関数の極限
自然対数
問題≪ベルヌーイの不等式とネイピア数の評価≫
$n$ を $2$ 以上の整数とする.
次のことを示せ.
- (1)
- $(1+x)^n > 1+nx\ (x > 0)$ が成り立つ.
- (2)
- $\dfrac{{}_n\mathrm C_k}{n^k} \leqq \dfrac{1}{2^{k-1}}$ $(1 \leqq k \leqq n)$ が成り立つ.
- (3)
- $2 \leqq e \leqq 3$ である.
解答例
- (1)
- 二項定理により \[ (1+x)^n = 1+nx+\cdots +x^n\] であり, $x > 0$ のとき $\cdots$ 以下の項は $0$ より大きいから, $(1+x)^n > 1+nx\ (x > 0)$ が成り立つ.
- (2)
- ${}_n\mathrm C_k = \dfrac{{}_n\mathrm P_k}{k!}$ であるから, $2^{k-1}{}_n\mathrm P_k \leqq k!n^k$ を示せばよい. これは, \[ 2^{k-1} = 2^{k-1}\cdot 1 \leqq k!, \quad {}_n\mathrm P_k \leqq n^k\] の辺々を掛け合わせることで得られる.
- (3)
- $n \geqq 2$ のとき, (1) の不等式に $x = \dfrac{1}{n}$ を代入すると, \[\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^n > 1+n\cdot\frac{1}{n} = 2\] となる. また, 二項定理と (2) の不等式により \begin{align*} \left( 1+\frac{1}{n}\right) ^n &= \sum_{k = 0}^n{}_n\mathrm C_k\left(\frac{1}{n}\right) ^k = 1+\sum_{k = 1}^n\frac{{}_n\mathrm C_k}{n^k} \\ &\leqq 1+\sum_{k = 1}^n\frac{1}{2^{k-1}} = 1+\frac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right) ^n}{1-\dfrac{1}{2}} \\ &= 3-\frac{1}{2^{n-1}} < 3 \end{align*} が成り立つ. ゆえに, 挟みうちの原理により, \[ 2 \leqq e = \lim\limits_{n \to \infty}\left( 1+\dfrac{1}{n}\right) ^n \leqq 3\] である.
背景
(1) の不等式は,「ベルヌーイの不等式」(Bernoulli's inequality)として有名である.
$\sin x/x$ の極限
定理≪$\sin x/x$ の極限≫
\[\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1\]
が成り立つ.
証明
まず, $\lim\limits_{x \to +0}\dfrac{\sin x}{x} = 1$ を示す.
$0 < x < \dfrac{\pi}{2}$ の範囲で考えれば十分である.
点 $\mathrm O$ を中心とする半径 $1,$ 中心角 $x$ の扇形 $\mathrm{OAB}$ を考える.
点 $\mathrm B$ から線分 $\mathrm{OA}$ に下した垂線の足を $\mathrm H$ とおき,
点 $\mathrm A$ を通り $\mathrm{HB}$ と平行な直線が直線 $\mathrm{OB}$ と交わる点を $\mathrm T$ とおく.
扇形 $\mathrm{OAB}$ の面積を $S$ とおくと,
\[\triangle\mathrm{OAB} < S < \triangle\mathrm{OAT}\]
となる.
$\mathrm{BH} = \sin x,$ $\mathrm{AT} = \tan x$ であるから,
\[\frac{1}{2}\cdot 1\cdot \sin x < \frac{1}{2}\cdot 1^2\cdot x < \frac{1}{2}\cdot 1\cdot\tan x\]
となり,
\[\sin x < x < \tan x\]
となる.
各辺を $\sin x$ で割ると
\[ 1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}\]
となるから, 各辺の逆数をとると
\[ 1 > \frac{\sin x}{x} > \cos x\]
となる.
$\lim\limits_{x \to +0}\cos x = 1$ であるから, 挟みうちの原理により
\[\lim\limits_{x \to +0}\frac{\sin x}{x} = 1 \quad \cdots [1]\]
が成り立つ.
よって,
\[\lim\limits_{x \to -0}\frac{\sin x}{x} = \lim\limits_{x \to -0}\frac{\sin (-x)}{-x} = \lim\limits_{x \to +0}\frac{\sin x}{x} = 1 \quad \cdots [2]\]
が成り立つ.
$[1],$ $[2]$ から, 求める等式が得られる.
問題≪ヴィエトの公式≫
- (1)
- すべての角 $\theta$ と正の整数 $n$ に対して \[\cos\frac{\theta}{2}\cdots\cos\frac{\theta}{2^n}\sin\frac{\theta}{2^n} = \frac{1}{2^n}\sin\theta\] が成り立つことを示せ.
- (2)
- (1) の結果を用いて \[\lim\limits_{n \to \infty}\cos\frac{\pi}{4}\cdots\cos\frac{\pi}{2^{n+1}} = \frac{2}{\pi}\] が成り立つことを示せ.
解答例
- (1)
- 倍角の公式により, \begin{align*} &\cos\frac{\theta}{2}\cdots\cos\frac{\theta}{2^n}\sin\frac{\theta}{2^n} \\ &= \frac{1}{2}\cos\frac{\theta}{2}\cdots\cos\frac{\theta}{2^{n-1}}\sin\frac{\theta}{2^{n-1}} \\ &= \cdots \\ &= \frac{1}{2^{n-1}}\cos\frac{\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2} \\ &= \frac{1}{2^n}\sin\theta \end{align*} が成り立つ.
- (2)
- (1) の結果に $\theta = \dfrac{\pi}{2}$ を代入すると, \[ \cos\frac{\pi}{4}\cdots\cos\frac{\pi}{2^{n+1}}\sin\frac{\pi}{2^{n+1}} = \frac{1}{2^n}\] から \begin{align*} &\cos\frac{\pi}{4}\cdots\cos\frac{\pi}{2^{n+1}} = \frac{1}{2^n}\div\sin\frac{\pi}{2^{n+1}} \\ &= \frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi}{2^{n+1}}\div\sin\frac{\pi}{2^{n+1}} \\ &\to \frac{2}{\pi}\cdot 1 = \frac{2}{\pi} \quad (n \to \infty ) \end{align*} となり, 求める結果が得られる.
背景
(2) の結果は「ヴィエトの公式」と呼ばれる(Viète, 1593).
半角の公式 $\cos ^2\dfrac{\theta}{2} = \dfrac{1+\cos\theta}{2}$ により
\begin{align*}
\cos\frac{\pi}{4} &= \frac{\sqrt 2}{2}, \\
\cos\frac{\pi}{8} &= \sqrt{\frac{1+\dfrac{\sqrt 2}{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2+\sqrt 2}}{2}, \\
\cos\frac{\pi}{16} &= \sqrt{\frac{1+\dfrac{\sqrt{2+\sqrt 2}}{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt 2}}}{2},\ \cdots
\end{align*}
であるから, この公式は
\[\pi = 2\cdot\frac{2}{\sqrt 2}\cdot\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt 2}}\cdot\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt 2}}}\cdot\cdots\]
という形でも表される.
この公式は, $\pi$ を表す式としてはヨーロッパで初めて発見されたものである.
それ以前には, $\tan x$ の逆関数 $\mathrm{arctan}\,x$ の展開公式 $\mathrm{arctan}\,x = \sum\limits_{n = 0}^\infty\dfrac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}$ がインドのケーララ学派の間で知られていたので,
$\pi$ を表す式としては $\pi = 4\sum\limits_{n = 0}^\infty\dfrac{(-1)^n}{2n+1}$ が最も古いと考えられている.