(1)

複素数平面上の点 $\mathrm P(z)$ に対して

点 $\mathrm P$ が線分 $\mathrm{OA}$ の垂直二等分線上にある $\iff$ $\mathrm{OP} = \mathrm{AP}$

$\iff$ $|z| = |z-\alpha |$ $\iff$ $|z|^2 = | z-\alpha |^2$

$\iff$ $z\bar z = (z-\alpha )\overline{(z-\alpha )}$

$\iff$ $z\bar z = (z-\alpha )(\bar z-\bar\alpha )$

$\iff$ $z\bar z = z\bar z-\bar\alpha z-\alpha\bar z+\alpha\bar\alpha$

$\iff$ $\bar\alpha z+\alpha\bar z = \alpha\bar\alpha$ $\iff$ $\dfrac{z}{\alpha}+\dfrac{\bar z}{\bar\alpha} = 1$

であるから, 線分 $\mathrm{OA}$ の垂直二等分線は方程式 $\dfrac{z}{\alpha}+\dfrac{\bar z}{\bar \alpha} = 1$ で表される.

(2)

①

点 $\mathrm Q$ は半直線 $\mathrm{OP}$ 上にあるから, $0$ 以上のある実数 $k$ に対して $z = kw$ となる. $\mathrm{OP}\cdot\mathrm{OQ} = 1$ から \[ 1 = |z||w| = |kw||w| = k|w|^2\] であるので, $k = \dfrac{1}{|w|^2}$ が成り立つ. よって, \[ z = \frac{1}{|w|^2}w = \frac{w}{w\bar w} = \frac{1}{\bar w} \quad \cdots [\text A]\] が成り立つ.

②

$|z-\alpha | = r$ に $[\text A]$ を代入すると \[\left|\frac{1}{\bar w}-\alpha\right| = r\] となるから, \[\begin{aligned} r^2 &= \left|\frac{1}{\bar w}-\alpha\right| ^2 = \left(\frac{1}{\bar w}-\alpha\right)\overline{\left(\frac{1}{\bar w}-\alpha\right)} \\ &= \left(\frac{1}{\bar w}-\alpha\right)\left(\frac{1}{w}-\bar\alpha\right) \\ &= \frac{1}{\bar ww}-\frac{\bar\alpha}{\bar w}-\frac{\alpha}{w}+|\alpha |^2 \end{aligned}\] となる. 両辺に $w\bar w$ を掛けて整理すると, \[ (|\alpha |^2-r^2)w\bar w-\bar\alpha w-\alpha\bar w+1 = 0 \quad \cdots [\text B]\] となる.

(i)

$|\alpha | = r$ の場合. \[ [\text B] \iff \bar\alpha w+\alpha\bar w = 1\] となるから, (1) の結果により, 点 $\mathrm Q$ の軌跡は $2$ 点 $0,$ $\bar\alpha ^{-1}$ を結ぶ線分の垂直二等分線である. よって, 点 $\mathrm Q$ は原点を通らない直線を描く.

(ii)

$|\alpha | \neq r$ の場合. $d = |\alpha |^2-r^2$ とおくと \[\begin{aligned} [\text B] &\iff w\bar w-\frac{\bar\alpha}{d}w-\frac{\alpha}{d}\bar w+\frac{\alpha\bar\alpha}{d^2} = \frac{|\alpha |^2}{d^2}-\frac{1}{d} \\ &\iff \left( w-\frac{\alpha}{d}\right)\left(\bar w-\frac{\bar\alpha}{d}\right) = \frac{r^2}{d^2} \\ &\iff \left( w-\frac{\alpha}{d}\right)\overline{\left( w-\frac{\alpha}{d}\right)} = \frac{r^2}{d^2} \\ &\iff \left| w-\frac{\alpha}{d}\right| ^2 = \frac{r^2}{d^2} \\ &\iff \left| w-\frac{\alpha}{d}\right| = \frac{r}{|d|} \end{aligned}\] となるから, 点 $\mathrm Q$ の軌跡は点 $\dfrac{\alpha}{|\alpha |^2-r^2}$ を中心とする半径 $\dfrac{r}{||\alpha |^2-r^2|}$ の円周である. よって, 点 $\mathrm Q$ は原点を通らない円周を描く.

　$w = \lambda\dfrac{z-\alpha}{\bar\alpha z-1}\ \cdots [1]$ とおく. このとき, $(\bar\alpha z-1)w = \lambda (z-\alpha )$ から, $(\bar\alpha w-\lambda )z = w-\alpha\lambda$ となる.
　ここで, 仮に $\bar\alpha w-\lambda = 0$ とすると, $w = \dfrac{\lambda}{\bar\alpha}$ から $0 = \dfrac{\lambda}{\bar\alpha}-\alpha\lambda = \dfrac{\lambda}{\bar\alpha}(1-|\alpha |^2)$ となり, $|\alpha |^2 = 1$ つまり $|\alpha | = 1$ となってしまう.
　よって, $\bar\alpha w-\lambda \neq 0$ であり, $z = \dfrac{w-\alpha\lambda}{\bar\alpha w-\lambda}$ であるから, \[\begin{aligned} &|z| \leqq 1 \iff |z|^2 \leqq 1 \\ &\iff \left|\frac{w-\alpha\lambda}{\bar\alpha w-\lambda}\right| ^2 \leqq 1 \\ &\iff |w-\alpha\lambda |^2 \leqq |\bar\alpha w-\lambda |^2 \\ &\iff (w-\alpha\lambda )(\bar w-\bar\alpha\bar\lambda ) \leqq (\bar\alpha w-\lambda )(\alpha\bar w-\bar\lambda ) \\ &\iff |w|^2-\bar\alpha\bar\lambda w-\alpha\lambda\bar w+|\alpha |^2 \\ &\qquad\quad \leqq |\alpha |^2|w|^2-\bar\alpha\bar\lambda w-\alpha\lambda\bar w+1 \quad (\because |\lambda | = 1) \\ &\iff (1-|\alpha |^2)|w|^2 \leqq 1-|\alpha |^2 \\ &\iff |w|^2 \leqq 1 \quad (\because |\alpha | < 1) \\ &\iff |w| \leqq 1 \end{aligned}\] が成り立つ. ゆえに, $[1]$ は単位円 $|z| \leqq 1$ を単位円 $|w| \leqq 1$ にうつす.

　実軸は $2$ 点 $i,$ $-i$ を結ぶ線分の垂直二等分線 $|z-i| = |z+i|$ と一致する. よって, $w = \dfrac{z-i}{z+i}$ であるとき, が成り立つから, 複素数平面上の点 $z$ が実軸の上方を動くとき, 点 $w$ が動く範囲は単位円の内部 (周上の点は含まない) である.

(1)

$f(z) = k(z-\alpha )$ のとき, \[\begin{aligned} &(f(z_1),f(z_2);f(z_3),f(z_4)) \\ &= \frac{\{ f(z_3)-f(z_1)\}\{ f(z_4)-f(z_2)\}}{\{ f(z_3)-f(z_2)\}\{ f(z_4)-f(z_1)\}} \\ &= \frac{\{ k(z_3-\alpha )-k(z_1-\alpha )\}\{ k(z_4-\alpha )-k(z_2-\alpha )\}}{\{ k(z_3-\alpha )-k(z_2-\alpha )\}\{ k(z_4-\alpha )-k(z_1-\alpha )\}} \\ &= \frac{k^2(z_3-z_1)(z_4-z_2)}{k^2(z_3-z_2)(z_4-z_1)} = \frac{(z_3-z_1)(z_4-z_2)}{(z_3-z_2)(z_4-z_1)} \\ &= (z_1,z_2;z_3,z_4) \end{aligned}\] が成り立つ.

(2)

点 $z_1,$ $z_2,$ $z_3$ が単位円周上にあるとする. このとき, 各番号 $k$ $(1 \leqq k \leqq 3)$ に対して, $z_k\overline{z_k} = |z_k|^2 = 1$ から, \[\overline{z_k} = z_k{}^{-1} \quad \cdots [1]\] が成り立つ.

(i)

点 $z_4$ が単位円周上にあるとする. このとき, $k = 4$ に対しても $[1]$ が成り立つ. よって, \[\begin{aligned} \overline{(z_1,z_2;z_3,z_4)} &= \overline{\ \frac{(z_3-z_1)(z_4-z_2)}{(z_3-z_2)(z_4-z_1)}\ } \\ &= \frac{(\overline{z_3}-\overline{z_1})(\overline{z_4}-\overline{z_2})}{(\overline{z_3}-\overline{z_2})(\overline{z_4}-\overline{z_1})} \\ &= \frac{(z_3{}^{-1}-z_1{}^{-1})(z_4{}^{-1}-z_2{}^{-1})}{(z_3{}^{-1}-z_2{}^{-1})(z_4{}^{-1}-z_1{}^{-1})} \\ &= \frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_2-z_3)(z_1-z_4)} \\ &= \frac{(z_3-z_1)(z_4-z_2)}{(z_3-z_2)(z_4-z_1)} \\ &= (z_1,z_2;z_3,z_4) \end{aligned}\] が成り立つから, $(z_1,z_2;z_3,z_4)$ は実数である.

(ii)

$(z_1,z_2;z_3,z_4)$ が実数であるとする. このとき, $(z_1,z_2;z_3,z_4) = \overline{(z_1,z_2;z_3,z_4)}$ から, \[\begin{aligned} \frac{(z_3-z_1)(z_4-z_2)}{(z_3-z_2)(z_4-z_1)} &= \overline{\ \frac{(z_3-z_1)(z_4-z_2)}{(z_3-z_2)(z_4-z_1)}\ } \\ &= \frac{(\overline{z_3}-\overline{z_1})(\overline{z_4}-\overline{z_2})}{(\overline{z_3}-\overline{z_2})(\overline{z_4}-\overline{z_1})} \\ &= \frac{(z_3{}^{-1}-z_1{}^{-1})(\overline{z_4}-z_2{}^{-1})}{(z_3{}^{-1}-z_2{}^{-1})(\overline{z_4}-z_1{}^{-1})} \\ &= \frac{(z_1-z_3)(z_2\overline{z_4}-1)}{(z_2-z_3)(z_1\overline{z_4}-1)} \end{aligned}\] よって \[\begin{aligned} \frac{z_4-z_2}{z_4-z_1} &= \frac{z_2\overline{z_4}-1}{z_1\overline{z_4}-1} \\ (z_4-z_2)(z_1\overline{z_4}-1) &= (z_4-z_1)(z_2\overline{z_4}-1) \end{aligned}\] が成り立つ. 展開して整理すると \[ (z_1-z_2)(|z_4|^2-1) = 0\] となるから, $|z_4|^2 = 1$ つまり $|z_4| = 1$ が成り立つ. これは点 $z_4$ が単位円周上にあることを意味する.

(i), (ii) から, 点 $z_4$ が単位円周上にあることと $(z_1,z_2;z_3,z_4)$ が実数であることは同値である.

(3)

$C$ が点 $\alpha$ を中心とする半径 $r$ の円周であるとし, \[ f(z) = \dfrac{1}{r}(z-\alpha )\] とおく. このとき, 点 $z$ が $C$ 上にあることと, 点 $f(z)$ が単位円周 $C_0$ 上にあることは同値である. また, (1) により \[ (f(z_1),f(z_2);f(z_3),f(z_4)) = (z_1,z_2;z_3,z_4)\] であるから,

$z_4 \in C$	$\iff$ $f(z_4) \in C_0$
	$\iff$ $(f(z_1),f(z_2);f(z_3),f(z_4))$ は実数　$(\because (2))$
	$\iff$ $(z_1,z_2;z_3,z_4)$ は実数

が成り立つ.

　$z = r(\cos\theta +i\sin\theta )$ $(r > 0,\ 0 \leqq \theta < 2\pi )$ とおく. このとき, \[\begin{aligned} w &= z+\frac{a^2}{z} = r(\cos\theta +i\sin\theta )+\frac{a^2}{r}(\cos\theta -i\sin\theta ) \\ &= \left( r+\frac{a^2}{r}\right)\cos\theta +i\left( r-\frac{a^2}{r}\right)\sin\theta \\ &= \frac{r^2+a^2}{r}\cos\theta +i\frac{r^2-a^2}{r}\sin\theta \quad \cdots [1] \end{aligned}\] となる.

(i)

$a = r$ のとき. \[ [1] \iff w = 2a\cos\theta\] から $w$ は実数であり, $-1 \leqq \cos\theta \leqq 1$ から $-2a \leqq w \leqq 2a$ であるので, 点 $w$ は $2$ 点 $-2a,$ $2a$ を結ぶ線分を描く.

(ii)

$a \neq r$ のとき. $w = x+yi$ ($x,$ $y$: 実数) とおく. このとき, $[1]$ から \[ x = \frac{r^2+a^2}{r}\cos\theta, \quad y = \frac{r^2-a^2}{r}\sin\theta\] となる. $\cos ^2\theta +\sin ^2\theta = 1$ を使って $\theta$ を消去すると, \[ [1] \iff \frac{x^2}{\left(\dfrac{r^2+a^2}{r}\right) ^2}+\frac{y^2}{\left(\dfrac{r^2-a^2}{r}\right) ^2} = 1\] となる. よって, 点 $w$ は

$\left(\pm\sqrt{\left(\dfrac{r^2+a^2}{r}\right) ^2-\left(\dfrac{r^2-a^2}{r}\right) ^2},0\right)$　つまり　$(\pm 2a,0)$

を焦点とする長軸の長さ $\dfrac{2(r^2+a^2)}{r},$ 短軸の長さ $\dfrac{2|r^2-a^2|}{r}$ の楕円の周を描く.