(1)

\[\begin{aligned} (x-\alpha )(x-\beta ) &= (x-\alpha )\{ (x-\alpha )-(\beta -\alpha )\} \\ &= (x-\alpha )^2-(\beta -\alpha )(x-\alpha ) \end{aligned}\] から, \[\begin{aligned} \int_\alpha ^\beta (x-\alpha )(x-\beta )dx &= \int_\alpha ^\beta\{ (x-\alpha )^2-(\beta -\alpha )(x-\alpha )\} dx \\ &= \left[\frac{(x-\alpha )^3}{3}-(\beta -\alpha )\frac{(x-\alpha )^2}{2}\right] _\alpha ^\beta \\ &= -\frac{(\beta -\alpha )^3}{6} \quad \cdots [1] \end{aligned}\] が成り立つ.

(2)

$y = ax^2$ の導関数は $y' = 2ax$ であるから, $C$ の点 $\mathrm T$ における接線の傾きについて \[ 2at = \frac{a\beta ^2-a\alpha ^2}{\beta -\alpha} = a(\alpha +\beta )\] が成り立つ. よって, \[ t = \frac{\alpha +\beta}{2}\] である.

(3)

直線 $\mathrm{AB}$ の方程式は \[ y-a\alpha ^2 = \frac{a\beta ^2-a\alpha ^2}{\beta -\alpha}(x-\alpha )\] つまり \[ y = a(\alpha +\beta )x-a\alpha\beta\] であるから, $[1]$ により \[\begin{aligned} S &= \int_\alpha ^\beta \{ a(\alpha +\beta )x-a\alpha\beta -ax^2\}dx \\ &= -a\int_\alpha^\beta (x-\alpha )(x-\beta )dx \\ &= \frac{a}{6}(\beta -\alpha )^3 \end{aligned}\] である.

また, 点 $\mathrm A,$ $\mathrm B,$ $\mathrm T$ を $x$ 軸方向に $-\dfrac{\alpha +\beta}{2},$ $y$ 軸方向に $-a\dfrac{(\alpha +\beta )^2}{4}$ だけ平行移動した点は $\mathrm A'\left(\dfrac{\alpha -\beta}{2},a\dfrac{4\alpha ^2-(\alpha +\beta )^2}{4}\right),$ $\mathrm B'\left(\dfrac{\beta -\alpha}{2},a\dfrac{4\beta ^2-(\alpha +\beta )^2}{4}\right),$ $\mathrm O(0,0)$ であるから, \[\begin{aligned} &\triangle\mathrm{ABT} = \triangle\mathrm{OA}'\mathrm B' \\ &= \frac{1}{2}\left|\frac{\alpha -\beta}{2}\cdot a\frac{4\beta ^2-(\alpha +\beta )^2}{4}-a\frac{4\alpha ^2-(\alpha +\beta )^2}{4}\cdot\frac{\beta -\alpha}{2}\right| \\ &= \frac{1}{2}\cdot\frac{a}{4}\cdot\frac{\beta -\alpha}{2}|2(\alpha +\beta )^2-4\alpha ^2-4\beta ^2| \\ &= \frac{a}{8}(\beta -\alpha )^3 \end{aligned}\] である. ゆえに, \[ S = \frac{4}{3}\cdot\frac{a}{8}(\beta -\alpha )^3 = \frac{4}{3}\triangle\mathrm{ABT}\] が成り立つ.

(1)

$f'(x) = 2ax+b$ であるから, 放物線 $y = f(x)$ の点 $(\alpha,f(\alpha ))$ における接線の方程式は, \[ y-(a\alpha ^2+b\alpha +c) = (2a\alpha +b)(x-\alpha )\] つまり \[ y = (2a\alpha +b)x-a\alpha ^2+c\] である. この右辺を $g(x)$ とおくと, \[\begin{aligned} &f(x)-g(x) \\ &= (ax^2+bx+c)-\{ (2a\alpha +b)x-a\alpha ^2+c\} \\ &= ax^2-2a\alpha x+a\alpha ^2 = a(x-\alpha )^2 \end{aligned}\] となるから, \[\begin{aligned} S &= \left|\int_\alpha ^p|f(x)-g(x)| dx\right| = |a|\left|\int_\alpha ^p(x-\alpha )^2dx\right| \\ &= |a|\left|\left[\frac{(x-\alpha )^3}{3}\right] _\alpha ^p\right| = |a|\left|\frac{(p-\alpha )^3}{3}\right| = \frac{|a|}{3}|p-\alpha |^3 \end{aligned}\] が成り立つ.

(2A)

放物線 $y = f(x)$ の点 $(\beta,f(\beta ))$ における接線の方程式は, \[ y = (2a\beta +b)x-a\beta ^2+c\] である. よって, $2$ 本の接線の交点の $x$ 座標は, \[ (2a\alpha +b)x-a\alpha ^2+c = (2a\beta +b)x-a\beta ^2+c\] の解であるから, $a \neq 0,$ $\alpha \neq \beta$ に注意すると, \[ x = \frac{a(\beta ^2-\alpha ^2)}{2a(\beta -\alpha )} = \frac{\alpha +\beta}{2}\] である. $y = f(x)$ と $2$ 本の接線が囲む図形の面積は, 直線 $x = \dfrac{\alpha +\beta}{2}$ で $2$ つに分けて考えると, (1) により \[\begin{aligned} S &= \frac{|a|}{3}\left(\frac{\alpha +\beta}{2}-\alpha\right) ^3+\frac{|a|}{3}\left(\beta -\frac{\alpha +\beta}{2}\right) ^3 \\ &= 2\cdot\frac{|a|}{3}\left(\frac{\beta -\alpha}{2}\right) ^3 = \frac{|a|}{12}(\beta -\alpha )^3 \end{aligned}\] であることがわかる.

(2B)

(1) で求めたように放物線 $C:y = f(x)$ の点 $(\alpha,f(\alpha ))$ における接線, $C':y = g(x)$ の点 $(\beta,g(\beta ))$ における接線の方程式はそれぞれ \[\begin{aligned} y &= (2a\alpha +b)x-a\alpha ^2+c, \\ y &= (2a\beta +b')x-a\beta ^2+c' \\ \end{aligned}\] であり, これらが一致するから \[ 2a\alpha +b = 2a\beta +b', \quad -a\alpha ^2+c = -a\beta ^2+c'\] つまり \[ b-b' = 2a(\beta -\alpha ), \quad c'-c = a(\beta ^2-\alpha ^2)\] が成り立つ. また, $C,$ $C'$ の共有点の $x$ 座標は \[ ax^2+bx+c = ax^2+b'x+c'\] の解であるから, その値は \[ x = \frac{c'-c}{b-b'} = \frac{a(\beta ^2-\alpha ^2)}{2a(\beta -\alpha )} = \frac{\alpha+\beta}{2}\] である. よって, $C,$ $C',$ $l$ が囲む図形の面積は, (1) により, \[\begin{aligned} S &= \frac{|a|}{3}\left(\frac{\alpha +\beta}{2}-\alpha\right) ^3+\frac{|a|}{3}\left(\beta -\frac{\alpha +\beta}{2}\right) ^3 \\ &= 2\cdot\frac{|a|}{3}\left(\frac{\beta -\alpha}{2}\right) ^3 = \frac{|a|}{12}(\beta -\alpha )^3 \end{aligned}\] が得られる.

　$y = x^2$ の導関数は, $y' = 2x$ である. よって, 接線 $l$ の方程式は, $y = 2\alpha (x-\alpha )+\alpha ^2$ つまり \[ y = 2\alpha x-\alpha ^2\] である. 同様に, $m$ の方程式は, \[ y = 2\beta x-\beta ^2\] である. これらが直交する条件は, $2\alpha\cdot 2\beta = -1$ つまり \[\alpha\beta = -\frac{1}{4}\] である. よって, $\alpha < 0 < \beta$ として一般性を失わないから, その場合を考える. また, 直線 $\mathrm{AB}$ の方程式は, \[ y-\alpha ^2 = \dfrac{\beta ^2-\alpha ^2}{\beta -\alpha}(x-\alpha )\] つまり \[ y = (\alpha +\beta )x-\alpha\beta\] である. よって, \[\begin{aligned} S &= \int _\alpha ^\beta\{ (\alpha +\beta )x-\alpha\beta -x^2\} dx \\ &= -\int_\alpha^\beta (x-\alpha )(x-\beta )dx \\ &= -\frac{1}{6}(\beta -\alpha )^2 = \frac{1}{6}\left(\beta +\frac{1}{4\beta}\right) ^3 \end{aligned}\] である. したがって, 相加・相乗平均の不等式により, \[ S \geqq \frac{1}{6}\left( 2\sqrt{\beta\cdot\frac{1}{4\beta}}\right) ^3 = \frac{1}{6}\] である. 等号は $\alpha = -\dfrac{1}{2},$ $\beta = \dfrac{1}{2}$ のときに成り立つ. ゆえに, 求める最小値は $\dfrac{1}{6}$ である.

(1)

$C:y = f(x)$ の点 $(\alpha,f(\alpha ))$ における接線 $l:y = g(x)$ の方程式は \[ y = f'(\alpha )(x-\alpha )+f(\alpha )\] であるから, \[ g(x) = f'(\alpha )(x-\alpha )+f(\alpha )\] である. \[ p(x) = f(x)-g(x) = f(x)-f(\alpha )-f'(\alpha )(x-\alpha )\] とおくと, $p(\alpha ) = 0$ であり, \[ p'(x) = f'(x)-f'(\alpha )\] から $p'(\alpha ) = 0$ となるので, $p(x) = f(x)-g(x)$ は $(x-\alpha )^2$ で割り切れる.

(2)

$C$ と $l$ は点 $(\beta,f(\beta ))$ で交わるから, $f(\beta )-g(\beta ) = 0$ である. よって, (1) の結果と因数定理により, \[ f(x)-g(x) = a(x-\alpha )^2(x-\beta )\] が成り立つ. ゆえに, \[\begin{aligned} S &= \left|\int_\alpha ^\beta |f(x)-g(x)|dx\right| \\ &= |a|\left|\int_\alpha ^\beta (x-\alpha )^2(\beta -x)dx\right| \\ &= |a|\left|\int_\alpha ^\beta (x-\alpha )^2\{ (\beta -\alpha )+(\alpha -x)\} dx\right| \\ &= |a|\left|\int_\alpha ^\beta\{ (\beta -\alpha )(x-\alpha )^2-(x-\alpha )^3\} dx\right| \\ &= |a|\left|\left[ (\beta -\alpha )\frac{(x-\alpha )^3}{3}-\frac{(x-\alpha )^4}{4}\right] _\alpha ^\beta\right| \\ &= |a|\left|\frac{(\beta -\alpha )^4}{3}-\frac{(\beta -\alpha )^4}{4}\right| \\ &= \frac{|a|}{12}(\beta -\alpha )^4 \end{aligned}\] が成り立つ.

　$f(x)-g(x) = a(x-\alpha )^2(x-\beta )^2$ であるから, \[\begin{aligned} S &= \left|\int_\alpha ^\beta |f(x)-g(x)|dx\right| \\ &= |a|\left|\int_\alpha ^\beta (x-\alpha )^2(x-\beta ) ^2dx\right| \\ &= |a|\left|\int_\alpha ^\beta (x-\alpha )^2\{ (x-\alpha )-(\beta -\alpha )\} ^2dx\right| \\ &= |a|\left|\int_\alpha ^\beta\{ (x\!-\!\alpha )^4\!-\!2(\beta\!-\!\alpha )(x\!-\!\alpha )^3\!+\!(\beta\!-\!\alpha )^2(x\!-\!\alpha )^2\} dx\right| \\ &= |a|\left|\left[\frac{(x-\alpha )^5}{5}-2(\beta -\alpha )\frac{(x-\alpha )^4}{4}+(\beta -\alpha )^2\frac{(x-\alpha )^3}{3}\right] _\alpha ^\beta\right| \\ &= |a|\left|\frac{(\beta -\alpha )^5}{5}-\frac{(\beta -\alpha )^5}{2}+\frac{(\beta -\alpha )^5}{3}\right| \\ &= \frac{|a|}{30}(\beta -\alpha )^5 \end{aligned}\] が成り立つ.