ベータ関数
ベータ関数
定義《ベータ関数》
$B(x,y) = \displaystyle\int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt\ (x,\ y > 0)$ で定まる $x,$ $y$ の関数をベータ関数(beta function)と呼ぶ.
ベータ関数 $B(x,y)$ の値は, $0 < x < 1$ または $0 < y < 1$ のとき広義積分になるが, $x \geqq 1,$ $y \geqq 1$ のとき単なる定積分である.
定理《ベータ関数の公式》
- (1)
- 正の整数 $p,$ $q$ に対して \[ B(p,q) = \int_0^1t^{p-1}(1-t)^{q-1}dt = \frac{(p-1)!(q-1)!}{(p+q-1)!}\] が成り立つ.
- (2)
- $\alpha < \beta$ なる実数 $\alpha,$ $\beta$ と正の整数 $m,$ $n$ に対して \[\int_\alpha ^\beta (x-\alpha )^m(\beta -x)^n = \frac{m!n!}{(m+n+1)!}(\beta -\alpha )^{m+n+1}\] が成り立つ.
証明
こちらを参照.
面積の公式
定理《差の次数が $2$ の多項式のグラフで囲まれた図形の面積》
多項式 $f(x),$ $g(x)$ について, $f(x)-g(x) = a(x-\alpha )(x-\beta )$ ($a \neq 0,$ $\alpha < \beta$)であるとき,
$2$ 曲線 $y = f(x),$ $y = g(x)$ で囲まれた図形の面積 $S$ は
\[ S = \dfrac{|a|}{6}(\beta -\alpha )^3\]
である.
証明
\[\int_\alpha ^\beta (x-\alpha )(x-\beta )dx = -\dfrac{(\beta -\alpha )^3}{6} \quad \cdots [1]\]
から直ちに示される.
$[1]$ の証明については, こちらを参照.
この公式を使うと, 次の定理が容易に証明できる.
定理《アルキメデスの定理》
放物線 $C$ 上の相異なる $2$ 点 $\mathrm A,$ $\mathrm B$ を結ぶ直線と傾きが等しくなるような $C$ の接線の接点を $\mathrm T$ とおくと,
$C$ と直線 $\mathrm{AB}$ で囲まれた図形の面積 $S$ は
\[ S = \dfrac{4}{3}\triangle\mathrm{ABT}\]
である.
証明
回転移動と平行移動により, $y = ax^2\ (a > 0)$ の場合に帰着できる.
この場合の証明については, こちらを参照.
高校数学の問題
積分法(文系・理系共通)
問題《アルキメデスの定理》
$a$ を正の数とし, 放物線 $C:y = ax^2$ 上に相異なる $2$ 点 $\mathrm A(\alpha,a\alpha ^2),$ $\mathrm B(\beta,a\beta ^2)$ をとる.
さらに, $C$ 上の点 $\mathrm T(t,at^2)$ を, $C$ の $\mathrm T$ における接線と直線 $\mathrm{AB}$ の傾きが一致するようにとる.
- (1)
- $\displaystyle\int_\alpha ^\beta (x-\alpha )(x-\beta )dx = -\frac{(\beta -\alpha )^3}{6}$ を示せ.
- (2)
- $\alpha,$ $\beta$ を用いて $t$ を表せ.
- (3)
- $C$ と直線 $\mathrm{AB}$ で囲まれた図形の面積 $S$ について, $S = \dfrac{4}{3}\triangle\mathrm{ABT}$ が成り立つことを示せ.
解答例
こちらを参照.
問題《$3$ 次関数のグラフと接線が囲む図形の面積》
$3$ 次関数 $f(x) = ax^3+bx^2+cx+d$ ($a,$ $b,$ $c,$ $d$: 実数)のグラフ $C:y = f(x)$ と $C$ の点 $(\alpha,f(\alpha ))$ における接線 $l :y = g(x)$ が点 $(\beta,f(\beta ))$ $(\alpha \neq \beta )$ で交わるとする.
次のことを示せ.
ただし, 多項式 $p(x)$ について, $p(\alpha ) = p'(\alpha ) = 0$ であるとき $p(x)$ が $(x-\alpha )^2$ で割り切れること(こちらを参照)は, 証明なしに使ってよい.
- (1)
- $f(x)-g(x)$ は $(x-\alpha )^2$ で割り切れる.
- (2)
- $C$ と $l$ で囲まれた図形の面積 $S$ は \[ S = \frac{|a|}{12}(\beta -\alpha )^4\] である.
解答例
こちらを参照.
問題《$4$ 次関数のグラフと接線が囲む図形の面積》
$4$ 次関数 $f(x) = ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ ($a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e$: 実数)のグラフ $C:y = f(x)$ と直線 $l:y = g(x)$ が $2$ 点 $(\alpha,f(\alpha )),$ $(\beta,f(\beta ))$ $(\alpha < \beta )$ で接するとする.
$C$ と $l$ が囲む図形の面積 $S$ は
\[ S = \dfrac{|a|}{30}(\beta -\alpha )^5\]
であることを示せ.
ただし, 多項式関数 $y = f(x)$ のグラフと直線 $y = g(x)$ が点 $(\alpha,f(\alpha ))$ で接するとき $f(x)-g(x)$ が $(x-\alpha )^2$ で割り切れることは, 証明なしに使ってよい.
解答例
こちらを参照.
積分法(理系)
問題《ベータ関数と面積》
$\alpha,$ $\beta$ を $\alpha < \beta$ なる実数とし, 非負整数 $m,$ $n$ の各組に対して
\[ I(m,n) = \int_\alpha ^\beta (x-\alpha )^m(\beta -x)^ndx\]
と定める.
また, $p,$ $q$ を正の整数とする.
- (1)
- $I(m,0)$ を求めよ.
- (2)
- $n \geqq 1$ のとき, $I(m,n) = \dfrac{n}{m+1}I(m+1,n-1)$ が成り立つことを示せ.
- (3)
- $I(m,n)$ を求めよ.
- (4)
- $B(p,q) = \displaystyle\int_0^1t^{p-1}(1-t)^{q-1}dt$ を求めよ.
- (5)
- 曲線 $x^{\frac{1}{p}}+y^{\frac{1}{q}} = 1\ (0 \leqq x \leqq 1,\ 0 \leqq y \leqq 1)$ と座標軸が囲む図形の面積 $S(p,q)$ を求めよ.
(参考: $1986$ 東京工業大, $1996$ 高知大)
解答例
こちらを参照.