有名問題・定理から学ぶ数学

Well-Known Problems and Theorems in Mathematics

数式を枠からはみ出さずに表示するためには, 画面を横に傾けてください.

$2$ 次曲線

放物線

 こちらを参照.

楕円

 こちらを参照.

双曲線

 こちらを参照.

円錐と $2$ 次曲線

問題≪円錐曲線の名の由来≫

 座標空間において, 原点 $\mathrm O$ を通り, $\vec d = (1,0,m)$ $(m > 0)$ に平行な直線を軸とする円錐面(底面は考えない)において, 円錐面上の直線(稜線と呼ぶ)と軸のなす角を $\alpha\ \left( 0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}\right)$ とおく. このとき, 円錐面は $\vec d\cdot\overrightarrow{\mathrm{OP}} = |\vec d||\overrightarrow{\mathrm{OP}}|\cos\alpha$ を満たす点 $\mathrm P$ の集合になる. これを平面 $z = k$ ($k$: 定数, $k \neq 0$)で切断するとき, 断面にはどのような曲線が現れるか. 次の $3$ つの場合に分けて答えよ.
(i)
$\tan\alpha = m$ のとき.  (ii) $\tan\alpha < m$ のとき.
(iii)
$\tan\alpha > m$ のとき.

解答例

 点 $\mathrm P(x,y,z)$ が円錐面上にあるとする. このとき, $\vec d\cdot\overrightarrow{\mathrm{OP}} = |\vec d||\overrightarrow{\mathrm{OP}}|\cos\alpha$ から, \begin{align*} (\vec d\cdot\overrightarrow{\mathrm{OP}})^2 &= |\vec d|^2|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2\cos ^2\alpha \\ (x+mz)^2 &= (1+m^2)(x^2+y^2+z^2)\cos ^2\alpha \end{align*} が成り立つ. この点 $\mathrm P$ が平面 $z = k$ 上にあるとき, \begin{align*} &(x+mk)^2 = (1+m^2)(x^2+y^2+k^2)\cos ^2\alpha, \\ &\{ (1+m^2)\cos ^2\alpha -1\} x^2-2mkx+(1+m^2)\cos ^2\alpha\cdot y^2 \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad = \{ m^2-(1+m^2)\cos ^2\alpha\} k^2, \\ &(m^2\cos ^2\alpha -\sin ^2\alpha )x^2-2mkx+(1+m^2)\cos ^2\alpha\cdot y^2 \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad = (m^2\sin ^2\alpha -\cos ^2\alpha )k^2 \end{align*} が成り立つ. \begin{align*} A &= m^2\cos ^2\alpha -\sin ^2\alpha, \\ B &= (1+m^2)\cos ^2\alpha, \\ C &= m^2\sin ^2\alpha -\cos ^2\alpha \end{align*} とおくと, これは \[ Ax^2-2mkx+By^2 = Ck^2 \quad \cdots [1]\] と表される.
(i)
$\tan\alpha = m$ のとき. $A = 0$ から \[ [1] \iff x = \frac{B}{2mk}y^2-\frac{Ck}{2m}\] となるので, 切断面は放物線になる.
(i)'
$\tan\alpha \neq m$ のとき. $A \neq 0$ から, \begin{align*} &[1] \iff \frac{A^2}{k^2}x^2-\frac{2Am}{k}x+\frac{AB}{k^2}y^2 = AC \\ &\iff \frac{A^2}{k^2}\!\left(\!x-\frac{mk}{A}\!\right) ^2\!+\frac{AB}{k^2}y^2 = AC+m^2\ \cdots [2] \end{align*} となる. ここで, \begin{align*} &AC+m^2 \\ &= (m^2\cos ^2\alpha -\sin ^2\alpha)(m^2\sin ^2\alpha -\cos ^2\alpha )+m^2 \\ &= m^4\sin ^2\alpha\cos ^2\alpha -m^2\cos ^4\alpha -m^2\sin ^4\alpha \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad +\sin ^2\alpha\cos ^2\alpha +m^2 \\ &= (1+m^4)\sin ^2\alpha\cos ^2\alpha -m^2(\cos ^4\alpha +\sin ^4\alpha -1) \\ &= (1+m^4)\sin ^2\alpha\cos ^2\alpha \\ &\qquad -m^2\{ (\cos ^2\alpha +\sin ^2\alpha )^2-2\sin ^2\alpha\cos ^2\alpha -1\} \\ &= (1+2m^2+m^4)\sin ^2\alpha\cos ^2\alpha \\ &= (1+m^2)^2\sin ^2\alpha\cos ^2\alpha > 0 \end{align*} である.
(ii)
$\tan\alpha < m$ のとき. $[2]$ において $A > 0,$ よって $A^2 > 0,$ $AB > 0$ であるから, 切断面は楕円になる.
(iii)
$\tan\alpha > m$ のとき. $[2]$ において $A < 0,$ よって $A^2 > 0,$ $AB < 0$ であるから, 切断面は双曲線になる.

$2$ 次曲線の離心率

問題≪$2$ 次曲線の離心率≫

 $c > 0,$ $e > 0$ とする. 定点 $\mathrm F(c,0)$ と $y$ 軸からの距離の比が $e:1$ である点 $\mathrm P$ の軌跡とその方程式を求めよ.

解答例

 点 $\mathrm P$ の座標を $(x,y),$ 点 $\mathrm P$ から $y$ 軸に下ろした垂線の足を $\mathrm H$ とおき, 点 $\mathrm P$ の軌跡を $C$ とおく. このとき, \begin{align*} \mathrm P \in C &\iff \mathrm{FP}:\mathrm{HP} = e:1 \\ &\iff \mathrm{FP} = e\mathrm{HP} \\ &\iff \mathrm{FP}^2 = e^2\mathrm{HP}^2 \\ &\iff (x-c)^2+y^2 = e^2x^2 \\ &\iff (1-e^2)x^2-2cx+y^2+c^2 = 0 \quad \cdots [\ast ] \end{align*} となる.
(i)
$e = 1$ のとき. $[\ast ]$ は, $y^2 = 2cx-c^2$ となるから, 放物線を表す.
(ii)
$e \neq 1$ のとき. $[\ast ]$ は \[\frac{\left( x-\dfrac{c}{1-e^2}\right) ^2}{\dfrac{c^2e^2}{(1-e^2)^2}}+\frac{y^2}{\dfrac{c^2e^2}{1-e^2}} = 1\] と変形できる. よって, $\dfrac{c^2e^2}{(1-e^2)^2} > 0$ に注意すると, $[\ast ]$ は, $0 < e < 1\ \left(\dfrac{c^2e^2}{1-e^2} > 0\right)$ のとき楕円を表し, $e > 1\ \left(\dfrac{c^2e^2}{1-e^2} < 0\right)$ のとき双曲線を表す.
(i), (ii) から, 点 $\mathrm P$ の軌跡は, $0 < e < 1$ のとき楕円, $e = 1$ のとき放物線, $e > 1$ のとき双曲線で, その方程式はいずれの場合にも $[\ast ]$ で与えられる.