有名問題・定理から学ぶ数学

Well-Known Problems and Theorems in Mathematics

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テイラー展開

テイラー展開

 $x = a$ を含む区間で, 何回でも微分可能なある種の関数 $f(x)$ は, \[ f(x) = \sum_{n = 0}^\infty\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\] と表せる. ただし, $f^{(0)}(a) = f(a),$ $0! = 1$ と定める. この表示を $f(x)$ の $x = a$ の周りの「テイラー展開」(Taylor's expansion)と呼ぶ. $a = 0$ のときは「マクローリン展開」(Maclaurin's expansion)と呼ぶ. 例えば, \begin{align*} \cos x &= \sum_{n = 0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}, \\ \sin x &= \sum_{n = 0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}, \\ e^x &= \sum_{n = 0}^\infty\frac{x^n}{n!}, \\ \log (1+x) &= \sum_{n = 1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n} \quad (-1 < x \leqq 1) \end{align*} といった関数の「マクローリン展開」が有名である. 

問題

数学 III: 積分法

問題≪マーダヴァ=ライプニッツ級数≫

 各正の整数 $n$ に対して関数 $f_n(x)$ を \[ f_n(x) = \frac{1}{1+x^2}-\sum_{k = 1}^n(-1)^{k-1}x^{2(k-1)}\] により定める. 次のことを示せ.
(1)
$f_n(x) = \dfrac{(-1)^nx^{2n}}{1+x^2}$ である.
(2)
$\displaystyle\lim\limits_{n \to \infty}\int_0^1f_n(x)dx = 0$ である.
(3)
$\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^\infty\dfrac{(-1)^{n-1}}{2n-1} = \dfrac{\pi}{4}$ である.

解答例

 こちらを参照.

問題≪メルカトル級数とその項の並び替え≫

(1)
$\displaystyle\sum_{k = 1}^{2n}\frac{(-1)^{k-1}}{k} = \sum_{k = 1}^n\frac{1}{n+k}$ を示せ.
(2)
無限級数 $\displaystyle\sum_{n = 1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}$ の和を求めよ.
(3)
項を並び替えて得られる無限級数 $\displaystyle\sum_{n = 1}^\infty\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{4n-2}-\frac{1}{4n}\right)$ の和を求めよ.

解答例

 こちらを参照.