テイラー展開
テイラー展開
$x = a$ を含む区間で, 何回でも微分可能なある種の関数 $f(x)$ は,
\[ f(x) = \sum_{n = 0}^\infty\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\]
と表せる.
ただし, $f^{(0)}(a) = f(a),$ $0! = 1$ と定める.
この表示を $f(x)$ の $x = a$ の周りの「テイラー展開」(Taylor's expansion)と呼ぶ.
$a = 0$ のときは「マクローリン展開」(Maclaurin's expansion)と呼ぶ.
例えば,
\begin{align*}
\cos x &= \sum_{n = 0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}, \\
\sin x &= \sum_{n = 0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}, \\
e^x &= \sum_{n = 0}^\infty\frac{x^n}{n!}, \\
\log (1+x) &= \sum_{n = 1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n} \quad (-1 < x \leqq 1)
\end{align*}
といった関数の「マクローリン展開」が有名である.
問題
数学 III: 積分法
問題≪メルカトル級数とその項の並び替え≫
- (1)
- $\displaystyle\sum_{k = 1}^{2n}\frac{(-1)^{k-1}}{k} = \sum_{k = 1}^n\frac{1}{n+k}$ を示せ.
- (2)
- 無限級数 $\displaystyle\sum_{n = 1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}$ の和を求めよ.
- (3)
- 項を並び替えて得られる無限級数 $\displaystyle\sum_{n = 1}^\infty\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{4n-2}-\frac{1}{4n}\right)$ の和を求めよ.
解答例
こちらを参照.