正三角形の五心
正三角形の五心
問題《重心・垂心・外心・内心が一致する三角形》
重心, 垂心, 外心, 内心のうち $2$ 個が一致する三角形は正三角形であることを示せ.
解答例
- $\triangle\mathrm{ABC}$ の重心 $\mathrm G,$ 垂心 $\mathrm H$ が一致するとき. 直線 $\mathrm{AG} = \mathrm{AH}$ と辺 $\mathrm{BC}$ の交点を $\mathrm D$ とおく. このとき, 線分 $\mathrm{AD}$ は中線であるから, \[\mathrm{BD} = \mathrm{CD}\] が成り立つ. また, 線分 $\mathrm{AD}$ は頂点 $\mathrm A$ から辺 $\mathrm{BC}$ に下ろした垂線であるから, \[\angle\mathrm{ADB} = \angle\mathrm{ADC} = 90^\circ\] が成り立つ. さらに, 辺 $\mathrm{AD}$ は共通であるから \[\triangle\mathrm{ABD} \equiv \triangle\mathrm{ACD}\] であり, $\mathrm{AB} = \mathrm{AC}$ が成り立つ. 同様に $\mathrm{BC} = \mathrm{BA}$ も成り立ち, \[\mathrm{AB} = \mathrm{BC} = \mathrm{CA}\] であるから, $\triangle\mathrm{ABC}$ は正三角形である.
- $\triangle\mathrm{ABC}$ の重心 $\mathrm G,$ 外心 $\mathrm O$ が一致するとき. 辺 $\mathrm{BC}$ の中点を $\mathrm D$ とおく. このとき, \[\mathrm{BD} = \mathrm{CD}\] が成り立つ. また, 線分 $\mathrm{BC}$ の垂直二等分線は点 $\mathrm D,$ $\mathrm O = \mathrm G$ を通り, よって頂点 $\mathrm A$ を通るから, \[\angle\mathrm{ADB} = \angle\mathrm{ADC} = 90^\circ\] が成り立つ. さらに, 辺 $\mathrm{AD}$ は共通であるから \[\triangle\mathrm{ABD} \equiv \triangle\mathrm{ACD}\] であり, $\mathrm{AB} = \mathrm{AC}$ が成り立つ. 同様に $\mathrm{BC} = \mathrm{BA}$ も成り立ち, \[\mathrm{AB} = \mathrm{BC} = \mathrm{CA}\] であるから, $\triangle\mathrm{ABC}$ は正三角形である.
- $\triangle\mathrm{ABC}$ の重心 $\mathrm G,$ 内心 $\mathrm I$ が一致するとき. 直線 $\mathrm{AG} = \mathrm{AI}$ と辺 $\mathrm{BC}$ の交点を $\mathrm D$ とおく. このとき, 線分 $\mathrm{AD}$ は中線であるから, \[\mathrm{BD} = \mathrm{CD}\] が成り立つ. また, 半直線 $\mathrm{AD}$ は $\angle\mathrm A$ の二等分線であるから, \[\mathrm{AB}:\mathrm{AC} = \mathrm{BD}:\mathrm{CD}\] が成り立つ. よって, $\mathrm{AB} = \mathrm{AC}$ が成り立つ. 同様に $\mathrm{BC} = \mathrm{BA}$ も成り立ち, \[\mathrm{AB} = \mathrm{BC} = \mathrm{CA}\] であるから, $\triangle\mathrm{ABC}$ は正三角形である.
- $\triangle\mathrm{ABC}$ の垂心 $\mathrm H,$ 外心 $\mathrm O$ が一致するとき. 辺 $\mathrm{BC}$ の中点を $\mathrm D$ とおく. このとき, \[\mathrm{BD} = \mathrm{CD}\] が成り立つ. また, 頂点 $\mathrm A$ から辺 $\mathrm{BC}$ に下ろした垂線と線分 $\mathrm{BC}$ の垂直二等分線は, 平行であり, 点 $\mathrm H = \mathrm O$ を通るから, 一致する. これらは点 $\mathrm D$ を通るから, \[\angle\mathrm{ADB} = \angle\mathrm{ADC} = 90^\circ\] が成り立つ. さらに, 辺 $\mathrm{AD}$ は共通であるから \[\triangle\mathrm{ABD} \equiv \triangle\mathrm{ACD}\] であり, $\mathrm{AB} = \mathrm{AC}$ が成り立つ. 同様に $\mathrm{BC} = \mathrm{BA}$ も成り立ち, \[\mathrm{AB} = \mathrm{BC} = \mathrm{CA}\] であるから, $\triangle\mathrm{ABC}$ は正三角形である.
- $\triangle\mathrm{ABC}$ の垂心 $\mathrm H,$ 内心 $\mathrm I$ が一致するとき. 直線 $\mathrm{AH} = \mathrm{AI}$ と辺 $\mathrm{BC}$ の交点を $\mathrm D$ とおく. このとき, \[\angle\mathrm{BAD} = \angle\mathrm{CAD}\] が成り立つ. 頂点 $\mathrm A$ から辺 $\mathrm{BC}$ に下ろした垂線と $\angle\mathrm A$ の二等分線は点 $\mathrm H = \mathrm I$ を通るから一致する. これらは点 $\mathrm D$ を通るから, \[\angle\mathrm{ADB} = \angle\mathrm{ADC} = 90^\circ\] が成り立つ. さらに, 辺 $\mathrm{AD}$ は共通であるから \[\triangle\mathrm{ABD} \equiv \triangle\mathrm{ACD}\] であり, $\mathrm{AB} = \mathrm{AC}$ が成り立つ. 同様に $\mathrm{BC} = \mathrm{BA}$ も成り立ち, \[\mathrm{AB} = \mathrm{BC} = \mathrm{CA}\] であるから, $\triangle\mathrm{ABC}$ は正三角形である.
- $\triangle\mathrm{ABC}$ の外心 $\mathrm O,$ 内心 $\mathrm I$ が一致するとき. \[\begin{aligned} \angle\mathrm B &= 2\angle\mathrm{IBC} = 2\angle\mathrm{OBC}, \\ \angle\mathrm C &= 2\angle\mathrm{ICB} = 2\angle\mathrm{OCB}, \\ \angle\mathrm{OBC} &= \angle\mathrm{OCB} \quad (\because\mathrm{OB} = \mathrm{OC}) \end{aligned}\] であるから, $\angle\mathrm B = \angle\mathrm C$ が成り立つ. 同様に $\angle\mathrm C = \angle\mathrm A$ も成り立ち, \[\angle\mathrm A = \angle\mathrm B = \angle\mathrm C\] であるから, $\triangle\mathrm{ABC}$ は正三角形である.