有名問題・定理から学ぶ数学

Well-Known Problems and Theorems in Mathematics

数式を枠からはみ出さずに表示するためには, 画面を横に傾けてください.

確率過程

確率過程

 確率変数が時間的に変化するような確率のモデルは確率過程(stochastic process)と呼ばれる.

問題

数学 A: 場合の数と確率

問題《ポリアの壺》

 最初, 壺の中に白玉が $a$ 個, 黒玉が $b$ 個だけ入っている. 壺の中から無作為に玉を $1$ 個取り出して, 得られた玉と同じ色の玉を $c$ 個だけ壺の中に入れ, 得られた玉も戻すという試行を繰り返す. $n$ 回目に白玉が出る確率を $p_n$ とおく.
(1)
$p_2$ を求めよ.
(2)
$p_n$ を求めよ.

解答例

 こちらを参照.

問題《直線上のランダム・ウォーク》

 数直線上の動点 $\mathrm P$ は, 原点 $\mathrm O$ を出発して, コインを投げて表が出る度に正の方向に $1$ だけ移動し, 裏が出る度に負の方向に $1$ だけ移動する. $2n$ 回コインを投げた時点で, $\mathrm P$ が $\mathrm O$ にある確率を $p_{2n}$ とおき, $\mathrm P$ が $\mathrm O$ に初めて戻る場合の数を $a_{2n},$ 確率を $f_{2n}$ とおく. また, $p_0 = 1$ と定める. $a_{2n} = \dfrac{2{}_{2n-2}\mathrm C_{n-1}}{n}$ であることがわかっている(こちらを参照).
(1)
$p_{2n}$ を求めよ.
(2)
$\dfrac{p_{2n}}{p_{2n-2}}$ を求めよ.
(3)
$f_{2n}$ を求めよ.
(4)
$\dfrac{f_{2n}}{p_{2n-2}}$ を求めよ.
(5)
$p_{2n-2}-p_{2n} = f_{2n}$ を示せ.
(6)
$\displaystyle\sum_{k = 1}^nf_{2k} = 1-\dfrac{{}_{2n}\mathrm C_n}{2^{2n}}$ を示せ.

解答例

 こちらを参照.