有名問題・定理から学ぶ数学

Well-Known Problems and Theorems in Mathematics

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面積(数学 II)

面積

定理《$2$ つの関数のグラフと $x = a,$ $x = b$ が囲む図形の面積》

 $a,$ $b$ を $a < b$ なる実数とし, $f(x),$ $g(x)$ を多項式とする. 曲線 $y = f(x),$ $y = g(x)$ と直線 $x = a,$ $x = b$ で囲まれた図形の面積 $S$ は, \[ S = \int_a^b|f(x)-g(x)|dx\] である.

問題《アルキメデスの定理》

 $a$ を正の数とし, 放物線 $C:y = ax^2$ 上に相異なる $2$ 点 $\mathrm A(\alpha,a\alpha ^2),$ $\mathrm B(\beta,a\beta ^2)$ をとる. さらに, $C$ 上の点 $\mathrm T(t,at^2)$ を, $C$ の $\mathrm T$ における接線と直線 $\mathrm{AB}$ の傾きが一致するようにとる.
(1)
等式 $\displaystyle\int_\alpha ^\beta (x-\alpha )(x-\beta )dx = -\frac{(\beta -\alpha )^3}{6}$ を示せ.
(2)
$\alpha,$ $\beta$ を用いて $t$ を表せ.
(3)
$C$ と直線 $\mathrm{AB}$ で囲まれた図形の面積 $S$ について, $S = \dfrac{4}{3}\triangle\mathrm{ABT}$ が成り立つことを示せ.

解答例

(1)
$t = x-\alpha$ と置換して左辺を計算すると, \[\begin{aligned} \int_\alpha ^\beta (x-\alpha )(x-\beta )dx &= \int_0^{\beta -\alpha}t(t+\alpha -\beta )dt \\ &= \int_0^{\beta -\alpha}\{ t^2-(\beta -\alpha )t\} dt \\ &= \left[\frac{t^3}{3}-(\beta -\alpha )\frac{t^2}{2}\right] _0^{\beta -\alpha} \\ &= -\frac{(\beta -\alpha )^3}{6} \quad \cdots [1] \end{aligned}\] となる.
(2)
$y = ax^2$ を微分すると, $y' = 2ax$ となる.
よって, $C$ の点 $\mathrm T$ における接線の傾きについて \[ 2at = \frac{a\beta ^2-a\alpha ^2}{\beta -\alpha} = a(\alpha +\beta )\] が成り立つから, $t$ は \[ t = \frac{\alpha +\beta}{2}\] と表される.
(3)
$\alpha < \beta$ とする(一般性は失われない). 直線 $\mathrm{AB}$ の方程式は \[ y-a\alpha ^2 = \frac{a\beta ^2-a\alpha ^2}{\beta -\alpha}(x-\alpha )\] つまり \[ y = a(\alpha +\beta )x-a\alpha\beta\] であるから, $[1]$ により \[\begin{aligned} S &= \int_\alpha ^\beta \{ a(\alpha +\beta )x-a\alpha\beta -ax^2\}dx \\ &= -a\int_\alpha^\beta (x-\alpha )(x-\beta )dx \\ &= \frac{a}{6}(\beta -\alpha )^3 \end{aligned}\] である.
また, 点 $\mathrm A,$ $\mathrm B$ を $x$ 軸方向に $-\dfrac{\alpha +\beta}{2},$ $y$ 軸方向に $-\dfrac{a(\alpha +\beta )^2}{4}$ だけ平行移動した点をそれぞれ $\mathrm A',$ $\mathrm B'$ とおくと, $\triangle\mathrm{ABT}$ の面積は $\triangle\mathrm{OA}'\mathrm B'$ の面積に等しい. $\mathrm A'\left(\dfrac{\alpha -\beta}{2},a\cdot\dfrac{4\alpha ^2-(\alpha +\beta )^2}{4}\right),$ $\mathrm B'\left(\dfrac{\beta -\alpha}{2},a\cdot\dfrac{4\beta ^2-(\alpha +\beta )^2}{4}\right)$ であるから, \[\begin{aligned} \triangle\mathrm{ABT} &= \triangle\mathrm{OA}'\mathrm B' \\ &= \frac{1}{2}\left|\frac{\alpha -\beta}{2}\times a\cdot\dfrac{4\beta ^2-(\alpha +\beta )^2}{4}\right. \\ &\qquad \left.-a\cdot\dfrac{4\alpha ^2-(\alpha +\beta )^2}{4}\times\dfrac{\beta -\alpha}{2}\right| \\ &= \frac{1}{2}\cdot\frac{a}{4}\cdot\frac{\beta -\alpha}{2}|2(\alpha +\beta )^2-4\alpha ^2-4\beta ^2| \\ &= \frac{a}{8}(\beta -\alpha )^3 \end{aligned}\] である. ゆえに, \[ S = \frac{4}{3}\cdot\frac{a}{8}(\beta -\alpha )^3 = \frac{4}{3}\triangle\mathrm{ABT}\] が成り立つ.

背景

 (3) で示した等式は「アルキメデスの定理」(Archimedes' theorem)として有名である. 古代ギリシアの数学者アルキメデスは, $\triangle\mathrm{ABT}$ に次々と小さな三角形の面積を加えていく方法を使って, この定理を証明した.

問題《放物線と $2$ 接線が囲む図形の面積》

 $2$ 次関数 $f(x) = ax^2+bx+c$ について, 次のことを示せ.
(1)
放物線 $y = f(x)$ とその点 $(\alpha,f(\alpha))$ における接線, 直線 $x = p$ で囲まれた図形の面積 $S$ は \[ S = \frac{|a|}{3}|p-\alpha |^3\] である.
(2)
放物線 $y = f(x)$ とその点 $(\alpha,f(\alpha)),$ $(\beta,f(\beta ))$ $(\alpha < \beta )$ における接線で囲まれた図形の面積 $S$ は \[ S = \frac{|a|}{12}(\beta -\alpha )^3\] である.

解答例

(1)
$f'(x) = 2ax+b$ であるから, 放物線 $y = f(x)$ の点 $(\alpha,f(\alpha ))$ における接線の方程式は, \[ y-(a\alpha ^2+b\alpha +c) = (2a\alpha +b)(x-\alpha )\] つまり \[ y = (2a\alpha +b)x-a\alpha ^2+c\] である. この右辺を $g(x)$ とおくと, \[\begin{aligned} &f(x)-g(x) \\ &= (ax^2+bx+c)-\{ (2a\alpha +b)x-a\alpha ^2+c\} \\ &= ax^2-2a\alpha x+a\alpha ^2 = a(x-\alpha )^2 \end{aligned}\] となるから, \[\begin{aligned} S &= \left|\int_\alpha ^p|f(x)-g(x)| dx\right| = |a|\left|\int_\alpha ^p(x-\alpha )^2dx\right| \\ &= |a|\left|\left[\frac{(x-\alpha )^3}{3}\right] _\alpha ^p\right| = \frac{|a|}{3}|p-\alpha |^3 \end{aligned}\] が成り立つ.
(2)
放物線 $y = f(x)$ の点 $(\beta,f(\beta ))$ における接線の方程式は, \[ y = (2a\beta +b)x-a\beta ^2+c\] である. よって, $2$ 本の接線の交点の $x$ 座標は, \[ (2a\alpha +b)x-a\alpha ^2+c = (2a\beta +b)x-a\beta ^2+c\] の解であるから, $a \neq 0,$ $\alpha \neq \beta$ に注意すると, \[ x = \frac{a(\beta ^2-\alpha ^2)}{2a(\beta -\alpha )} = \frac{\alpha +\beta}{2}\] である. $y = f(x)$ と $2$ 本の接線で囲まれた図形の面積は, 直線 $x = \dfrac{\alpha +\beta}{2}$ で $2$ つに分けて考えると, (1) の結果から \[\begin{aligned} S &= \frac{|a|}{3}\left(\frac{\alpha +\beta}{2}-\alpha\right) ^3+\frac{|a|}{3}\left(\beta -\frac{\alpha +\beta}{2}\right) ^3 \\ &= 2\cdot\frac{|a|}{3}\left(\frac{\beta -\alpha}{2}\right) ^3 = \frac{|a|}{12}(\beta -\alpha )^3 \end{aligned}\] であることがわかる.

参考

  • $2$ 次関数 $f(x) = ax^2+bx+c$ について, 放物線 $C:y = f(x)$ 上に $2$ 点 $\mathrm A(\alpha,f(\alpha )),$ $\mathrm B(\beta,f(\beta ))$ $(\alpha < \beta )$ をとる. $C$ とその弦 $\mathrm{AB}$ で囲まれた図形の面積 $S_1,$ および $C$ と $C$ の点 $\mathrm A,$ $\mathrm B$ における接線で囲まれた図形の面積 $S_2$ の比は \[ S_1:S_2 = \frac{|a|}{6}(\beta -\alpha )^3:\frac{|a|}{12}(\beta -\alpha )^3 = 2:1\] である.
  • 放物線 $C:y = ax^2+bx+c,$ $C':y = ax^2+b'x+c'$ がそれぞれ $x = \alpha,$ $x = \beta$ なる点で直線 $\ell$ に接するとき, $C,$ $C',$ $\ell$ が囲む図形の面積も $\dfrac{|a|}{12}(\beta -\alpha )^3$ であることが, 同様の計算でわかる.

問題《放物線と直交する接線が囲む図形の面積》

 放物線 $C:y = x^2$ の点 $\mathrm A(\alpha,\alpha ^2),$ $\mathrm B(\beta,\beta ^2)$ における接線 $l,$ $m$ が直交するように点 $\mathrm A,$ $\mathrm B$ が動くとき, $C$ と線分 $\mathrm{AB}$ で囲まれた図形の面積 $S$ の最小値を求めよ.

解答例

 $y = x^2$ の導関数は, $y' = 2x$ である. よって, 接線 $l$ の方程式は, $y = 2\alpha (x-\alpha )+\alpha ^2$ つまり \[ y = 2\alpha x-\alpha ^2\] である. 同様に, $m$ の方程式は, \[ y = 2\beta x-\beta ^2\] である. これらが直交する条件は, $2\alpha\cdot 2\beta = -1$ つまり \[\alpha\beta = -\frac{1}{4}\] である. よって, $\alpha < 0 < \beta$ として一般性を失わない. また, 直線 $\mathrm{AB}$ の方程式は, \[ y-\alpha ^2 = \dfrac{\beta ^2-\alpha ^2}{\beta -\alpha}(x-\alpha )\] つまり \[ y = (\alpha +\beta )x-\alpha\beta\] である. よって, \[\begin{aligned} S &= \int _\alpha ^\beta\{ (\alpha +\beta )x-\alpha\beta -x^2\} dx \\ &= -\int_\alpha^\beta (x-\alpha )(x-\beta )dx \\ &= -\frac{1}{6}(\beta -\alpha )^2 = \frac{1}{6}\left(\beta +\frac{1}{4\beta}\right) ^3 \end{aligned}\] である. したがって, 相加・相乗平均の不等式により, \[ S \geqq \frac{1}{6}\left( 2\sqrt{\beta\cdot\frac{1}{4\beta}}\right) ^3 = \frac{1}{6}\] である. 等号は $\alpha = -\dfrac{1}{2},$ $\beta = \dfrac{1}{2}$ のときに成り立つ. ゆえに, 求める最小値は $\dfrac{1}{6}$ である.

問題《$3$ 次関数のグラフと接線が囲む図形の面積》

 $3$ 次関数 $f(x) \!=\! ax^3\!+\!bx^2\!+\!cx\!+\!d$ のグラフ $C:y \!=\! f(x)$ と $C$ の点 $(\alpha,f(\alpha ))$ における接線 $\ell :y = g(x)$ が点 $(\beta,f(\beta ))$ $(\alpha \neq \beta )$ で交わるとする. 次のことを示せ. ただし, 多項式 $p(x)$ について, $p(\alpha ) = p'(\alpha ) = 0$ であるとき $p(x)$ が $(x-\alpha )^2$ で割り切れること(こちらを参照)は, 証明なしに用いてよい.
(1)
$f(x)-g(x)$ は $(x-\alpha )^2$ で割り切れる.
(2)
$C$ と $\ell$ で囲まれた図形の面積 $S$ は \[ S = \frac{|a|}{12}(\beta -\alpha )^4\] である.

解答例

(1)
$C:y = f(x)$ の点 $(\alpha,f(\alpha ))$ における接線 $\ell:y = g(x)$ の方程式は \[ y = f'(\alpha )(x-\alpha )+f(\alpha )\] であるから, \[ g(x) = f'(\alpha )(x-\alpha )+f(\alpha )\] である. \[ p(x) = f(x)-g(x) = f(x)-f(\alpha )-f'(\alpha )(x-\alpha )\] とおくと, $p(\alpha ) = 0$ であり, \[ p'(x) = f'(x)-f'(\alpha )\] から $p'(\alpha ) = 0$ となるので, $p(x) = f(x)-g(x)$ は $(x-\alpha )^2$ で割り切れる.
(2)
$C$ と $\ell$ は点 $(\beta,f(\beta ))$ で交わるから, $f(\beta )-g(\beta ) = 0$ である. よって, (1) の結果と因数定理により, \[ f(x)-g(x) = a(x-\alpha )^2(x-\beta )\] が成り立つ. ゆえに, \[\begin{aligned} S &= \left|\int_\alpha ^\beta |f(x)-g(x)|dx\right| \\ &= |a|\left|\int_\alpha ^\beta (x-\alpha )^2(\beta -x)dx\right| \\ &= |a|\left|\int_\alpha ^\beta (x-\alpha )^2(\beta -\alpha +\alpha -x)dx\right| \\ &= |a|\left|(\beta -\alpha )\int_\alpha ^\beta (x-\alpha )^2dx-\int_\alpha ^\beta (x-\alpha )^3dx\right| \\ &= |a|\left|(\beta -\alpha )\left[\frac{(x-\alpha )^3}{3}\right] _\alpha ^\beta -\left[\frac{(x-\alpha )^4}{4}\right] _\alpha ^\beta\right| \\ &= |a|\left|\frac{(\beta -\alpha )^4}{3}-\frac{(\beta -\alpha )^4}{4}\right| \\ &= \frac{|a|}{12}(\beta -\alpha )^4 \end{aligned}\] である.