O P 0 0 0 k k k z = k w z = kw z = k w O P ⋅ O Q = 1 \mathrm{OP}\cdot\mathrm{OQ} = 1 O P ⋅ O Q = 1 1 = ∣ z ∣ ∣ w ∣ = ∣ k w ∣ ∣ w ∣ = k ∣ w ∣ 2 1 = |z||w| = |kw||w| = k|w|^2 1 = ∣ z ∣ ∣ w ∣ = ∣ k w ∣ ∣ w ∣ = k ∣ w ∣ 2 k = 1 ∣ w ∣ 2 k = \dfrac{1}{|w|^2} k = ∣ w ∣ 2 1 z = 1 ∣ w ∣ 2 w = w w w ˉ = 1 w ˉ ⋯ [ A ] z = \frac{1}{|w|^2}w = \frac{w}{w\bar w} = \frac{1}{\bar w} \quad \cdots [\text A] z = ∣ w ∣ 2 1 w = w w ˉ w = w ˉ 1 ⋯ [ A ] ② ∣ z − α ∣ = r |z-\alpha | = r ∣ z − α ∣ = r [ A ] [\text A] [ A ] ∣ 1 w ˉ − α ∣ = r \left|\frac{1}{\bar w}-\alpha\right| = r ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ w ˉ 1 − α ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = r r 2 = ∣ 1 w ˉ − α ∣ 2 = ( 1 w ˉ − α ) ( 1 w ˉ − α ) ‾ = ( 1 w ˉ − α ) ( 1 w − α ˉ ) = 1 w ˉ w − α ˉ w ˉ − α w + ∣ α ∣ 2 \begin{aligned}
r^2 &= \left|\frac{1}{\bar w}-\alpha\right| ^2 = \left(\frac{1}{\bar w}-\alpha\right)\overline{\left(\frac{1}{\bar w}-\alpha\right)} \\
&= \left(\frac{1}{\bar w}-\alpha\right)\left(\frac{1}{w}-\bar\alpha\right) \\
&= \frac{1}{\bar ww}-\frac{\bar\alpha}{\bar w}-\frac{\alpha}{w}+|\alpha |^2
\end{aligned} r 2 = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ w ˉ 1 − α ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 2 = ( w ˉ 1 − α ) ( w ˉ 1 − α ) = ( w ˉ 1 − α ) ( w 1 − α ˉ ) = w ˉ w 1 − w ˉ α ˉ − w α + ∣ α ∣ 2 w w ˉ w\bar w w w ˉ ( ∣ α ∣ 2 − r 2 ) w w ˉ − α ˉ w − α w ˉ + 1 = 0 ⋯ [ B ] (|\alpha |^2-r^2)w\bar w-\bar\alpha w-\alpha\bar w+1 = 0 \quad \cdots [\text B] ( ∣ α ∣ 2 − r 2 ) w w ˉ − α ˉ w − α w ˉ + 1 = 0 ⋯ [ B ]
(i) ∣ α ∣ = r |\alpha | = r ∣ α ∣ = r [ B ] ⟺ α ˉ w + α w ˉ = 1 [\text B] \iff \bar\alpha w+\alpha\bar w = 1 [ B ] ⟺ α ˉ w + α w ˉ = 1 Q \mathrm Q Q 2 2 2 0 , 0, 0 , α ˉ − 1 \bar\alpha ^{-1} α ˉ − 1 Q \mathrm Q Q (ii) ∣ α ∣ ≠ r |\alpha | \neq r ∣ α ∣ = r d = ∣ α ∣ 2 − r 2 d = |\alpha |^2-r^2 d = ∣ α ∣ 2 − r 2 [ B ] ⟺ w w ˉ − α ˉ d w − α d w ˉ + α α ˉ d 2 = ∣ α ∣ 2 d 2 − 1 d ⟺ ( w − α d ) ( w ˉ − α ˉ d ) = r 2 d 2 ⟺ ( w − α d ) ( w − α d ) ‾ = r 2 d 2 ⟺ ∣ w − α d ∣ 2 = r 2 d 2 ⟺ ∣ w − α d ∣ = r ∣ d ∣ \begin{aligned}
[\text B] &\iff w\bar w-\frac{\bar\alpha}{d}w-\frac{\alpha}{d}\bar w+\frac{\alpha\bar\alpha}{d^2} = \frac{|\alpha |^2}{d^2}-\frac{1}{d} \\
&\iff \left( w-\frac{\alpha}{d}\right)\left(\bar w-\frac{\bar\alpha}{d}\right) = \frac{r^2}{d^2} \\
&\iff \left( w-\frac{\alpha}{d}\right)\overline{\left( w-\frac{\alpha}{d}\right)} = \frac{r^2}{d^2} \\
&\iff \left| w-\frac{\alpha}{d}\right| ^2 = \frac{r^2}{d^2} \\
&\iff \left| w-\frac{\alpha}{d}\right| = \frac{r}{|d|}
\end{aligned} [ B ] ⟺ w w ˉ − d α ˉ w − d α w ˉ + d 2 α α ˉ = d 2 ∣ α ∣ 2 − d 1 ⟺ ( w − d α ) ( w ˉ − d α ˉ ) = d 2 r 2 ⟺ ( w − d α ) ( w − d α ) = d 2 r 2 ⟺ ∣ ∣ ∣ ∣ w − d α ∣ ∣ ∣ ∣ 2 = d 2 r 2 ⟺ ∣ ∣ ∣ ∣ w − d α ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ d ∣ r Q \mathrm Q Q α ∣ α ∣ 2 − r 2 \dfrac{\alpha}{|\alpha |^2-r^2} ∣ α ∣ 2 − r 2 α r ∣ ∣ α ∣ 2 − r 2 ∣ \dfrac{r}{||\alpha |^2-r^2|} ∣ ∣ α ∣ 2 − r 2 ∣ r Q \mathrm Q Q
参考
集合 S S S S S S 1 1 1 S S S 「変換」 と呼ぶ.
例えば, 実数全体 R \mathbb R R R \mathbb R R 「相似変換」 または「拡大・縮小変換」 と呼ばれる「変換」である.
平面上の点 O \mathrm O O r r r C C C O \mathrm O O P \mathrm P P O P ⋅ O Q = r 2 \mathrm{OP}\cdot\mathrm{OQ} = r^2 O P ⋅ O Q = r 2 O P \mathrm{OP} O P Q \mathrm Q Q C C C 「反転」 と呼び,
点 O \mathrm O O 「反転の中心」 , r r r 「反転の半径」 と呼ぶ.
また, 点 P \mathrm P P F F F Q \mathrm Q Q F F F 「反形」 と呼ぶ.
複素数平面 (原点を除く部分) において,「反転」w = 1 z ˉ w = \dfrac{1}{\bar z} w = z ˉ 1 w = 1 z w = \dfrac{1}{z} w = z 1 w = 1 z ˉ w = \dfrac{1}{\bar z} w = z ˉ 1
α ≠ 0 , \alpha \neq 0, α = 0 , ∣ α ∣ < 1 , |\alpha | < 1, ∣ α ∣ < 1 , ∣ λ ∣ = 1 |\lambda | = 1 ∣ λ ∣ = 1 なる複素数
α , \alpha, α , λ \lambda λ に対して,
w = λ z − α α ˉ z − 1 w = \lambda\dfrac{z-\alpha}{\bar\alpha z-1} w = λ α ˉ z − 1 z − α は単位円
∣ z ∣ ≦ 1 |z| \leqq 1 ∣ z ∣ ≦ 1 を単位円
∣ w ∣ ≦ 1 |w| \leqq 1 ∣ w ∣ ≦ 1 にうつすことを示せ.
2019 / 09 / 18 2019/09/18 2 0 1 9 / 0 9 / 1 8 2022 / 06 / 09 2022/06/09 2 0 2 2 / 0 6 / 0 9 解答例
w = λ z − α α ˉ z − 1 ⋯ [ 1 ] w = \lambda\dfrac{z-\alpha}{\bar\alpha z-1}\ \cdots [1] w = λ α ˉ z − 1 z − α ⋯ [ 1 ] とおく.
このとき,
( α ˉ z − 1 ) w = λ ( z − α ) (\bar\alpha z-1)w = \lambda (z-\alpha ) ( α ˉ z − 1 ) w = λ ( z − α ) から,
( α ˉ w − λ ) z = w − α λ (\bar\alpha w-\lambda )z = w-\alpha\lambda ( α ˉ w − λ ) z = w − α λ となる.
ここで, 仮に
α ˉ w − λ = 0 \bar\alpha w-\lambda = 0 α ˉ w − λ = 0 とすると,
w = λ α ˉ w = \dfrac{\lambda}{\bar\alpha} w = α ˉ λ から
0 = λ α ˉ − α λ = λ α ˉ ( 1 − ∣ α ∣ 2 ) 0 = \dfrac{\lambda}{\bar\alpha}-\alpha\lambda = \dfrac{\lambda}{\bar\alpha}(1-|\alpha |^2) 0 = α ˉ λ − α λ = α ˉ λ ( 1 − ∣ α ∣ 2 ) となり,
∣ α ∣ 2 = 1 |\alpha |^2 = 1 ∣ α ∣ 2 = 1 つまり
∣ α ∣ = 1 |\alpha | = 1 ∣ α ∣ = 1 となってしまう.
よって,
α ˉ w − λ ≠ 0 \bar\alpha w-\lambda \neq 0 α ˉ w − λ = 0 であり,
z = w − α λ α ˉ w − λ z = \dfrac{w-\alpha\lambda}{\bar\alpha w-\lambda} z = α ˉ w − λ w − α λ であるから,
∣ z ∣ ≦ 1 ⟺ ∣ z ∣ 2 ≦ 1 ⟺ ∣ w − α λ α ˉ w − λ ∣ 2 ≦ 1 ⟺ ∣ w − α λ ∣ 2 ≦ ∣ α ˉ w − λ ∣ 2 ⟺ ( w − α λ ) ( w ˉ − α ˉ λ ˉ ) ≦ ( α ˉ w − λ ) ( α w ˉ − λ ˉ ) ⟺ ∣ w ∣ 2 − α ˉ λ ˉ w − α λ w ˉ + ∣ α ∣ 2 ≦ ∣ α ∣ 2 ∣ w ∣ 2 − α ˉ λ ˉ w − α λ w ˉ + 1 ( ∵ ∣ λ ∣ = 1 ) ⟺ ( 1 − ∣ α ∣ 2 ) ∣ w ∣ 2 ≦ 1 − ∣ α ∣ 2 ⟺ ∣ w ∣ 2 ≦ 1 ( ∵ ∣ α ∣ < 1 ) ⟺ ∣ w ∣ ≦ 1 \begin{aligned}
&|z| \leqq 1 \iff |z|^2 \leqq 1 \\
&\iff \left|\frac{w-\alpha\lambda}{\bar\alpha w-\lambda}\right| ^2 \leqq 1 \\
&\iff |w-\alpha\lambda |^2 \leqq |\bar\alpha w-\lambda |^2 \\
&\iff (w-\alpha\lambda )(\bar w-\bar\alpha\bar\lambda ) \leqq (\bar\alpha w-\lambda )(\alpha\bar w-\bar\lambda ) \\
&\iff |w|^2-\bar\alpha\bar\lambda w-\alpha\lambda\bar w+|\alpha |^2 \\
&\qquad\quad \leqq |\alpha |^2|w|^2-\bar\alpha\bar\lambda w-\alpha\lambda\bar w+1 \quad (\because |\lambda | = 1) \\
&\iff (1-|\alpha |^2)|w|^2 \leqq 1-|\alpha |^2 \\
&\iff |w|^2 \leqq 1 \quad (\because |\alpha | < 1) \\
&\iff |w| \leqq 1
\end{aligned} ∣ z ∣ ≦ 1 ⟺ ∣ z ∣ 2 ≦ 1 ⟺ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ α ˉ w − λ w − α λ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 2 ≦ 1 ⟺ ∣ w − α λ ∣ 2 ≦ ∣ α ˉ w − λ ∣ 2 ⟺ ( w − α λ ) ( w ˉ − α ˉ λ ˉ ) ≦ ( α ˉ w − λ ) ( α w ˉ − λ ˉ ) ⟺ ∣ w ∣ 2 − α ˉ λ ˉ w − α λ w ˉ + ∣ α ∣ 2 ≦ ∣ α ∣ 2 ∣ w ∣ 2 − α ˉ λ ˉ w − α λ w ˉ + 1 ( ∵ ∣ λ ∣ = 1 ) ⟺ ( 1 − ∣ α ∣ 2 ) ∣ w ∣ 2 ≦ 1 − ∣ α ∣ 2 ⟺ ∣ w ∣ 2 ≦ 1 ( ∵ ∣ α ∣ < 1 ) ⟺ ∣ w ∣ ≦ 1
が成り立つ.
ゆえに,
[ 1 ] [1] [ 1 ] は単位円
∣ z ∣ ≦ 1 |z| \leqq 1 ∣ z ∣ ≦ 1 を単位円
∣ w ∣ ≦ 1 |w| \leqq 1 ∣ w ∣ ≦ 1 にうつす.
参考
α δ − β γ ≠ 0 , \alpha\delta -\beta\gamma \neq 0, α δ − β γ = 0 , ( γ , δ ) ≠ ( 0 , 0 ) (\gamma,\delta ) \neq (0,0) ( γ , δ ) = ( 0 , 0 ) α , \alpha, α , β , \beta, β , γ , \gamma, γ , δ \delta δ w = α z + β γ z + δ ⋯ [ ∗ ] w = \dfrac{\alpha z+\beta}{\gamma z+\delta} \quad \cdots [*] w = γ z + δ α z + β ⋯ [ ∗ ] 「1 1 1 または「メビウス変換」 と呼ばれる.
(i) γ ≠ 0 \gamma \neq 0 γ = 0 [ ∗ ] [*] [ ∗ ] w = α γ + β γ − α δ γ 2 z + δ γ w = \frac{\alpha}{\gamma}+\frac{\dfrac{\beta\gamma -\alpha\delta}{\gamma ^2}}{z+\dfrac{\delta}{\gamma}} w = γ α + z + γ δ γ 2 β γ − α δ (ii) γ = 0 \gamma = 0 γ = 0 [ ∗ ] [*] [ ∗ ] w = α δ ( z + β α ) w = \frac{\alpha}{\delta}\left( z+\frac{\beta}{\alpha}\right) w = δ α ( z + α β )
平行移動, 回転移動, 相似変換は円周を円周にうつし, 前問で見たように「反転」は円周を円周または直線にうつすから, (i), (ii) いずれの場合にも「1 1 1 「円円対応」 と呼ばれる.
複素数平面上の点
z z z が実軸の上方 (実軸上の点は含まない) を動くとき, 点
w = z − i z + i w = \dfrac{z-i}{z+i} w = z + i z − i が動く範囲を求めよ.
2019 / 09 / 13 2019/09/13 2 0 1 9 / 0 9 / 1 3 2022 / 06 / 09 2022/06/09 2 0 2 2 / 0 6 / 0 9 解答例
実軸は
2 2 2 点
i , i, i , − i -i − i を結ぶ線分の垂直二等分線
∣ z − i ∣ = ∣ z + i ∣ |z-i| = |z+i| ∣ z − i ∣ = ∣ z + i ∣ と一致する.
よって,
w = z − i z + i w = \dfrac{z-i}{z+i} w = z + i z − i であるとき,
点 z z z ⟺ \iff ⟺ ∣ z − i ∣ < ∣ z + i ∣ |z-i| < |z+i| ∣ z − i ∣ < ∣ z + i ∣ ⟺ \iff ⟺ ∣ z − i z + i ∣ < 1 \left|\dfrac{z-i}{z+i}\right| < 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ z + i z − i ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ < 1 ⟺ \iff ⟺ ∣ w ∣ < 1 |w| < 1 ∣ w ∣ < 1
が成り立つから, 複素数平面上の点
z z z が実軸の上方を動くとき, 点
w w w が動く範囲は単位円の内部 (周上の点は含まない) である.
参考
「変換」
f ( z ) = z − i z + i f(z) = \dfrac{z-i}{z+i} f ( z ) = z + i z − i は
「ケイリー変換」 (Cayley transformation) と呼ばれ,「複素解析学」で重要な役割を果たす.
相異なる複素数
z 1 , z_1, z 1 , z 2 , z_2, z 2 , z 3 , z_3, z 3 , z 4 z_4 z 4 に対して, 比
( z 3 − z 1 ) ( z 4 − z 2 ) ( z 3 − z 2 ) ( z 4 − z 1 ) \frac{(z_3-z_1)(z_4-z_2)}{(z_3-z_2)(z_4-z_1)} ( z 3 − z 2 ) ( z 4 − z 1 ) ( z 3 − z 1 ) ( z 4 − z 2 )
を
( z 1 , z 2 ; z 3 , z 4 ) (z_1,z_2;z_3,z_4) ( z 1 , z 2 ; z 3 , z 4 ) で表す.
次のことを示せ.
(1) f ( z ) = k ( z − α ) f(z) = k(z-\alpha ) f ( z ) = k ( z − α ) k k k 0 0 0 α \alpha α ( f ( z 1 ) , f ( z 2 ) ; f ( z 3 ) , f ( z 4 ) ) = ( z 1 , z 2 ; z 3 , z 4 ) (f(z_1),f(z_2);f(z_3),f(z_4)) = (z_1,z_2;z_3,z_4) ( f ( z 1 ) , f ( z 2 ) ; f ( z 3 ) , f ( z 4 ) ) = ( z 1 , z 2 ; z 3 , z 4 ) (2) 複素数平面において, 点 z 1 , z_1, z 1 , z 2 , z_2, z 2 , z 3 z_3 z 3 z 4 z_4 z 4 ( z 1 , z 2 ; z 3 , z 4 ) (z_1,z_2;z_3,z_4) ( z 1 , z 2 ; z 3 , z 4 ) (3) 複素数平面において, 点 z 1 , z_1, z 1 , z 2 , z_2, z 2 , z 3 z_3 z 3 C C C z 4 z_4 z 4 C C C ( z 1 , z 2 ; z 3 , z 4 ) (z_1,z_2;z_3,z_4) ( z 1 , z 2 ; z 3 , z 4 )
2023 / 07 / 12 2023/07/12 2 0 2 3 / 0 7 / 1 2 2023 / 08 / 03 2023/08/03 2 0 2 3 / 0 8 / 0 3 解答例
(1) f ( z ) = k ( z − α ) f(z) = k(z-\alpha ) f ( z ) = k ( z − α ) ( f ( z 1 ) , f ( z 2 ) ; f ( z 3 ) , f ( z 4 ) ) = { f ( z 3 ) − f ( z 1 ) } { f ( z 4 ) − f ( z 2 ) } { f ( z 3 ) − f ( z 2 ) } { f ( z 4 ) − f ( z 1 ) } = { k ( z 3 − α ) − k ( z 1 − α ) } { k ( z 4 − α ) − k ( z 2 − α ) } { k ( z 3 − α ) − k ( z 2 − α ) } { k ( z 4 − α ) − k ( z 1 − α ) } = k 2 ( z 3 − z 1 ) ( z 4 − z 2 ) k 2 ( z 3 − z 2 ) ( z 4 − z 1 ) = ( z 3 − z 1 ) ( z 4 − z 2 ) ( z 3 − z 2 ) ( z 4 − z 1 ) = ( z 1 , z 2 ; z 3 , z 4 ) \begin{aligned}
&(f(z_1),f(z_2);f(z_3),f(z_4)) \\
&= \frac{\{ f(z_3)-f(z_1)\}\{ f(z_4)-f(z_2)\}}{\{ f(z_3)-f(z_2)\}\{ f(z_4)-f(z_1)\}} \\
&= \frac{\{ k(z_3-\alpha )-k(z_1-\alpha )\}\{ k(z_4-\alpha )-k(z_2-\alpha )\}}{\{ k(z_3-\alpha )-k(z_2-\alpha )\}\{ k(z_4-\alpha )-k(z_1-\alpha )\}} \\
&= \frac{k^2(z_3-z_1)(z_4-z_2)}{k^2(z_3-z_2)(z_4-z_1)} = \frac{(z_3-z_1)(z_4-z_2)}{(z_3-z_2)(z_4-z_1)} \\
&= (z_1,z_2;z_3,z_4)
\end{aligned} ( f ( z 1 ) , f ( z 2 ) ; f ( z 3 ) , f ( z 4 ) ) = { f ( z 3 ) − f ( z 2 ) } { f ( z 4 ) − f ( z 1 ) } { f ( z 3 ) − f ( z 1 ) } { f ( z 4 ) − f ( z 2 ) } = { k ( z 3 − α ) − k ( z 2 − α ) } { k ( z 4 − α ) − k ( z 1 − α ) } { k ( z 3 − α ) − k ( z 1 − α ) } { k ( z 4 − α ) − k ( z 2 − α ) } = k 2 ( z 3 − z 2 ) ( z 4 − z 1 ) k 2 ( z 3 − z 1 ) ( z 4 − z 2 ) = ( z 3 − z 2 ) ( z 4 − z 1 ) ( z 3 − z 1 ) ( z 4 − z 2 ) = ( z 1 , z 2 ; z 3 , z 4 ) (2) 点 z 1 , z_1, z 1 , z 2 , z_2, z 2 , z 3 z_3 z 3 k k k ( 1 ≦ k ≦ 3 ) (1 \leqq k \leqq 3) ( 1 ≦ k ≦ 3 ) z k z k ‾ = ∣ z k ∣ 2 = 1 z_k\overline{z_k} = |z_k|^2 = 1 z k z k = ∣ z k ∣ 2 = 1 z k ‾ = z k − 1 ⋯ [ 1 ] \overline{z_k} = z_k{}^{-1} \quad \cdots [1] z k = z k − 1 ⋯ [ 1 ]
(i) 点 z 4 z_4 z 4 k = 4 k = 4 k = 4 [ 1 ] [1] [ 1 ] ( z 1 , z 2 ; z 3 , z 4 ) ‾ = ( z 3 − z 1 ) ( z 4 − z 2 ) ( z 3 − z 2 ) ( z 4 − z 1 ) ‾ = ( z 3 ‾ − z 1 ‾ ) ( z 4 ‾ − z 2 ‾ ) ( z 3 ‾ − z 2 ‾ ) ( z 4 ‾ − z 1 ‾ ) = ( z 3 − 1 − z 1 − 1 ) ( z 4 − 1 − z 2 − 1 ) ( z 3 − 1 − z 2 − 1 ) ( z 4 − 1 − z 1 − 1 ) = ( z 1 − z 3 ) ( z 2 − z 4 ) ( z 2 − z 3 ) ( z 1 − z 4 ) = ( z 3 − z 1 ) ( z 4 − z 2 ) ( z 3 − z 2 ) ( z 4 − z 1 ) = ( z 1 , z 2 ; z 3 , z 4 ) \begin{aligned}
\overline{(z_1,z_2;z_3,z_4)} &= \overline{\ \frac{(z_3-z_1)(z_4-z_2)}{(z_3-z_2)(z_4-z_1)}\ } \\
&= \frac{(\overline{z_3}-\overline{z_1})(\overline{z_4}-\overline{z_2})}{(\overline{z_3}-\overline{z_2})(\overline{z_4}-\overline{z_1})} \\
&= \frac{(z_3{}^{-1}-z_1{}^{-1})(z_4{}^{-1}-z_2{}^{-1})}{(z_3{}^{-1}-z_2{}^{-1})(z_4{}^{-1}-z_1{}^{-1})} \\
&= \frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_2-z_3)(z_1-z_4)} \\
&= \frac{(z_3-z_1)(z_4-z_2)}{(z_3-z_2)(z_4-z_1)} \\
&= (z_1,z_2;z_3,z_4)
\end{aligned} ( z 1 , z 2 ; z 3 , z 4 ) = ( z 3 − z 2 ) ( z 4 − z 1 ) ( z 3 − z 1 ) ( z 4 − z 2 ) = ( z 3 − z 2 ) ( z 4 − z 1 ) ( z 3 − z 1 ) ( z 4 − z 2 ) = ( z 3 − 1 − z 2 − 1 ) ( z 4 − 1 − z 1 − 1 ) ( z 3 − 1 − z 1 − 1 ) ( z 4 − 1 − z 2 − 1 ) = ( z 2 − z 3 ) ( z 1 − z 4 ) ( z 1 − z 3 ) ( z 2 − z 4 ) = ( z 3 − z 2 ) ( z 4 − z 1 ) ( z 3 − z 1 ) ( z 4 − z 2 ) = ( z 1 , z 2 ; z 3 , z 4 ) ( z 1 , z 2 ; z 3 , z 4 ) (z_1,z_2;z_3,z_4) ( z 1 , z 2 ; z 3 , z 4 ) (ii) ( z 1 , z 2 ; z 3 , z 4 ) (z_1,z_2;z_3,z_4) ( z 1 , z 2 ; z 3 , z 4 ) ( z 1 , z 2 ; z 3 , z 4 ) = ( z 1 , z 2 ; z 3 , z 4 ) ‾ (z_1,z_2;z_3,z_4) = \overline{(z_1,z_2;z_3,z_4)} ( z 1 , z 2 ; z 3 , z 4 ) = ( z 1 , z 2 ; z 3 , z 4 ) ( z 3 − z 1 ) ( z 4 − z 2 ) ( z 3 − z 2 ) ( z 4 − z 1 ) = ( z 3 − z 1 ) ( z 4 − z 2 ) ( z 3 − z 2 ) ( z 4 − z 1 ) ‾ = ( z 3 ‾ − z 1 ‾ ) ( z 4 ‾ − z 2 ‾ ) ( z 3 ‾ − z 2 ‾ ) ( z 4 ‾ − z 1 ‾ ) = ( z 3 − 1 − z 1 − 1 ) ( z 4 ‾ − z 2 − 1 ) ( z 3 − 1 − z 2 − 1 ) ( z 4 ‾ − z 1 − 1 ) = ( z 1 − z 3 ) ( z 2 z 4 ‾ − 1 ) ( z 2 − z 3 ) ( z 1 z 4 ‾ − 1 ) \begin{aligned}
\frac{(z_3-z_1)(z_4-z_2)}{(z_3-z_2)(z_4-z_1)} &= \overline{\ \frac{(z_3-z_1)(z_4-z_2)}{(z_3-z_2)(z_4-z_1)}\ } \\
&= \frac{(\overline{z_3}-\overline{z_1})(\overline{z_4}-\overline{z_2})}{(\overline{z_3}-\overline{z_2})(\overline{z_4}-\overline{z_1})} \\
&= \frac{(z_3{}^{-1}-z_1{}^{-1})(\overline{z_4}-z_2{}^{-1})}{(z_3{}^{-1}-z_2{}^{-1})(\overline{z_4}-z_1{}^{-1})} \\
&= \frac{(z_1-z_3)(z_2\overline{z_4}-1)}{(z_2-z_3)(z_1\overline{z_4}-1)}
\end{aligned} ( z 3 − z 2 ) ( z 4 − z 1 ) ( z 3 − z 1 ) ( z 4 − z 2 ) = ( z 3 − z 2 ) ( z 4 − z 1 ) ( z 3 − z 1 ) ( z 4 − z 2 ) = ( z 3 − z 2 ) ( z 4 − z 1 ) ( z 3 − z 1 ) ( z 4 − z 2 ) = ( z 3 − 1 − z 2 − 1 ) ( z 4 − z 1 − 1 ) ( z 3 − 1 − z 1 − 1 ) ( z 4 − z 2 − 1 ) = ( z 2 − z 3 ) ( z 1 z 4 − 1 ) ( z 1 − z 3 ) ( z 2 z 4 − 1 ) z 4 − z 2 z 4 − z 1 = z 2 z 4 ‾ − 1 z 1 z 4 ‾ − 1 ( z 4 − z 2 ) ( z 1 z 4 ‾ − 1 ) = ( z 4 − z 1 ) ( z 2 z 4 ‾ − 1 ) \begin{aligned}
\frac{z_4-z_2}{z_4-z_1} &= \frac{z_2\overline{z_4}-1}{z_1\overline{z_4}-1} \\
(z_4-z_2)(z_1\overline{z_4}-1) &= (z_4-z_1)(z_2\overline{z_4}-1)
\end{aligned} z 4 − z 1 z 4 − z 2 ( z 4 − z 2 ) ( z 1 z 4 − 1 ) = z 1 z 4 − 1 z 2 z 4 − 1 = ( z 4 − z 1 ) ( z 2 z 4 − 1 ) ( z 1 − z 2 ) ( ∣ z 4 ∣ 2 − 1 ) = 0 (z_1-z_2)(|z_4|^2-1) = 0 ( z 1 − z 2 ) ( ∣ z 4 ∣ 2 − 1 ) = 0 ∣ z 4 ∣ 2 = 1 |z_4|^2 = 1 ∣ z 4 ∣ 2 = 1 ∣ z 4 ∣ = 1 |z_4| = 1 ∣ z 4 ∣ = 1 z 4 z_4 z 4
(i), (ii) から, 点 z 4 z_4 z 4 ( z 1 , z 2 ; z 3 , z 4 ) (z_1,z_2;z_3,z_4) ( z 1 , z 2 ; z 3 , z 4 ) (3) C C C α \alpha α r r r f ( z ) = 1 r ( z − α ) f(z) = \dfrac{1}{r}(z-\alpha ) f ( z ) = r 1 ( z − α ) z z z C C C f ( z ) f(z) f ( z ) C 0 C_0 C 0 ( f ( z 1 ) , f ( z 2 ) ; f ( z 3 ) , f ( z 4 ) ) = ( z 1 , z 2 ; z 3 , z 4 ) (f(z_1),f(z_2);f(z_3),f(z_4)) = (z_1,z_2;z_3,z_4) ( f ( z 1 ) , f ( z 2 ) ; f ( z 3 ) , f ( z 4 ) ) = ( z 1 , z 2 ; z 3 , z 4 )
z 4 ∈ C z_4 \in C z 4 ∈ C ⟺ \iff ⟺ f ( z 4 ) ∈ C 0 f(z_4) \in C_0 f ( z 4 ) ∈ C 0 ⟺ \iff ⟺ ( f ( z 1 ) , f ( z 2 ) ; f ( z 3 ) , f ( z 4 ) ) (f(z_1),f(z_2);f(z_3),f(z_4)) ( f ( z 1 ) , f ( z 2 ) ; f ( z 3 ) , f ( z 4 ) ) ( ∵ ( 2 ) ) (\because (2)) ( ∵ ( 2 ) ) ⟺ \iff ⟺ ( z 1 , z 2 ; z 3 , z 4 ) (z_1,z_2;z_3,z_4) ( z 1 , z 2 ; z 3 , z 4 )
参考
複素数平面上の相異なる 4 4 4 z 1 , z_1, z 1 , z 2 , z_2, z 2 , z 3 , z_3, z 3 , z 4 z_4 z 4 ( z 3 − z 1 ) ( z 4 − z 2 ) ( z 3 − z 2 ) ( z 4 − z 1 ) \frac{(z_3-z_1)(z_4-z_2)}{(z_3-z_2)(z_4-z_1)} ( z 3 − z 2 ) ( z 4 − z 1 ) ( z 3 − z 1 ) ( z 4 − z 2 ) 「複比」 または「非調和比」 (cross ratio) と呼び, ( z 1 , z 2 ; z 3 , z 4 ) (z_1,z_2;z_3,z_4) ( z 1 , z 2 ; z 3 , z 4 ) 「複比」は, 平行移動, 回転移動や相似変換, 変換 f ( z ) = 1 z f(z) = \dfrac{1}{z} f ( z ) = z 1 1 1 1 こちら を参照),「複比」は「1 1 1 f ( z ) = 1 z f(z) = \dfrac{1}{z} f ( z ) = z 1
a , a, a , r r r を正の数とする.
点
z z z が原点を中心とする半径
r r r の円周上を動くとき,
w = z + a 2 z w = z+\dfrac{a^2}{z} w = z + z a 2 を満たす点
w w w の軌跡を,
(i)
a = r a = r a = r のとき (ii)
a ≠ r a \neq r a = r のとき
の
2 2 2 つの場合に分けて求めよ.
2019 / 05 / 02 2019/05/02 2 0 1 9 / 0 5 / 0 2 2022 / 06 / 09 2022/06/09 2 0 2 2 / 0 6 / 0 9 解答例
z = r ( cos θ + i sin θ ) z = r(\cos\theta +i\sin\theta ) z = r ( cos θ + i sin θ ) ( r > 0 , 0 ≦ θ < 2 π ) (r > 0,\ 0 \leqq \theta < 2\pi ) ( r > 0 , 0 ≦ θ < 2 π ) とおく.
このとき,
w = z + a 2 z = r ( cos θ + i sin θ ) + a 2 r ( cos θ − i sin θ ) = ( r + a 2 r ) cos θ + i ( r − a 2 r ) sin θ = r 2 + a 2 r cos θ + i r 2 − a 2 r sin θ ⋯ [ 1 ] \begin{aligned}
w &= z+\frac{a^2}{z} = r(\cos\theta +i\sin\theta )+\frac{a^2}{r}(\cos\theta -i\sin\theta ) \\
&= \left( r+\frac{a^2}{r}\right)\cos\theta +i\left( r-\frac{a^2}{r}\right)\sin\theta \\
&= \frac{r^2+a^2}{r}\cos\theta +i\frac{r^2-a^2}{r}\sin\theta \quad \cdots [1]
\end{aligned} w = z + z a 2 = r ( cos θ + i sin θ ) + r a 2 ( cos θ − i sin θ ) = ( r + r a 2 ) cos θ + i ( r − r a 2 ) sin θ = r r 2 + a 2 cos θ + i r r 2 − a 2 sin θ ⋯ [ 1 ]
となる.
(i) a = r a = r a = r [ 1 ] ⟺ w = 2 a cos θ [1] \iff w = 2a\cos\theta [ 1 ] ⟺ w = 2 a cos θ w w w − 1 ≦ cos θ ≦ 1 -1 \leqq \cos\theta \leqq 1 − 1 ≦ cos θ ≦ 1 − 2 a ≦ w ≦ 2 a -2a \leqq w \leqq 2a − 2 a ≦ w ≦ 2 a w w w 2 2 2 − 2 a , -2a, − 2 a , 2 a 2a 2 a (ii) a ≠ r a \neq r a = r w = x + y i w = x+yi w = x + y i x , x, x , y y y [ 1 ] [1] [ 1 ] x = r 2 + a 2 r cos θ , y = r 2 − a 2 r sin θ x = \frac{r^2+a^2}{r}\cos\theta, \quad y = \frac{r^2-a^2}{r}\sin\theta x = r r 2 + a 2 cos θ , y = r r 2 − a 2 sin θ cos 2 θ + sin 2 θ = 1 \cos ^2\theta +\sin ^2\theta = 1 cos 2 θ + sin 2 θ = 1 θ \theta θ [ 1 ] ⟺ x 2 ( r 2 + a 2 r ) 2 + y 2 ( r 2 − a 2 r ) 2 = 1 [1] \iff \frac{x^2}{\left(\dfrac{r^2+a^2}{r}\right) ^2}+\frac{y^2}{\left(\dfrac{r^2-a^2}{r}\right) ^2} = 1 [ 1 ] ⟺ ( r r 2 + a 2 ) 2 x 2 + ( r r 2 − a 2 ) 2 y 2 = 1 w w w ( ± ( r 2 + a 2 r ) 2 − ( r 2 − a 2 r ) 2 , 0 ) \left(\pm\sqrt{\left(\dfrac{r^2+a^2}{r}\right) ^2-\left(\dfrac{r^2-a^2}{r}\right) ^2},0\right) ⎝ ⎛ ± ( r r 2 + a 2 ) 2 − ( r r 2 − a 2 ) 2 , 0 ⎠ ⎞ ( ± 2 a , 0 ) (\pm 2a,0) ( ± 2 a , 0 )
2 ( r 2 + a 2 ) r , \dfrac{2(r^2+a^2)}{r}, r 2 ( r 2 + a 2 ) , 2 ∣ r 2 − a 2 ∣ r \dfrac{2|r^2-a^2|}{r} r 2 ∣ r 2 − a 2 ∣
参考
w = z + a 2 z w = z+\dfrac{a^2}{z} w = z + z a 2 (
a a a : 正の定数) の形の関係式によって
z z z を
w w w に対応させる複素数平面上の「変換」を
「ジューコフスキー変換」 (Joukowski transformation, Zhukovsky —) と呼ぶ.
この「変換」は流体力学において翼の揚力に関する理論に応用されており, 飛行機の翼の設計に役立てられている.
例えば, 中心が原点から少し離れた円周は「ジューコフスキー変換」
w = z + 1 z w = z+\dfrac{1}{z} w = z + z 1 によって, 図のような曲線に「変換」される.
