短辺の長さが $1,$ 長辺の長さが $\varphi = \dfrac{1+\sqrt 5}{2}$ の長方形 $R$ の端から $1$ 辺の長さが $1$ の正方形を取り除くと, 短辺の長さが $\varphi -1,$ 長辺の長さが $1$ の長方形 $R'$ が得られるが, から, $R$ と $R'$ は $1:(\varphi -1)$ の比で相似である. さらに, 残りの長方形の端から正方形を取り除くという操作を無限に繰り返すことによって, 長方形 $R$ のすべての部分を取りつくすことができる. 辺の長さの比が $1:\varphi$ の長方形を「黄金長方形」(golden rectangle) と呼ぶ.

• 本問の操作を無限に繰り返すことで得られる図形 (つまり $K_0,$ $K_1,$ $\cdots,$ $K_n,$ $\cdots$ の共通部分) を「コッホ雪片」(Koch snowflake) と呼ぶ.
  
• 単位正方形から始めて, 直前に貼り合わせた正方形の各辺の中央外側に $3$ 分の $1$ の大きさの正方形を貼り合わせるという操作を無限に繰り返すことで得られる多角形の面積の極限値は $\dfrac{5}{3}$ である (参考: お茶の水女子大).
• 正三角形から各辺の中点を結ぶ正三角形を取り除き, 新たにできたすべての小三角形から同様に正三角形を取り除くという操作を無限に続けると,「シェルピンスキーのギャスケット」(Sierpinski gasket) と呼ばれる図形が得られる.
  
• これらの図形は, 一部が全体に相似であるという性質をもち, 「フラクタル図形」(fractal, 定義は省略) の代表的な例である.

　本問の操作を無限に繰り返すことで得られる図形 (つまり $M_0,$ $M_1,$ $\cdots,$ $M_n,$ $\cdots$ の共通部分) を「メンガーのスポンジ」(Menger sponge) と呼ぶ.

• $0 < p < 1$ なる実数 $p$ について, $$P(X = n) = (1-p)^{n-1}p \quad \cdots [*]$$ ($n$: 正の整数) で定まる確率分布を「幾何分布」(geometric distribution) と呼ぶ. ここで, 各回の成功する確率が $p,$ 失敗する確率が $1-p$ である反復試行において, $[*]$ は $n$ 回目に初めて成功する確率を表す.
• 上記の「幾何分布」に従う確率変数 $X$ の期待値は, $$\begin{aligned} E(X) &= \sum_{n = 1}^\infty n(1-p)^{n-1}p = \frac{p}{1-p}\sum_{n = 1}^\infty n(1-p)^n \\ &= \frac{p}{1-p}\cdot\frac{1-p}{\{ 1-(1-p)\} ^2} = \frac{1}{p} \end{aligned}$$ である. 特に, 無限級数 $\displaystyle\sum_{n = 1}^\infty n\left(\frac{1}{2}\right) ^n$ は, 表が出るまで硬貨を投げるときの試行の回数の期待値を表す.

• 正の整数全体を値域とする確率変数 $W$ の期待値は $$E(W) = \sum_{m = 1}^\infty m\,P(W = m)$$ で定義される. (2) の試行を繰り返すとき, 事象 $A_1,$ $\cdots,$ $A_n$ のうち $k$ 個 $(0 \leqq k \leqq n-1)$ が起こった状態から別の $1$ 個が起こるまでにかかる試行の回数 $X_k$ の期待値は $$E(X_k) = \frac{n}{n-k}$$ である.
• (2) の試行を $X$ 回繰り返したときに初めて $A_1,$ $\cdots,$ $A_n$ がすべて $1$ 回以上起こったとするとき, $$X = \sum_{k = 0}^{n-1}X_k$$ であるから, 期待値の線形性により $$E(X) = \sum_{k = 0}^{n-1}E(X_k) = \sum_{k = 0}^{n-1}\frac{n}{n-k} = n\sum_{k = 1}^n\frac{1}{k}$$ である. 例えば, $n$ 種類のアイテムのうち $1$ 種類がランダムに封入されたカプセル・トイで全種類のアイテムを集める ($n$ 面のさいころですべての目を出す) には, 平均的にこの回数繰り返せばよいと見込まれる. この種の問題はしばしば「クーポン・コレクターの問題」(coupon collector's problem) または「食玩問題」と呼ばれる.
• 無限級数 $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left(\sum_{k = 1}^n\frac{1}{k}-\log n\right)$ は収束し, その和 $\gamma = 0.57721\cdots$ を「オイラーの定数」(Euler's constant) と呼ぶ. $$\lim_{n \to \infty}n\sum_{k = 1}^n\frac{1}{k}\!-\!\lim_{n \to \infty}n(\log n\!+\!\gamma ) \!=\! \lim_{n \to \infty}\left(\sum_{k = 1}^n\frac{1}{k}\!-\!\log n\!-\!\gamma\right) \!=\! 0$$ であるから, $n$ が十分に大きいとき, $E(X)$ は近似的に $n(\log n+\gamma )$ に等しいと言える.
• $n$ が小さいときの $E(X)$ の値は, 次の表の通りである.

  $n$	$1$	$2$	$3$	$4$
  $E(X)$	$1$	$3$	$\dfrac{11}{2}$ $= 5.5$	$\dfrac{25}{3}$ $= 8.33\cdots$
  $n$	$5$	$6$	$7$	$8$
  $E(X)$	$\dfrac{137}{12}$ $= 11.41\cdots$	$\dfrac{147}{10}$ $= 14.7$	$\dfrac{363}{20}$ $= 18.15$	$\dfrac{761}{35}$ $= 21.74\cdots$
  $n$	$9$	$10$	$11$	$12$
  $E(X)$	$\dfrac{7129}{280}$ $= 25.46\cdots$	$\dfrac{7381}{252}$ $= 29.28\cdots$	$\dfrac{83711}{2520}$ $= 33.21\cdots$	$\dfrac{86021}{2310}$ $= 37.23\cdots$

• 初期条件 $F_1 = F_2 = 1$ と漸化式 $F_{n+2} = F_n+F_{n+1}$ で定まる数列 $\{ F_n\}$ を「フィボナッチ数列」(Fibonacci sequence) と呼ぶ. $F_{n+1}{}^2-F_nF_{n+2} = (-1)^n$ は, $F_{n+2} = F_n+F_{n+1}$ と同値であり (こちらを参照), 「カッシーニの公式」(Cassini's identity) として知られている.
• $\arctan\dfrac{1}{F_2} = \arctan\dfrac{1}{F_3}+\arctan\dfrac{1}{F_4}$ から $$\frac{\pi}{4} = \arctan\frac{1}{2}+\arctan\frac{1}{3}$$ が成り立つ.
• $\arctan\dfrac{1}{F_1}+\arctan\dfrac{1}{F_3}+\arctan\dfrac{1}{F_5} = \arctan\dfrac{1}{F_1}+\arctan\dfrac{1}{F_2}-\arctan\dfrac{1}{F_6}$ つまり $\arctan\dfrac{1}{F_2} = \arctan\dfrac{1}{F_3}+\arctan\dfrac{1}{F_5}+\arctan\dfrac{1}{F_6}$ から $$\frac{\pi}{4} = \arctan\frac{1}{2}+\arctan\frac{1}{5}+\arctan\frac{1}{8}$$ が成り立つ.
• これらは, 円周率の近似値の計算への応用をもつ「マチンの公式」(Machin's formula) $$\frac{\pi}{4} = 4\arctan\frac{1}{5}-\arctan\frac{1}{239}$$ (こちらを参照) の類似である.

• $s_1 = 2,$ $s_{n+1} = s_n{}^2-s_n+1$ で定まる数列 $\{ s_n\}$ は「シルヴェスター数列」(Sylvester sequence) と呼ばれる (注意: $s_{n+1} = s_1\cdots s_n+1$ を定義の漸化式に採用することもあり, $s_0 = 2$ とする流儀もある).
• 次の「カーティスの定理」が知られている: 連立不等式 $$\frac{1}{x_1}+\cdots +\frac{1}{x_n} < 1, \quad 0 < x_1 < \cdots < x_n$$ の整数解に対して, $\dfrac{1}{x_1}+\cdots +\dfrac{1}{x_n}$ は $(x_1,\cdots,x_n) = (s_1,\cdots,s_n)$ のとき最大値をとる ($n = 2,$ $3$ の場合はこちらを参照).
• (2) において, 部分和からなる数列 $\displaystyle\left\{\sum_{k = 1}^n\frac{1}{s_k}\right\}$ は $1$ 未満の値をとり, 単調増加であるから, 常に一定値以下の値をとる単調増加数列は収束するという定理により, $\displaystyle\sum_{n = 1}^\infty\frac{1}{s_n}$ は収束する.