辺 $\mathrm{AB}$ 上の点 $\mathrm P$ と辺 $\mathrm{CD}$ 上の点 $\mathrm Q$ を結ぶ線分で折った後に頂点 $\mathrm B$ が辺 $\mathrm{AD}$ 上の点 $\mathrm R$ に移るとして, $x = \mathrm{AR},$ $y = \mathrm{BP},$ $z = \mathrm{CQ}$ とおく. このとき, \[\mathrm{BP} = \mathrm{RP}, \quad \mathrm{BQ} = \mathrm{RQ}\] である. $\triangle\mathrm{APR},$ $\triangle\mathrm{BCQ},$ $\triangle\mathrm{DQR}$ に三平方の定理を適用すると, \[\begin{aligned} \mathrm{AP}^2+\mathrm{AR}^2 &= \mathrm{PR}^2, \\ \mathrm{BC}^2+\mathrm{CQ}^2 &= \mathrm{BQ}^2 = \mathrm{RQ}^2 = \mathrm{DQ}^2+\mathrm{DR}^2 \end{aligned}\] から \[ (1-y)^2+x^2 = y^2, \quad 1^2+z^2 = (1-z)^2+(1-x)^2\] となるので, \[ y = \frac{x^2+1}{2}, \quad z = \frac{x^2-2x+1}{2}\] である. よって, 折り返した部分の台形 $\mathrm{PBCQ}$ の面積 $S$ は, \[\begin{aligned} S &= \frac{1}{2}(y+z)\cdot 1 \\ &= \frac{1}{2}\left(\frac{x^2+1}{2}+\frac{x^2-2x+1}{2}\right) \\ &= \frac{1}{2}(x^2-x+1) \\ &= \frac{1}{2}\left( x-\frac{1}{2}\right) ^2+\frac{3}{8} \end{aligned}\] と表される. $0 \leqq x \leqq 1$ であるから, $S$ は $x = \dfrac{1}{2}$ のとき最小値 $\dfrac{3}{8}$ をとる. ゆえに, $S$ が最小になるのは頂点 $\mathrm B$ が辺 $\mathrm{AD}$ の中点にくる場合で, その最小値は $\dfrac{3}{8}$ である.

　$a = \sqrt 2^{\sqrt 2}$ とする.

(i)

$a$ が有理数であるとき (実際は偽). $\sqrt 2$ は無理数であるから, $a$ が無理数の無理数乗として表される有理数の一例を与える.

(ii)

$a$ が無理数であるとき (実際は真). \[ a^{\sqrt 2} = (\sqrt 2^{\sqrt 2})^{\sqrt 2} = (\sqrt 2)^{\sqrt 2\cdot\sqrt 2} = (\sqrt 2)^2 = 2\] が無理数の無理数乗として表される有理数の一例を与える.

\[ a^m = b^n \quad \cdots [1]\] を満たす整数 $m,$ $n$ が存在するための必要十分条件を求める. $[1]$ は $a^{\frac{m}{n}} = b$ と同値であるから, $m,$ $n$ が互いに素な正の整数であるとしても一般性を失わない.

(1)

このような正の整数 $m,$ $n$ の存在を仮定する. このとき, 素因数分解の一意性により, $[1]$ の両辺は同じ素因数をもつから, 相異なる素数 $p_1,$ $\cdots,$ $p_r$ がそのすべてであるとする. $a,$ $b$ は正の整数 $i_1,$ $\cdots,$ $i_r,$ $j_1,$ $\cdots,$ $j_r$ を用いて \[\begin{aligned} a &= p_1{}^{i_1}\cdots p_r{}^{i_r} \quad \cdots [2], \\ b &= p_1{}^{j_1}\cdots p_r{}^{j_r} \quad \cdots [3] \end{aligned}\] と表される. これらを $[1]$ に代入すると \[ p_1{}^{i_1m}\cdots p_r{}^{i_rm} = p_1{}^{j_1n}\cdots p_r{}^{j_rn}\] となるから, 素因数分解の一意性により \[ i_1m = j_1n, \quad \cdots, \quad i_rm = j_rn\] が得られる. $m,$ $n$ は互いに素であるから, ある正の整数 $k_1,$ $\cdots,$ $k_r$ に対して \[\begin{aligned} i_1 = k_1n, \quad &\cdots, \quad i_r = k_rn, \\ j_1 = k_1m, \quad &\cdots, \quad j_r = k_rm \end{aligned}\] が成り立つ. これらを $[2],$ $[3]$ に代入すると, $c = p_1{}^{k_1}\cdots p_r{}^{k_r}$ として, \[\begin{aligned} a &= p_1{}^{k_1n}\cdots p_r{}^{k_rn} = (p_1{}^{k_1}\cdots p_r{}^{k_r})^n = c^n, \\ b &= p_1{}^{k_1m}\cdots p_r{}^{k_rm} = (p_1{}^{k_1}\cdots p_r{}^{k_r})^m = c^m \end{aligned}\] が得られる.

(2)

逆に, ある整数 $c,$ $m,$ $n$ ($c > 1;$ $m,$ $n$: 互いに素) に対して $a = c^n,$ $b = c^m$ となるとき, \[ a^m = b^n = c^{mn}\] が成り立つ.
　以上から, 求める条件は, ある整数 $c,$ $m,$ $n$ ($c > 1;$ $m,$ $n$: 互いに素) に対して $a = c^n,$ $b = c^m$ となることである.