不定積分・定積分 (文系・理系共通)
定積分
問題《シンプソンの公式にまつわる等式》
$f(x)$ を $3$ 次以下の多項式関数とする.
- (1)
- \[\int_{-h}^hf(x)\,dx = \frac{h}{3}\{ f(-h)+4f(0)+f(h)\}\] が成り立つことを示せ.
- (2)
- $f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $-m$ だけ平行移動して, 定積分を面積に対応づけて考えることにより, \[\int_a^bf(x)\,dx = \int_{a-m}^{b-m}f(t+m)\,dt\] が成り立つ. このことを使って, \[\int_a^bf(x)\,dx = \frac{b-a}{6}\left\{ f(a)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right\}\] が成り立つことを示せ.
解答例
- (1)
- $f(x) = px^3+qx^2+rx+s$ ($p,$ $q,$ $r,$ $s$: 実数) とおく. このとき, \[\begin{aligned} &\int_{-h}^hf(x)\,dx \\ &= \int_{-h}^h(px^3+qx^2+rx+s)\,dx = 2\int_0^h(qx^2+s)\,dx \\ &= 2\left[\frac{qx^3}{3}+sx\right] _0^h = 2\left(\frac{qh^3}{3}+sh\right) = \frac{h}{3}(2qh^2+6s), \\ &f(-h)+4f(0)+f(h) \\ &= (-ph^3+qh^2-rh+s)+4s+(ph^3+qh^2+rh+s) \\ &= 2qh^2+6s \end{aligned}\] であるから, \[\int_{-h}^hf(x)\,dx = \frac{h}{3}\{ f(-h)+4f(0)+f(h)\}\] が成り立つ.
- (2)
- $m = \dfrac{a+b}{2},$ $h = \dfrac{b-a}{2}$ とおくと \[ a-m = -h, \qquad b-m = h\] となるから, (1) の結果により \[\begin{aligned} \int_a^bf(x)\,dx &= \int_{-h}^hf(t+m)\,dt \\ &= \frac{h}{3}\{ f(-h+m)+4f(m)+f(h+m)\} \\ &= \frac{b-a}{6}\left\{ f(a)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right\} \end{aligned}\] が得られる.
参考
- 本問は,「シンプソンの公式」(Simpson's rule) という連続関数の定積分に関する近似公式 \[\int_a^bf(x)\,dx \fallingdotseq \frac{b-a}{6}\left\{ f(a)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right\}\] を背景としている.
- (2) の考え方は,「置換積分法」に一般化される (理系).
問題《ルジャンドル多項式》
実数 $\alpha,$ $\beta$ $(\alpha > \beta )$ は, すべての $1$ 次関数または定数関数 $f(x)$ に対して
\[\int_{-1}^1(x-\alpha )(x-\beta )f(x)\,dx = 0\]
を満たすとする.
- (1)
- $\alpha,$ $\beta$ の値を求めよ.
- (2)
- すべての $3$ 次関数 $f(x)$ に対して \[\int_{-1}^1f(x)\,dx = f(\alpha )+f(\beta )\] が成り立つことを示せ.
(参考: $2001,$ $1978$ 名古屋大)
解答例
- (1)
- $f(x) = px+q$ ($p,$ $q$: 実数) を任意の $1$ 次関数または定数関数とする. このとき, \[\begin{aligned} 0 &=\int_{-1}^1(x-\alpha )(x-\beta )f(x)\,dx \\ &= \int_{-1}^1\{ x^2-(\alpha +\beta )x+\alpha\beta \} (px+q)\,dx \\ &= 2\int_0^1\{ qx^2-(\alpha +\beta )px^2+\alpha\beta q\}\,dx \\ &= 2\left[\frac{q}{3}x^3-\frac{(\alpha +\beta )p}{3}x^3+\alpha\beta qx\right] _0^1 \\ &= 2\left\{\frac{q}{3}-\frac{(\alpha +\beta )p}{3}+\alpha\beta q\right\} \\ &= -\frac{2}{3}(\alpha +\beta )p+2\left(\alpha\beta +\frac{1}{3}\right) q \end{aligned}\] は $p,$ $q$ に関する恒等式になるから, \[\alpha +\beta = 0, \quad \alpha\beta = -\frac{1}{3}\] が成り立つ. よって, $\alpha,$ $\beta\ (\alpha > \beta )$ は $x^2-\dfrac{1}{3} = 0$ の実数解であるから, \[\alpha = \frac{\sqrt 3}{3}, \quad \beta = -\frac{\sqrt 3}{3}\] である.
- (2)
- $f(x)$ を任意の $3$ 次関数とする. これを多項式と考えたときに, $f(x)$ を $x^2-\dfrac{1}{3}$ で割った商を $q(x),$ 余りを $r(x) = ax+b$ ($a,$ $b$: 実数) とおく. (1) の $\alpha,$ $\beta$ について, 直線 $y = r(x)$ 上の $2$ 点 $(\alpha,r(\alpha )),$ $(\beta,r(\beta ))$ は $y$ 切片 $(0,b)$ に関して対称であるから, $\dfrac{r(\alpha )+r(\beta )}{2} = b$ であることに注意する. このとき, \[ f(x) = \left( x^2-\frac{1}{3}\right) q(x)+ax+b\] となり, $q(x)$ は $1$ 次式となるので, (1) の結果から, \[\begin{aligned} \int_{-1}^1f(x)\,dx &= \int_{-1}^1\left( x^2-\frac{1}{3}\right) q(x)\,dx+\int_{-1}^1(ax+b)\,dx \\ &= 0+2\int_0^1b\,dx = 2[bx] _0^1 = 2b \\ &= r(\alpha )+r(\beta ) = f(\alpha )+f(\beta ) \end{aligned}\] が得られる.
参考
- 定積分の関係式 \[\int_{-1}^1P_m(x)P_n(x)\,dx = \begin{cases} 0 & (m \neq n), \\ \dfrac{2}{2n+1} & (m = n) \end{cases}\] を満たす多項式 $P_n(x)$ ($n$: 非負整数) を「ルジャンドル多項式」(Legendre polynomial) と呼ぶ. \[\begin{aligned} &P_0(x) = 1, \quad P_1(x) = x, \quad P_2(x) = \frac{3}{2}x^2-\frac{1}{2}, \\ &P_3(x) = \frac{5}{2}x^3-\frac{3}{2}x, \quad P_4(x) = \frac{35}{8}x^4-\frac{15}{4}x^2+\frac{3}{8}, \quad \cdots \end{aligned}\] である.
- $P_n(x)$ の次数は $n$ であり, すべての実数係数多項式は「ルジャンドル多項式」の定数倍の和としてただ $1$ 通りに表せることが知られている. よって, $n-1$ 次以下のすべての多項式 $f(x)$ に対して \[\int_{-1}^1P_n(x)f(x) = 0\] が成り立つ. 本問では, $\dfrac{2}{3}P_2(x)$ を求めた.
- 「ルジャンドル多項式」は物理学でさまざまな応用をもつ.
定積分の等式
問題《ベルヌーイ多項式と累乗和の公式》
- (1)
- すべての実数 $x$ に対して \[\int_x^{x+1}(at^2+bt+c)\,dt = x^2\] を満たす定数 $a,$ $b,$ $c$ の値を求めよ.
- (2)
- すべての正の整数 $n$ に対して \[\sum_{k = 1}^nk^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\] が成り立つことを示せ.
(参考: $2023$ 大学入学共通テスト追試)
解答例
- (1)
- 左辺を計算すると, \[\begin{aligned} &\int_x^{x+1}(at^2+bt+c)\,dt = \left[\frac{at^3}{3}+\frac{bt^2}{2}+ct\right] _x^{x+1} \\ &= \frac{a(x+1)^3}{3}+\frac{b(x+1)^2}{2}+c(x+1)-\frac{ax^3}{3}-\frac{bx^2}{2}-cx \\ &= \frac{a(3x^2+3x+1)}{3}+\frac{b(2x+1)}{2}+c \\ &= ax^2+(a+b)x+\frac{2a+3b+6c}{6} \end{aligned}\] となる. これと $x^2$ の係数を比較すると, \[ a = 1, \quad a+b = 0, \quad \frac{2a+3b+6c}{6} = 0\] から, $a = 1,$ $b = -1,$ $c = \dfrac{1}{6}$ が得られる.
- (2)
- (1) の結果 \[\int_x^{x+1}\left( t^2-t+\frac{1}{6}\right)\,dt = x^2\] から, \[\begin{aligned} \sum_{k = 1}^nk^2 &= \sum_{k = 1}^n\int_k^{k+1}\left( t^2-t+\frac{1}{6}\right)\,dt \\ &= \int_1^{n+1}\left( t^2-t+\frac{1}{6}\right)\,dt \\ &= \left[\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}+\frac{t}{6}\right] _1^{n+1} \\ &= \frac{(n+1)^3}{3}-\frac{(n+1)^2}{2}+\frac{n+1}{6}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{6} \\ &= \frac{n^3+3n^2+3n}{3}-\frac{n^2+2n}{2}+\frac{n}{6} \\ &= \frac{2n^3+3n^2+n}{6} \\ &= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{aligned}\] が得られる.
注意
微分積分学の基本定理, 合成関数の微分の公式を使うと, (1) の $a,$ $b$ の値は, 次のように求められる.
\[ f(x) = ax^2+bx+c, \quad F(x) = \int_0^xf(t)\,dt\]
とおくと,
\[\begin{aligned}
\frac{d}{dx}F(x) &= f(x), \\
\frac{d}{dx}F(x+1) &= F'(x+1)\cdot (x+1)' = f(x+1)
\end{aligned}\]
となるから, 与式つまり
\[ F(x+1)-F(x) = x^2\]
の両辺を $x$ で微分すると
\[ f(x+1)-f(x) = 2x\]
となる.
よって,
\[\begin{aligned}
a(x+1)^2+b(x+1)+c-ax^2-bx-c &= 2x \\
2ax+(a+b) &= 2x
\end{aligned}\]
であるから, 両辺を比較すると $2a = 2,$ $a+b = 0$ つまり $a = 1,$ $b = -1$ が得られる.
参考
- 非負整数 $m$ に対して, \[\int_x^{x+1}B_m(t)\,dt = x^m\] を満たす $m$ 次多項式 $B_m(x)$ が存在する. この多項式を「$m$ 次ベルヌーイ多項式」(Bernoulli polynomial of degree $m$) と呼ぶ. (2) と同様に, \[\sum_{k = 1}^nk^m = \int_1^{n+1}B_m(t)\,dt \quad \cdots [1]\] が成り立つ. 「ベルヌーイ多項式」$B_m(x)$ は \[ B_m(x) = \sum_{k = 0}^m{}_m\mathrm C_kB_kx^{m-k} \quad \cdots [2]\] と表されることが知られている. ここで, $B_0,$ $\cdots,$ $B_m$ は「ベルヌーイ数」(Bernoulli number) と呼ばれる有理数で, $B_0 = 1$ と \[\sum_{k = 0}^n{}_{n+1}\mathrm C_kB_k = 0\] という関係式で定まる.
- 「ベルヌーイ多項式」$B_m(x)$ を $m$ の小さい順に書き出すと, \[\begin{aligned} B_0(x) &= 1, \\ B_1(x) &= x-\frac{1}{2}, \\ B_2(x) &= x^2-x+\frac{1}{6}, \\ B_3(x) &= x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x, \\ B_4(x) &= x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30}, \\ B_5(x) &= x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{3}x^3-\frac{1}{6}x \\ &\vdots \end{aligned}\] となる.
- 「三角数」の公式も,「ベルヌーイ多項式」を使うと, \[\sum_{k = 1}^nk = \int_1^{n+1}\left( t-\frac{1}{2}\right)\,dt = \left[\frac{t^2}{2}-\frac{t}{2}\right]_1^{n+1} = \frac{1}{2}n(n+1)\] と導ける.
- 一般に,「ファウルハーバーの公式」(Faulhaber's formula) \[\sum_{k = 1}^nk^m = \frac{1}{m+1}\sum_{k = 0}^m(-1)^k{}_{m+1}\mathrm C_kB_kn^{m-k+1}\] が成り立つ.