有名問題・定理から学ぶ数学

Well-Known Problems and Theorems in Mathematics

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格子多角形

格子多角形

定義≪格子多角形≫

 座標平面上の各座標が整数である点を格子点(lattice point)と呼び, すべての頂点が格子点であるような多角形を格子多角形(lattice polygon)と呼ぶ.

定理≪格子正多角形≫

 格子正多角形は正方形に限る.

問題

数学 II: 式と証明

問題≪ラグランジュの恒等式とその応用≫

(1)
$(ac\!+\!bd)^2\!+\!(ad\!-\!bc)^2 \!=\! (a^2\!+\!b^2)(c^2\!+\!d^2)$ を示せ.
(2)
頂点の各座標が整数である正三角形は存在しないことを示せ. ただし, $\sqrt 3$ が無理数であることは, 証明なしに用いてよい.

解答例

 こちらを参照.

数学 II: 図形と方程式

問題≪三角形の面積の公式とその応用≫

 次のことを示せ.
(1)
原点 $\mathrm O$ と点 $\mathrm P(a,b),$ $\mathrm Q(c,d)$ を頂点とする三角形 $\mathrm{OPQ}$ の面積は \[\triangle\mathrm{OPQ} = \frac{1}{2}|ad-bc|\] である.
(2)
頂点の各座標が整数であるような正三角形は存在しない.
 ただし, $\sqrt 3$ が無理数であることは, 証明なしに用いてよい.

解答例

 こちらを参照.

数学 II: 三角関数

問題≪$\pi$ の有理数倍の余弦が有理数になる条件≫

 次のことを示せ.
(1)
正の整数 $n$ に対して, すべての実数 $\theta$ について $f_n(2\cos\theta ) = 2\cos n\theta$ を満たし, 最高次の係数が $1$ である整数係数の整式 $f_n(x)$ が存在する.
(2)
最高次の係数が $1$ である整数係数の整式 $\varphi (x)$ に対して, $\varphi (x) = 0$ が有理数解 $\alpha$ を持つならば, $\alpha$ は整数解である.
(3)
鋭角 $\theta$ について, $\cos\theta$ と $\dfrac{\theta}{\pi}$ が有理数であるとき, $\theta = \dfrac{\pi}{3}$ である.

解答例

 こちらを参照.