$a$ を正の数とし, 放物線 $C:y = ax^2$ 上に相異なる $2$ 点 $\mathrm A(\alpha,a\alpha ^2),$ $\mathrm B(\beta,a\beta ^2)$ をとる. さらに, $C$ 上の点 $\mathrm T(t,at^2)$ を, $C$ の $\mathrm T$ における接線と直線 $\mathrm{AB}$ の傾きが一致するようにとる.

(1)

$\displaystyle\int_\alpha ^\beta (x-\alpha )(x-\beta )\,dx = -\frac{(\beta -\alpha )^3}{6}$ を示せ.

(2)

$\alpha,$ $\beta$ を用いて $t$ を表せ.

(3)

$C$ と直線 $\mathrm{AB}$ で囲まれた図形の面積 $S$ について, $S = \dfrac{4}{3}\triangle\mathrm{ABT}$ が成り立つことを示せ.

　$3$ 次関数 $f(x) = ax^3+bx^2+cx+d$ ($a,$ $b,$ $c,$ $d$: 実数) のグラフ $C:y = f(x)$ と $C$ の点 $(\alpha,f(\alpha ))$ における接線 $l:y = g(x)$ が点 $(\beta,f(\beta ))$ $(\alpha \neq \beta )$ で交わるとする. 次のことを示せ. ただし, 多項式 $p(x)$ について, $p(\alpha ) = p'(\alpha ) = 0$ であるとき $p(x)$ が $(x-\alpha )^2$ で割り切れること (こちらを参照) は, 証明なしに使ってよい.

(1)

$f(x)-g(x)$ は $(x-\alpha )^2$ で割り切れる.

(2)

$C$ と $l$ で囲まれた図形の面積 $S$ は \[ S = \frac{|a|}{12}(\beta -\alpha )^4\] である.

　$4$ 次関数 $f(x) = ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ ($a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e$: 実数) のグラフ $C:y = f(x)$ と直線 $l:y = g(x)$ が $2$ 点 $(\alpha,f(\alpha )),$ $(\beta,f(\beta ))$ $(\alpha < \beta )$ で接するとする. $C$ と $l$ が囲む図形の面積 $S$ は \[ S = \dfrac{|a|}{30}(\beta -\alpha )^5\] であることを示せ. ただし, 多項式関数 $y = f(x)$ のグラフと直線 $y = g(x)$ が点 $(\alpha,f(\alpha ))$ で接するとき $f(x)-g(x)$ が $(x-\alpha )^2$ で割り切れることは, 証明なしに使ってよい.

　$\alpha,$ $\beta$ を $\alpha < \beta$ なる実数とし, 非負整数 $m,$ $n$ の各組に対して \[ I(m,n) = \int_\alpha ^\beta (x-\alpha )^m(\beta -x)^n\,dx\] と定める. また, $p,$ $q$ を正の整数とする.

(1)

$I(m,0)$ を求めよ.

(2)

$n \geqq 1$ のとき, $I(m,n) = \dfrac{n}{m+1}I(m+1,n-1)$ が成り立つことを示せ.

(3)

$I(m,n)$ を求めよ.

(4)

$B(p,q) = \displaystyle\int_0^1t^{p-1}(1-t)^{q-1}dt$ を求めよ.

(5)

曲線 $x^{\frac{1}{p}}+y^{\frac{1}{q}} = 1$ $(0 \leqq x \leqq 1,\ 0 \leqq y \leqq 1)$ と座標軸が囲む図形の面積 $S(p,q)$ を求めよ.