本格数学クイズ (方程式論)
方程式論
クイズ《黄金長方形と超黄金長方形》
短辺の長さがともに $1$ である「黄金長方形」,「超黄金長方形」のキャンバスが $1$ 枚ずつある.
$1$ 本につき面積 $1$ の領域が塗れる絵の具でこれらのキャンバスを塗るとき, 何本の絵の具が必要か, 整数で答えよ.
ただし,「黄金長方形」とは, 端から最大の正方形を取り除いて得られる長方形が, もとの長方形と相似になる長方形のことである. また,「超黄金長方形」とは, $1$ 本の対角線が消えるように, 端から最大の正方形, 最小の長方形を順に取り除いて得られる長方形が, もとの長方形と相似になる長方形のことである.
ただし,「黄金長方形」とは, 端から最大の正方形を取り除いて得られる長方形が, もとの長方形と相似になる長方形のことである. また,「超黄金長方形」とは, $1$ 本の対角線が消えるように, 端から最大の正方形, 最小の長方形を順に取り除いて得られる長方形が, もとの長方形と相似になる長方形のことである.
(有名問題, 脚色あり)
答え
$4$ 本.
解説
- (1)
- 「黄金長方形」のキャンバスの面積を評価する.
短辺の長さが $1$ である「黄金長方形」の長辺の長さを $\varphi$ とおく.
このキャンバスの面積は $\varphi$ である.
また, 端から最大の正方形を取り除いて得られる長方形の短辺の長さは $\varphi -1,$ 長辺の長さは $1$ である.
よって, 相似比により \[ 1:\varphi = (\varphi -1):1\] つまり \[\begin{aligned} \varphi (\varphi -1) &= 1 \\ \varphi ^2-\varphi-1 &= 0 \end{aligned}\] が成り立ち, $\varphi > 0$ から \[\varphi = \frac{1+\sqrt 5}{2} \quad \left(\because\frac{1-\sqrt 5}{2} < 0\right)\] である. したがって, $\varphi$ は $2$ 次関数 $y = x^2-x-1$ のグラフと $x$ 軸の正の部分との交点 ($1$ 個しかない) の $x$ 座標であり, \[\begin{aligned} 1.6^2-1.6-1 &= -0.04 < 0, \\ 1.7^2-1.7-1 &= 0.19 > 0 \end{aligned}\] であるから, \[ 1.6 < \varphi < 1.7\] である.
- (2)
- 「超黄金長方形」のキャンバスの面積を評価する.
短辺の長さが $1$ である「超黄金長方形」の長辺の長さを $\psi$ とおく.
このキャンバスの面積は $\psi$ である.
また, $1$ 本の対角線が消えるように, 端から最大の正方形, 最小の長方形を順に取り除いて得られる長方形の短辺の長さは $\psi -1,$ 長辺の長さは $\psi (\psi -1)$ である (相似比を利用した).
よって, 取り除く正方形がもとの長方形の対角線から切り取る線分の長さは \[\frac{1}{\psi}\sqrt{1+\psi ^2} = \sqrt{1+\{\psi (\psi -1)\} ^2}\] と $2$ 通りに表される. 分母を払って両辺を $2$ 乗すると \[ 1+\psi ^2 = \psi ^2\{ 1+\psi ^2(\psi -1)^2\}\] となるから, 展開して整理すると \[\psi ^6-2\psi ^5+\psi ^4 -1 = 0\] となり, 左辺を因数分解すると \[ (\psi ^3-\psi ^2+1)(\psi ^3-\psi ^2-1) = 0\] が得られる. $3$ 次関数 $y = x^3-x^2+1$ のグラフを描くと $x$ 軸の正の部分と共有点をもたないことがわかるから, $\psi$ は $y = x^3-x^2-1$ のグラフと $x$ 軸の交点 ($1$ 個しかない) の $x$ 座標である (定数項の符号に注意).
さらに \[\begin{aligned} 1.4^3-1.4^2-1 &= -0.216 < 0, \\ 1.5^3-1.5^2-1 &= 0.125 > 0 \end{aligned}\] であるから, 中間値の定理により \[ 1.4 < \psi < 1.5\] である.
- (3)
- (1), (2) から
\[ 3 = 1.6+1.4 < \varphi +\psi < 1.7+1.5 = 3.2\]
であるので, 必要な絵の具は
である.$4\div 1 = 4$ (本)
参考
- $x^2-x-1 = 0$ の正の解 \[\varphi = \dfrac{1+\sqrt 5}{2} = 1.6180339887\cdots\] を「黄金数」(golden number) と呼ぶ. また, 比 $1:\varphi$ を「黄金比」(golden ratio) と呼び, 短辺と長辺の長さの比が「黄金比」である長方形を「黄金長方形」(golden rectangle) と呼ぶ.
- $x^3-x^2-1 = 0$ の唯一の実数解 \[\psi = \dfrac{1}{\sqrt[3]{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}\sqrt{\dfrac{31}{3}}}+\sqrt[3]{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{6}\sqrt{\dfrac{31}{3}}}} = 1.4655712318\cdots\] を「超黄金数」(supergolden number) と呼ぶ. また, 比 $1:\psi$ を「超黄金比」(supergolden ratio) と呼び, 短辺と長辺の長さの比が「超黄金比」である長方形を「超黄金長方形」(supergolden rectangle) と呼ぶ.