最初, 壺の中に白玉が $a$ 個, 黒玉が $b$ 個だけ入っている. 壺の中から無作為に玉を $1$ 個取り出して, その玉と同じ色の玉を $c$ 個だけ壺の中に入れ, 取り出した玉も戻すという試行を繰り返す. $n$ 回目に白玉を取り出す確率を $p_n$ とおく.

(1)

$p_2$ を求めよ.

(2)

$p_n$ を求めよ.

　数直線上の動点 $\mathrm P$ は, 原点 $\mathrm O$ を出発して, コインを投げて表が出る度に正の方向に $1$ だけ移動し, 裏が出る度に負の方向に $1$ だけ移動する. $n \geqq 1$ のとき, $2n$ 回コインを投げた時点で, $\mathrm P$ が $\mathrm O$ にある確率を $p_{2n}$ とおき, $\mathrm P$ が $\mathrm O$ に初めて戻る場合の数を $a_{2n},$ 確率を $f_{2n}$ とおく. $a_{2n} = \dfrac{2\cdot{}_{2n-2}\mathrm C_{n-1}}{n}$ であることがわかっている (こちらを参照). $p_0 = 1$ と定めるとき, $n \geqq 1$ として, 次の問に答えよ.

(1)

$p_{2n}$ を求めよ.

(2)

$\dfrac{p_{2n}}{p_{2n-2}}$ を求めよ.

(3)

$f_{2n}$ を求めよ.

(4)

$\dfrac{f_{2n}}{p_{2n-2}}$ を求めよ.

(5)

$p_{2n-2}-p_{2n} = f_{2n}$ を示せ.

(6)

$\displaystyle\sum_{k = 1}^nf_{2k} = 1-\dfrac{{}_{2n}\mathrm C_n}{2^{2n}}$ を示せ.