有名問題・定理から学ぶ数学

Well-Known Problems and Theorems in Mathematics

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連続関数

連続関数

定義≪連続関数≫

 $D$ を定義域とする実数値関数 $f(x)$ について, $a \in D$ とする. 極限値 $\lim\limits_{x \to a}f(x)$ が存在して $\lim\limits_{x \to a}f(x) = f(a)$ が成り立つとき, $f(x)$ は点 $x = a$ で連続(continuous)であるという. $f(x)$ が $D$ に属するすべての点で連続であるとき, $f(x)$ は連続であるという.

定理≪関数の連続性の特徴付け≫

 実数値関数 $f(x)$ とその定義域に含まれる実数 $a$ について, 次は同値である.
(i)
$f(x)$ は $x = a$ で連続である.
(ii)
各項が $f(x)$ の定義域に属し, $\lim\limits_{n \to \infty}a_n = a$ を満たすすべての実数列 $\{ a_n\}$ に対して, $\lim\limits_{n \to \infty}f(a_n) = f(a)$ が成り立つ.

例≪連続関数≫

(1)
多項式関数, 三角関数, 指数関数, 対数関数, 分数関数, 無理関数は連続関数である.
(2)
各実数 $x$ に対して, $x$ 以下の最大の整数を $[x]$ で表すとき, $f(x) = [x]$ は半開区間 $[0,1)$ で連続であるが, 閉区間 $[0,1]$ で連続でない.

定理≪関数の和・差・積・商の連続性≫

 実数値関数 $f(x),$ $g(x)$ が $x = a$ で連続であるならば, $(f\pm g)(x) = f(x)\pm g(x),$ $(fg)(x) = f(x)g(x),$ $\left(\dfrac{f}{g}\right)(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}$ (ただし $g(x) \neq 0$)は $x = a$ で連続である.

証明

 $f(x),$ $g(x)$ が $x = a$ で連続であるならば, 各項が $f(x),$ $g(x)$ の定義域に属し, $\lim\limits_{n \to \infty}a_n = a$ を満たす実数列 $\{ a_n\}$ をとると, \begin{align*} (f\pm g)(\lim\limits_{n \to \infty}a_n) &= f(\lim\limits_{n \to \infty}a_n)\pm g(\lim\limits_{n \to \infty}a_n) \\ &= \lim\limits_{n \to \infty}f(a_n)\pm\lim\limits_{n \to \infty}g(a_n) \\ &= \lim\limits_{n \to \infty}\{ f(a_n)\pm g(a_n)\} \\ &= \lim\limits_{n \to \infty}(f\pm g)(a_n) \end{align*} となる. これは $(f\pm g)(x)$ が $x = a$ で連続であることを示している. 残りも同様にして示される.

定理≪合成関数の連続性≫

 $f(x)$ が $x = a$ で連続で, $g(x)$ が $x = f(a)$ で連続であるならば, $(g\circ f)(x)$ は $x = a$ で連続である.

証明

 $f(x)$ が $x = a$ で連続で, $g(x)$ が $x = f(a)$ で連続であるとき, 各項が $f(x)$ の定義域に属し, $a$ に収束する実数列 $\{ a_n\}$ をとると, \begin{align*} (g\circ f)\left(\lim\limits_{n \to \infty}a_n\right) &= g\left(f\left(\lim\limits_{n \to \infty}a_n\right)\right) = g\left(\lim\limits_{n \to \infty}f(a_n)\right) \\ &= \lim\limits_{n \to \infty}g(f(a_n)) = \lim\limits_{n \to \infty}(g\circ f)(a_n) \end{align*} となる. これは $(g\circ f)(x)$ が $x = a$ で連続であることを示している.

定理≪逆関数の連続性≫

 $f(x)$ が逆関数 $f^{-1}(x)$ をもち, $x = a$ で連続であるならば, $f^{-1}(x)$ は $x = f(a)$ で連続である.

証明

 $f(x)$ が $x = a$ で連続であるとき, 各項が $f^{-1}(x)$ の定義域に属し, $f(a)$ に収束する実数列 $\{ b_n\}$ をとると, $\{ f^{-1}(b_n)\}$ は $a$ に収束するから, \begin{align*} &f^{-1}\left(\lim\limits_{n \to \infty}b_n\right) = f^{-1}\left(\lim\limits_{n \to \infty}f(f^{-1}(b_n))\right) \\ &= f^{-1}\left( f\left(\lim\limits_{n \to \infty}f^{-1}(b_n)\right)\right) = \lim\limits_{n \to \infty}f^{-1}(b_n) \end{align*} となる. これは $f^{-1}(x)$ が $x = f(a)$ で連続であることを示している.

中間値の定理

定理≪中間値の定理≫

 実数値関数 $f(x)$ が閉区間 $[a,b]$ で連続であるとき, 次が成り立つ.
(1)
$f(a) \neq f(b)$ であるならば, $f(a)$ と $f(b)$ の間にあるすべての値 $k$ に対して \[ f(x) = k\] の解が $a < x < b$ の範囲に少なくとも $1$ つ存在する.
(2)
$f(a),$ $f(b)$ が異符号であるならば, \[ f(x) = 0\] の解が $a < x < b$ の範囲に少なくとも $1$ つ存在する.

問題≪奇数次方程式の実数解の存在≫

 実数係数多項式 $f(x)$ の次数が奇数であるならば, $f(x) = 0$ の実数解が少なくとも $1$ つ存在することを示せ.

解答例

 $n$ を奇数として, 実数係数 $n$ 次多項式 $f(x) = \sum\limits_{k = 0}^na_kx^k$ $(a_n \neq 0)$ を考える.
(i)
$a_n > 0$ の場合. $x \to \pm\infty$ のとき, $n$ が奇数であることから \[ a_nx^n \to \pm\infty, \quad \sum_{k = 0}^n\frac{a_k}{a_n}x^{k-n} \to 1\] となり, \[ f(x) = a_nx^n\sum_{k = 0}^n\frac{a_k}{a_n}x^{k-n} \to \pm\infty\] となるから(複号同順), ある実数 $a,$ $b\ (a < b)$ について \[ f(a) < 0, \quad f(b) > 0\] となる. よって, 中間値の定理により, $a < x < b$ の範囲に $f(x) = 0$ の解が存在する.
(ii)
$a_n < 0$ の場合. (i) の結果により, $-f(x) = 0$ の実数解が存在するから, $f(x) = 0$ の実数解が存在する.
(i), (ii) から, $f(x) = 0$ の実数解が少なくとも $1$ つ存在する.