反復試行の確率
反復試行の確率
定義《反復試行》
同じ条件のもとで同じ試行を何回か繰り返し行うとき, それらの試行を反復試行 (repeated attempts) と呼ぶ.
定理《反復試行の確率》
$1$ 回の試行で事象 $A$ の起こる確率が $p$ であるとする.
この試行を $n$ 回繰り返し行うとき, 事象 $A$ がちょうど $r$ 回起こる確率は
\[ {}_n\mathrm C_rp^r(1-p)^{n-r}\]
である.
証明
$A$ がちょうど $r$ 回起こる場合の数は ${}_n\mathrm C_r$ であり, そのそれぞれの場合が起こる確率は $p^r(1-p)^{n-r}$ であるから, $A$ がちょうど $r$ 回起こる確率は ${}_n\mathrm C_rp^r(1-p)^{n-r}$ である.
問題《コイン投げの確率の最大値》
$r$ を正の整数とする.
$n \geqq r$ なる整数 $n$ について,
$1$ 枚のコインを $n$ 回投げてちょうど $r$ 回表が出る確率 $p_n$ が最大となるような $n$ の値を,
$r$ を用いて表せ.
ただし, コインを投げて表, 裏が出る確率はともに $\dfrac{1}{2}$ であるとする.
解答例
\[\begin{aligned}
\frac{p_{n+1}}{p_n} &= \frac{{}_{n+1}\mathrm C_r\left(\dfrac{1}{2}\right) ^r\left(\dfrac{1}{2}\right) ^{n+1-r}}{{}_n\mathrm C_r\left(\dfrac{1}{2}\right) ^r\left(\dfrac{1}{2}\right) ^{n-r}} \\
&= \frac{1}{2}\cdot\frac{(n+1)!}{r!(n+1-r)!}\div\frac{n!}{r!(n-r)!} \\
&= \frac{n+1}{2(n+1-r)}
\end{aligned}\]
であるから,
\[\begin{aligned}
p_{n+1} > p_n &\iff \frac{p_{n+1}}{p_n} > 1 \\
&\iff \frac{n+1}{2(n+1-r)} > 1 \\
&\iff n+1 > 2(n+1-r) \\
&\iff n < 2r-1, \\
p_{n+1} = p_n &\iff n = 2r-1, \\
p_{n+1} < p_n &\iff n > 2r-1
\end{aligned}\]
が成り立つ.
よって,
\[ p_1 < \cdots < p_{2r-1} = p_{2r} > p_{2r+1} > \cdots\]
であるから, $p_n$ は $n = 2r-1,$ $2r$ のとき最大となる.
問題《直線上のランダム・ウォーク》
数直線上の動点 $\mathrm P$ は, 原点 $\mathrm O$ を出発して,
コインを投げて表が出る度に正の方向に $1$ だけ移動し, 裏が出る度に負の方向に $1$ だけ移動する.
$n \geqq 1$ のとき, $2n$ 回コインを投げた時点で,
$\mathrm P$ が $\mathrm O$ にある確率を $p_{2n}$ とおき,
$\mathrm P$ が $\mathrm O$ に初めて戻る場合の数を $a_{2n},$ 確率を $f_{2n}$ とおく.
$a_{2n} = \dfrac{2\cdot{}_{2n-2}\mathrm C_{n-1}}{n}$ であることがわかっている (こちらを参照).
$p_0 = 1$ と定めるとき, $n \geqq 1$ として, 次の問に答えよ.
- (1)
- $p_{2n}$ を求めよ.
- (2)
- $\dfrac{p_{2n}}{p_{2n-2}}$ を求めよ.
- (3)
- $f_{2n}$ を求めよ.
- (4)
- $\dfrac{f_{2n}}{p_{2n-2}}$ を求めよ.
- (5)
- $p_{2n-2}-p_{2n} = f_{2n}$ を示せ.
- (6)
- $\displaystyle\sum_{k = 1}^nf_{2k} = 1-\dfrac{{}_{2n}\mathrm C_n}{2^{2n}}$ を示せ.
解答例
- (1)
- $2n$ 回コインを投げた時点で動点 $\mathrm P$ が原点 $\mathrm O$ にあるのは, $2n$ 回のうち $n$ 回表が出て $n$ 回裏が出る場合であるから, 求める確率は \[ p_{2n} = {}_{2n}\mathrm C_n\left(\frac{1}{2}\right) ^n\left(\frac{1}{2}\right) ^n = \frac{{}_{2n}\mathrm C_n}{2^{2n}} \quad \cdots [1]\] である.
- (2)
- $[1]$ から, \[\begin{aligned} \frac{p_{2n}}{p_{2n-2}} &= \frac{{}_{2n}\mathrm C_n}{2^{2n}}\cdot\frac{2^{2n-2}}{{}_{2n-2}\mathrm C_{n-1}} \\ &= \frac{1}{4}\cdot\frac{(2n)!}{n!n!}\cdot\frac{(n-1)!(n-1)!}{(2n-2)!} \\ &= \frac{1}{4}\cdot\frac{(2n)(2n-1)}{n\cdot n} \\ &= \frac{2n-1}{2n} \quad \cdots [2] \end{aligned}\] である.
- (3)
- $2n$ 回コインを投げるとき裏表の出方は全部で $2^{2n}$ 通りあるから, 求める確率は \[ f_{2n} = \frac{a_{2n}}{2^{2n}} = \frac{2\cdot{}_{2n-2}\mathrm C_{n-1}}{n}\cdot\frac{1}{2^{2n}} = \frac{{}_{2n-2}\mathrm C_{n-1}}{n2^{2n-1}} \quad \cdots [3]\] である.
- (4)
- $[1],$ $[3]$ から, \[\frac{f_{2n}}{p_{2n-2}} = \frac{{}_{2n-2}\mathrm C_{n-1}}{n2^{2n-1}}\div\frac{{}_{2n-2}\mathrm C_{n-1}}{2^{2n-2}} = \frac{1}{2n} \quad \cdots [4]\] である.
- (5)
- $[2],$ $[4]$ から, \[\begin{aligned} p_{2n-2}-p_{2n} &= p_{2n-2}\left( 1-\frac{p_{2n}}{p_{2n-2}}\right) \\ &= p_{2n-2}\left( 1-\frac{2n-1}{2n}\right) \\ &= p_{2n-2}\cdot\frac{1}{2n} \\ &= f_{2n} \quad \cdots [5] \end{aligned}\] が成り立つ.
- (6)
- $[5],$ $[1]$ から, \[\begin{aligned} \sum_{k = 1}^nf_{2k} &= \sum_{k = 1}^n(p_{2k-2}-p_{2k}) \\ &= p_0-p_{2n} \\ &= 1-\frac{{}_{2n}\mathrm C_n}{2^{2n}} \end{aligned}\] が成り立つ.
参考
- 本問の動点 $\mathrm P$ のように, 次に移動する位置が確率的に決まる運動を「ランダム・ウォーク」(random walk) と呼ぶ.
- $2n$ 回コインを投げた時点で動点 $\mathrm P$ が原点に初めて戻る場合の数は, $n-1$ 番目の「カタラン数」(Catalan number) の $2$ 倍として求められる (こちらを参照).
- \[\frac{{}_{2n}\mathrm C_n}{2^{2n}} < \frac{1}{\sqrt{\pi n}}\] の成り立つことが知られており (こちらを参照), 右辺は $0$ に収束するから, 無限級数 $\displaystyle\sum_{n = 1}^\infty f_{2n}$ は $1$ に収束する. つまり, 動点 $\mathrm P$ がいつか原点に戻ってくる確率は $1$ である. ただし, 表が限りなく出続ける場合などもあるから, これは動点 $\mathrm P$ が原点に必ず戻ってくることを意味しているわけではない.
- 平面や空間においても同様の「ランダム・ウォーク」の問題が考えられる. 動点 $\mathrm P$ が原点を出発して各座標軸の正の方向, 負の方向に等確率で $1$ だけ移動を続けるとき, 平面ではいつか原点に戻ってくる確率は $1$ であるが, 空間ではいつか原点に戻ってくる確率は $0.3405373296\cdots$ であることが知られている.