床を $x$ 軸 $(x \geqq 0)$, 壁を $y$ 軸 ($y \geqq 0$), 棒を長さ $1$ の線分として考える. 上端が壁に接したまま下端が床をすべりながら倒れたときの棒の通過範囲は $x$ 軸, $y$ 軸に接する長さ $1$ の線分の通過範囲に等しく, 下端を中心に回転して倒れたときの棒の通過範囲は半径 $1$ の四分円である.

(1)

まず, 線分の通過範囲を表す式を求める. 点 $(x,y)$ $(0 < x < 1,$ $0 < y < 1)$ が線分の通過範囲にあることは, \[ y = \sin\theta -x\tan\theta\] を満たす鋭角 $\theta$ の存在と同値である. ここで, \[\frac{dy}{d\theta} = \cos\theta -\frac{x}{\cos ^2\theta} = \frac{\cos ^3\theta -x}{\cos ^2\theta}\] であるから, $\cos ^3\alpha = x$ なる鋭角 $\alpha$ について, $y$ の増減は下表のようにまとめられる.

$\theta$	$0$	$\cdots$	$\alpha$	$\cdots$	$\dfrac{\pi}{2}$
$\dfrac{dy}{d\theta}$		$+$	$0$	$-$
$y$		$\nearrow$	極大	$\searrow$

また, \[\cos\alpha = x^{\frac{1}{3}}, \quad \sin\alpha = (1-x^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}\] であるから, $y$ は $\theta = \alpha$ のとき極大かつ最大の値 \[\begin{aligned} \sin\alpha -x\tan\alpha &= (1-x^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}-x\cdot\frac{(1-x^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{3}}} \\ &= (1-x^{\frac{2}{3}})(1-x^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}} \\ &= (1-x^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}} \end{aligned}\] をとる. よって, 線分の通過範囲は, \[ y \leqq (1-x^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}, \quad x \geqq 0, \quad y \geqq 0\] つまり \[ x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}} \leqq 1, \quad x \geqq 0, \quad y \geqq 0\] と表される.

(2)

線分の通過範囲の面積を求め, 面積比を求める. (1) の領域は, 曲線 \[ x = \cos ^3\theta, \quad y = \sin ^3\theta \quad \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}\right)\] と $x$ 軸, $y$ 軸で囲まれた部分に等しい. $\theta$ が $0$ から $\dfrac{\pi}{2}$ まで増加するとき, $x$ は $1$ から $0$ まで単調に減少する. $\dfrac{dx}{d\theta} = -3\cos ^2\theta\sin\theta$ であるから, 求める面積は \[\begin{aligned} \int_0^1y\,dx &= \int_{\frac{\pi}{2}}^0y\dfrac{dx}{d\theta}\,d\theta \\ &= \int_{\frac{\pi}{2}}^0\sin ^3\theta (-3\cos ^2\theta\sin\theta )\,d\theta \\ &= 3\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin ^4\theta\cos ^2\theta\,d\theta \\ &= 3\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin ^4\theta (1-\sin ^2\theta )\,d\theta \\ &= 3\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\sin ^4\theta -\sin ^6\theta )\,d\theta \\ &= 3\left(\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}-\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}\right) \\ &= \frac{3}{32}\pi \end{aligned}\] である. よって, 求める面積比は, \[\frac{3}{32}\pi\div\frac{\pi}{4} = \frac{3}{8}\] である.

　ひもの固定端を通る水平面が $xy$ 平面, 柱の断面が単位円となるように座標軸を定め, 固定端を点 $\mathrm A(-1,0)$ とする. はじめ, 長さ $\pi$ のひもが円周 $C:x^2+y^2 = 1$ 上に時計回りにたるみなく巻きつけられているとする. ヤギがひもをたるみなくほどいていくとき, ヤギの動点を $\mathrm P,$ ひものほどいた部分と $C$ の接点を $\mathrm T$ とおき, $\mathrm O(0,0),$ $\mathrm E(1,0)$ として $\theta = \angle\mathrm{EOT}$ $(0 \leqq \theta \leqq \pi )$ とおく.

(1)

まず, 点 $\mathrm P$ が描く曲線の媒介変数表示を求める. $\overrightarrow{\mathrm{TP}}$ は $\overrightarrow{\mathrm{OT}} = (\cos\theta,\sin\theta )$ の単位法線ベクトルの $1$ つ $\vec n = (\sin\theta,-\cos\theta )$ を $\stackrel{\frown}{\mathrm{ET}} = \theta$ 倍に伸ばしたベクトルであるから, $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ は \[\begin{aligned} \overrightarrow{\mathrm{OP}} &= \overrightarrow{\mathrm{OT}}+\overrightarrow{\mathrm{TP}} = \overrightarrow{\mathrm{OT}}+\theta\vec n \\ &= (\cos\theta,\sin\theta )+\theta (\sin\theta,-\cos\theta ) \\ &= (\cos\theta +\theta\sin\theta,\sin\theta -\theta\cos\theta ) \end{aligned}\] と表される. よって, 点 $\mathrm P$ が描く曲線は, \[\begin{aligned} x &= \cos\theta +\theta\sin\theta, \\ y &= \sin\theta -\theta\cos\theta \end{aligned}\] と表される.

(2)

ヤギが動き回れる範囲の面積を求め, 柱の断面積との比を求める. 点 $\mathrm A$ より左側では, ヤギは中心 $\mathrm A,$ 半径 $\pi$ の半円の上を動き回れる. 点 $\mathrm A$ より右側でヤギが動き回れる範囲は $x$ 軸に関して対称であるから, その $x$ 軸より上側の部分の面積を $S$ とおく. それは $0 \leqq \theta \leqq \pi$ におけるひもの先端 $\mathrm P\,(\neq \mathrm A)$ の軌跡と $x$ 軸, 直線 $x = -1$ が囲む図形から円の上半分を除いた部分の面積に等しい. 点 $\mathrm P(x,y)$ について (1) から \[\frac{dy}{d\theta}= \cos\theta -\cos\theta +\theta\sin\theta = \theta\sin\theta\] であるので, \[\begin{aligned} &S+\frac{\pi}{2} = \int_0^\pi\{ x-(-1)\}\,dy \\ &= \int_0^\pi (1+x)\frac{dy}{d\theta}\,d\theta \\ &= \int_0^\pi (1+\cos\theta +\theta\sin\theta )\theta\sin\theta\,d\theta \\ &= \int_0^\pi (\theta\sin\theta +\theta\sin\theta\cos\theta +\theta ^2\sin ^2\theta )\,d\theta \\ &= \int_0^\pi\left(\theta\sin\theta +\theta\cdot\frac{\sin 2\theta}{2}+\theta ^2\cdot\frac{1-\cos 2\theta}{2}\right)\,d\theta \\ &= \int_0^\pi\theta\sin\theta\,d\theta +\frac{1}{2}\int_0^\pi\theta\sin 2\theta\,d\theta \\ &\qquad +\frac{1}{2}\int_0^\pi\theta ^2\,d\theta -\frac{1}{2}\int_0^\pi\theta ^2\cos 2\theta\,d\theta \\ &= [\theta (-\cos\theta )]_0^\pi -\int_0^\pi (-\cos\theta )\,d\theta \\ &\qquad +\frac{1}{2}\left[\theta\cdot\frac{-\cos 2\theta}{2}\right] _0^\pi -\frac{1}{2}\int_0^\pi\frac{-\cos 2\theta}{2}\,d\theta \\ &\qquad +\frac{1}{2}\left[\frac{\theta ^3}{3}\right] _0^\pi -\frac{1}{2}\left[\theta ^2\cdot\frac{\sin 2\theta}{2}\right] _0^\pi +\frac{1}{2}\int_0^\pi 2\theta\cdot\frac{\sin 2\theta}{2}\,d\theta \\ &= \pi +[\sin\theta ]_0^\pi -\frac{\pi}{4}+\frac{1}{4}\left[\frac{\sin 2\theta}{2}\right] _0^\pi +\frac{\pi ^3}{6}+\frac{1}{2}\int_0^\pi\theta\sin 2\theta\,d\theta \\ &= \pi-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi ^3}{6}-\frac{\pi}{4} \\ &= \frac{\pi ^3}{6}+\frac{\pi}{2} \end{aligned}\] から \[ S = \frac{\pi ^3}{6}\] が得られる. ゆえに, ヤギが動き回れる範囲の面積は, \[\frac{\pi ^3}{2}+2S = \frac{\pi ^3}{2}+2\cdot\frac{\pi ^3}{6} = \frac{5}{6}\pi ^3\] であり, 柱の断面積の \[\frac{5}{6}\pi ^3\div (\pi\cdot 1^2) = \frac{5}{6}\pi ^2\] 倍である.

(1)

内径が $2$ である直交する $3$ 本の正四角柱の共通部分の体積 $W$ は \[ W = 2^3 = 8\] である.

(2)

内径が $2$ である直交する $3$ 本の円柱 \[ y^2+z^2 \leqq 1, \quad z^2+x^2 \leqq 1,\quad x^2+y^2 \leqq 1\] の共通部分の体積 $V$ を求める. 共通部分は, 中央の立方体の部分と, その面に接する $6$ つの合同な部分からなる. 立方体の部分について, 面の対角線の長さは円柱の直径 $2$ に等しいから, $1$ 辺の長さは $\sqrt 2$ である. また, $6$ つの合同な部分のうち, $\dfrac{1}{\sqrt 2} \leqq z \leqq 1$ における部分について, 平面 $z = t$ による切り口の面積は図のように長方形

$\left\{\begin{array}{l} |x| \leqq 1, \\ |y| \leqq \sqrt{1-t^2} \end{array}\right.$ と $\left\{\begin{array}{l} |y| \leqq 1, \\ |x| \leqq \sqrt{1-t^2} \end{array}\right.$

になるから, 平面 $z = t$ による円柱の共通部分の切り口は正方形 \[\left\{\begin{array}{l} |x| \leqq \sqrt{1-t^2}, \\ |y| \leqq \sqrt{1-t^2} \end{array}\right.\] になる.

この面積は \[ S(t) = (2\sqrt{1-t^2})^2 = 4(1-t^2)\] であるから, 求める体積は \[\begin{aligned} V &= (\sqrt 2)^3+6\int_{\frac{1}{\sqrt 2}}^1S(t),dt \\ &= 2\sqrt 2+24\int_{\frac{1}{\sqrt 2}}^1(1-t^2)\,dt \\ &= 2\sqrt 2+24\left[ t-\frac{t^3}{3}\right] _{\frac{1}{\sqrt 2}}^1 \\ &= 16-8\sqrt 2 \end{aligned}\] である.

(3)

ゆえに, 求める体積比は \[\frac{V}{W} = \frac{16-8\sqrt 2}{8} = 2-\sqrt 2\] である.

　伸び縮みのしない長さ $2\pi$ のひもの一端を原点 $\mathrm O(0,0)$ に固定し, 他端 $\mathrm P$ が点 $\mathrm A(2\pi,0)$ 上にある状態から, ひもを円周 $C:x^2+(y-1)^2 = 1$ 上に反時計回りにたるみなく巻きつける.

(1)

まず, 点 $\mathrm P$ が描く曲線の媒介変数表示を求める. 円周 $C$ の中心を $\mathrm B$ とおき, $C$ 上の点 $\mathrm Q$ までひもを巻きつけたとき, $\theta = \angle\mathrm{OBQ}$ とおく. $\angle\mathrm{OBQ} = \theta$ のとき $\mathrm Q(\sin\theta,1-\cos\theta )$ であるから, \[\begin{aligned} \overrightarrow{\mathrm{BQ}} &= \overrightarrow{\mathrm{OQ}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}} \\ &= (\sin\theta,1-\cos\theta )-(0,1) \\ &= (\sin\theta,-\cos\theta ) \end{aligned}\] であり, この単位法線ベクトルは \[\pm (\cos\theta,\sin\theta )\] である. $\overrightarrow{\mathrm{QP}}$ は $\vec n = (\cos\theta,\sin\theta )$ を $\mathrm{PQ} = \mathrm{OA}-\stackrel{\frown}{\mathrm{OQ}} = 2\pi -\theta$ 倍に伸ばしたベクトルであるから, \[\begin{aligned} &\overrightarrow{\mathrm{OP}} = \overrightarrow{\mathrm{OQ}}+\overrightarrow{\mathrm{QP}} \\ &= \overrightarrow{\mathrm{OQ}}+(2\pi -\theta )\vec n \\ &= (\sin\theta,1-\cos\theta )+(2\pi -\theta )(\cos\theta,\sin\theta ) \\ &= (\sin\theta+(2\pi -\theta )\cos\theta,1-\cos\theta +(2\pi -\theta )\sin\theta ) \end{aligned}\] である. よって, 点 $\mathrm P$ が描く曲線は, \[\begin{aligned} x &= \sin\theta+(2\pi -\theta )\cos\theta, \\ y &= 1-\cos\theta +(2\pi -\theta )\sin\theta \end{aligned}\] と表される.

(2)

(1) の曲線について \[\begin{aligned} \frac{dx}{d\theta} &= \cos\theta -\cos\theta +(2\pi -\theta )(-\sin\theta ) \\ &= -(2\pi -\theta )\sin\theta, \\ \frac{dy}{d\theta} &= \sin\theta -\sin\theta +(2\pi -\theta )\cos\theta \\ &= (2\pi -\theta )\cos\theta \end{aligned}\] であるから, 点 $\mathrm P$ が描く曲線の長さは \[\begin{aligned} \int _0^{2\pi}\sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right) ^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right) ^2}\,d\theta &= \int _0^{2\pi}(2\pi -\theta )\,d\theta \\ &= \left[ 2\pi\theta -\frac{\theta ^2}{2}\right] _0^{2\pi} \\ &= 2\pi ^2 \end{aligned}\] であり, これはひもの長さの \[ 2\pi ^2\div 2\pi = \pi\] 倍である.