曲線の媒介変数表示
曲線の媒介変数表示
問題≪サイクロイドの媒介変数表示≫
$xy$ 平面において, 半径 $1$ の円が $0 \leqq y \leqq 2$ の部分をすべることなく転がる.
動円の中心を $\mathrm C,$ 動円と $x$ 軸の接点を $\mathrm T$ とおくとき,
$\mathrm{CT}$ を始線として動径 $\mathrm{CP}$ が表す角 $\theta$ を用いて, 原点を通る動円の周上の定点 $\mathrm P(x,y)$ が描く軌跡の方程式を表せ.
解答例
- $0 < \theta < 2\pi$ のとき.
$\mathrm{OT}$ は弧 $\mathrm{TP}$ の長さ $\theta$ に等しく
\[\overrightarrow{\mathrm{OC}} = (\theta,1)\]
であり,
\begin{align*}
\overrightarrow{\mathrm{CP}} &\!=\! \begin{cases}
\!\!(-\sin\theta,-\cos\theta) & \!\!\!\!\!\!\left( 0 \!<\! \theta \!<\! \dfrac{\pi}{2}\right), \\
\!\!(-\sin (\pi -\theta ),\cos (\pi -\theta )) & \!\!\!\!\!\!\left(\dfrac{\pi}{2} \!\leqq\! \theta \!<\! \pi\right), \\
\!\!(\sin (\theta\!-\!\pi ),\cos (\theta\!-\!\pi )) & \!\!\!\!\!\!\left(\pi \!\leqq\! \theta \!<\! \dfrac{3\pi}{2}\right), \\
\!\!(\sin (2\pi\!-\!\theta ),-\cos (2\pi\!-\!\theta )) & \!\!\!\!\!\!\left(\dfrac{3}{2}\pi \!\leqq\! \theta \!<\! 2\pi\right)
\end{cases} \\
&\!=\! (-\sin\theta,-\cos\theta )
\end{align*}
である.
よって,
\begin{align*}
\overrightarrow{\mathrm{OP}} &= \overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}} \\
&= (\theta,1)+(-\sin\theta,-\cos\theta ) \\
&= (\theta -\sin\theta,1-\cos\theta )
\end{align*}
が成り立つ.
- これは, $\theta = 0$ のときも成り立つ.
背景
平面上において, 円が定直線に接しながらすべることなく転がるとき, 動円の周上の定点が描く軌跡を擺線またはサイクロイド(cycloid)と呼ぶ.
問題≪カージオイドの媒介変数表示≫
半径 $\dfrac{1}{2}$ の円が点 $\mathrm A\left(\dfrac{1}{2},0\right)$ を中心とする半径 $\dfrac{1}{2}$ の円に外接しながらすべることなく転がる.
このとき, $\mathrm{OA}$ を始線として動径 $\mathrm{OP}$ が表す角 $\theta$ を用いて, 点 $(2,0)$ を通る動円の周上の定点 $\mathrm P(x,y)$ が描く軌跡の方程式を表せ.
解答例
動円の中心を $\mathrm C$ とおく.
このとき, $\mathrm{OA}$ を始線として動径 $\mathrm{CP}$ の表す角は $2\theta$ である.
よって,
\begin{align*}
&\overrightarrow{\mathrm{OP}} \!=\! \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}} \\
&\!=\! \left(\frac{1}{2},0\right) +(\cos\theta,\sin\theta )+\left(\frac{1}{2}\cos 2\theta,\frac{1}{2}\sin 2\theta\right) \\
&\!=\! \!\left(\frac{1}{2}\!+\!\cos\theta\!+\!\frac{1}{2}(2\cos ^2\theta\!-\!1),\sin\theta\!+\!\frac{1}{2}\!\cdot\!2\sin\theta\cos\theta\right)\! \\
&\!=\! (\cos\theta +\cos ^2\theta,\sin\theta +\sin\theta\cos\theta ) \\
&\!=\! ((1+\cos\theta )\cos\theta,(1+\cos\theta )\sin\theta )
\end{align*}
であるから,
\[ x = (1+\cos\theta )\cos\theta, \quad y = (1+\cos\theta )\sin\theta\]
が成り立つ.
背景
円が定円に外接しながらすべることなく転がるとき, 動円の周上の定点が描く軌跡を「外擺線」, 「外サイクロイド」または「エピサイクロイド」(epicycloid)と呼ぶ.
定円と動円の半径が同じ外サイクロイドを「心臓形」または「カージオイド」(cardioid)と呼ぶ.
問題≪アステロイドの媒介変数表示≫
半径 $\dfrac{1}{4}$ の円が単位円に内接しながらすべることなく転がる.
$2$ 円の接点を $\mathrm T$ とおくとき, $\mathrm{OA}$ を始線として動径 $\mathrm{OT}$ が表す角 $\theta$ を用いて, 点 $\mathrm A(1,0)$ を通る動円の周上の定点 $\mathrm P(x,y)$ が描く軌跡の方程式を表せ.
ただし, $3$ 倍角の公式
\[\cos 3\theta = 4\cos ^3\theta -3\cos\theta,\ \ \sin 3\theta = 3\sin\theta -4\sin ^3\theta\]
は証明なしに使ってもよい.
解答例
動円の中心を $\mathrm C$ とおき, $\mathrm{CT}$ を始線として動径 $\mathrm{CP}$ の表す角を $\varphi$ とおく.
このとき, 弧 $\mathrm{AT}$ と弧 $\mathrm{TP}$ の長さは等しいから,
よって, $\mathrm{OA}$ を始線として動径 $\mathrm{CP}$ の表す角は
\[\theta -\varphi = \theta -4\theta = -3\theta\]
である.
したがって,
\begin{align*}
&\overrightarrow{\mathrm{OP}} = \overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}} \\
&= \left(\frac{3}{4}\cos\theta,\frac{3}{4}\sin\theta\right) +\left(\frac{1}{4}\cos (-3\theta ),\frac{1}{4}\sin (-3\theta )\right) \\
&= \left(\frac{3}{4}\cos\theta +\frac{1}{4}\cos 3\theta,\frac{3}{4}\sin\theta -\frac{1}{4}\sin 3\theta\right) \\
&= (\cos ^3\theta,\sin ^3\theta )
\end{align*}
であるから,
\[ x = \cos ^3\theta, \quad y = \sin ^3\theta\]
が成り立つ.
$1\cdot\theta = \dfrac{1}{4}\cdot\varphi$ つまり $\varphi = 4\theta$
が成り立つ.
背景
円が定円に内接しながらすべることなく転がるとき, 動円の周上の定点が描く軌跡を「内擺線」, 「内サイクロイド」または「ハイポサイクロイド」(hypocycloid)と呼ぶ.
定円と動円の半径の比が $4:1$ の「内サイクロイド」を「星芒形」または「アステロイド」(asteroid)と呼ぶ.