格子多角形

　座標平面上の各座標が整数である点を格子点(lattice point)と呼び, すべての頂点が格子点であるような多角形を格子多角形(lattice polygon)と呼ぶ.

　格子正多角形は正方形に限る.

問題

(1): $(ac\!+\!bd)^2\!+\!(ad\!-\!bc)^2 \!=\! (a^2\!+\!b^2)(c^2\!+\!d^2)$ を示せ.
(2): 頂点の各座標が整数である正三角形は存在しないことを示せ. ただし, $\sqrt 3$ が無理数であることは, 証明なしに用いてよい.

　こちらを参照.

　次のことを示せ.

(1): 原点 $\mathrm O$ と点 $\mathrm P(a,b),$ $\mathrm Q(c,d)$ を頂点とする三角形 $\mathrm{OPQ}$ の面積は \[\triangle\mathrm{OPQ} = \frac{1}{2}|ad-bc|\] である.
(2): 頂点の各座標が整数であるような正三角形は存在しない.

　ただし, $\sqrt 3$ が無理数であることは, 証明なしに用いてよい.

　こちらを参照.