有名問題・定理から学ぶ数学

Well-Known Problems and Theorems in Mathematics

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本格数学クイズ (解析幾何学)

三角法

クイズ《オイラーの不等式》

 円柱に $3$ 枚の薄い長方形の板を貼り付けて三角柱を作り, これを回転させることで新しい円柱を作る. 新しい円柱の半径が最小になるようにするとき, その半径はもとの円柱の半径の何倍になるか.
(オリジナル)
$2023/10/13$$2023/10/20$

答え

 $2$ 倍.

解説

 求める値は, 単位円を外接円にもつ $\triangle\mathrm{ABC}$ の内接円の半径 $r$ の最大値の逆数に等しい. この三角形において, 外心を $\mathrm O$ とおき, $a = \mathrm{BC},$ $b = \mathrm{CA},$ $c = \mathrm{AB}$ とおく.
(i)
$\triangle\mathrm{ABC}$ が鋭角三角形の場合. $\mathrm O$ は $\triangle\mathrm{ABC}$ の内部にある. $\triangle\mathrm{OCA},$ $\triangle\mathrm{OAB}$ において底辺を $\mathrm{OA}$ としたときの高さの和は $a$ 以下であるから, \[\triangle\mathrm{OCA}+\triangle\mathrm{OAB} \leqq \frac{a}{2}\] が成り立つ. 同様に \[\begin{aligned} \triangle\mathrm{OAB}+\triangle\mathrm{OBC} &\leqq \frac{b}{2}, \\ \triangle\mathrm{OBC}+\triangle\mathrm{OCA} &\leqq \frac{c}{2} \\ \end{aligned}\] が成り立つから, 辺々を加えると \[\begin{aligned} r(a+b+c) = 2\triangle\mathrm{ABC} &\leqq \frac{a+b+c}{2} \\ r &\leqq \frac{1}{2} \end{aligned}\] が得られる.
(ii)
$\triangle\mathrm{ABC}$ が直角三角形, 鈍角三角形の場合. $\mathrm O$ は $\triangle\mathrm{ABC}$ の辺上または外部にあり, $\triangle\mathrm{ABC}$ の内接円は半径 $1$ の半円の内部に収まるから,
$2r < 1$ つまり $r < \dfrac{1}{2}$
が成り立つ.
(i), (ii) から, \[ r \leqq \frac{1}{2}\] が成り立つ. ゆえに, 三角形の内接円の半径に対する外接円の半径の比の最小値は $2$ である.

参考

 三角形の外接円の半径 $R,$ 内接円の半径 $r$ に対して, $R \geqq 2r$ が成り立つ. この不等式は「オイラーの不等式」として知られている.

クイズ《三角柱の側面の勾配》

 三角柱のブロックを横にして平らな床で転がすと, 側面が床につく度に斜面の勾配が整数になった. このとき, 各勾配の値はいくらか.
(オリジナル)
$2023/10/06$$2023/10/06$

答え

 $1,$ $2,$ $3.$

解説

 内角の大きさが $\alpha,$ $\beta,$ $\gamma$ $(\alpha \leqq \beta \leqq \gamma )$ である直角三角形でない三角形において $\tan\alpha,$ $\tan\beta,$ $\tan\gamma$ が整数であるとして, それらの値を求めればよい.
(1)
まず, $\tan\alpha,$ $\tan\beta,$ $\tan\gamma$ が満たす関係式を求める. $\alpha +\beta +\gamma = \pi$ であるから, 加法定理により \[\begin{aligned} \tan\gamma &= \tan (\pi -\alpha -\beta ) = -\tan (\alpha +\beta ) \\ &= -\frac{\tan\alpha +\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} \end{aligned}\] が成り立つ. 分母を払って整理すると, \[\begin{aligned} (\tan\alpha\tan\beta -1)\tan\gamma &= \tan\alpha +\tan\beta \\ \tan\alpha\tan\beta\tan\gamma &= \tan\alpha +\tan\beta +\tan\gamma \quad \cdots [1] \end{aligned}\] が得られる.
(2)
次に, $\tan\alpha,$ $\tan\beta,$ $\tan\gamma$ の値を求める. 仮定 $\alpha \leqq \beta \leqq \gamma$ により \[ 3\alpha \leqq \alpha +\beta +\gamma = \pi\] であるから, $0 < \alpha \leqq \dfrac{\pi}{3}$ である. よって, \[ 0 < \tan\alpha \leqq \sqrt 3\] であり, $\tan\alpha$ は整数であるから, \[\tan\alpha = 1\] である. この値を $[1]$ に代入して整理すると, \[\begin{aligned} &\tan\beta\tan\gamma = \tan\beta +\tan\gamma +1 \\ &\tan\beta\tan\gamma -\tan\beta -\tan\gamma +1 = 2 \\ &(\tan\beta -1)(\tan\gamma -1) = 2 \end{aligned}\] が得られる. $\tan\beta,$ $\tan\gamma$ が整数であること, $\dfrac{\pi}{4} \leqq \beta \leqq \gamma,$ $\beta +\gamma = \dfrac{3}{4}\pi$ から $\beta,$ $\gamma$ は鋭角であって $1 \leqq \tan\beta \leqq \tan\gamma$ であることに注意すると, \[ (\tan\beta -1,\tan\gamma -1) = (1,2)\] つまり \[ (\tan\beta,\tan\gamma ) = (2,3)\] がわかる. ゆえに, 求める値は $1,$ $2,$ $3$ である.