テイラー展開
テイラー展開
$x = a$ を含む区間で, 何回でも微分可能なある種の関数 $f(x)$ は,
\[ f(x) = \sum_{n = 0}^\infty\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\]
と表せる.
ただし, $f^{(0)}(a) = f(a),$ $0! = 1$ と定める.
この表示を $f(x)$ の $x = a$ の周りの「テイラー展開」(Taylor's expansion)と呼ぶ.
$a = 0$ のときは「マクローリン展開」(Maclaurin's expansion)と呼ぶ.
例えば,
\begin{align*}
\cos x &= \sum_{n = 0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}, \\
\sin x &= \sum_{n = 0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}, \\
e^x &= \sum_{n = 0}^\infty\frac{x^n}{n!}, \\
\log (1+x) &= \sum_{n = 1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n} \quad (-1 < x \leqq 1)
\end{align*}
といった関数の「マクローリン展開」が有名である.
問題
数学 III: 積分法
問題≪マーダヴァ=ライプニッツ級数≫
各正の整数 $n$ に対して関数 $f_n(x)$ を
\[ f_n(x) = \frac{1}{1+x^2}-\sum_{k = 1}^n(-1)^{k-1}x^{2(k-1)}\]
により定める.
次のことを示せ.
- (1)
- $f_n(x) = \dfrac{(-1)^nx^{2n}}{1+x^2}$ である.
- (2)
- $\displaystyle\lim\limits_{n \to \infty}\int_0^1f_n(x)dx = 0$ である.
- (3)
- $\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^\infty\dfrac{(-1)^{n-1}}{2n-1} = \dfrac{\pi}{4}$ である.
解答例
こちらを参照.
問題≪メルカトル級数とその項の並び替え≫
- (1)
- $\displaystyle\sum_{k = 1}^{2n}\frac{(-1)^{k-1}}{k} = \sum_{k = 1}^n\frac{1}{n+k}$ を示せ.
- (2)
- 無限級数 $\displaystyle\sum_{n = 1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}$ の和を求めよ.
- (3)
- 項を並び替えて得られる無限級数 $\displaystyle\sum_{n = 1}^\infty\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{4n-2}-\frac{1}{4n}\right)$ の和を求めよ.
解答例
こちらを参照.