格子多角形
格子多角形
定義《格子多角形》
座標平面上の各座標が整数である点を格子点(lattice point)と呼び,
すべての頂点が格子点であるような多角形を格子多角形(lattice polygon)と呼ぶ.
定理《格子正多角形》
格子正多角形は正方形に限る.
問題
数学 II: 式と証明
問題《ラグランジュの恒等式とその応用》
- (1)
- $(ac\!+\!bd)^2\!+\!(ad\!-\!bc)^2 \!=\! (a^2\!+\!b^2)(c^2\!+\!d^2)$ を示せ.
- (2)
- 頂点の各座標が整数である正三角形は存在しないことを示せ. ただし, $\sqrt 3$ が無理数であることは, 証明なしに用いてよい.
解答例
こちらを参照.
数学 II: 図形と方程式
問題《三角形の面積の公式とその応用》
次のことを示せ.
- (1)
- 原点 $\mathrm O$ と点 $\mathrm P(a,b),$ $\mathrm Q(c,d)$ を頂点とする三角形 $\mathrm{OPQ}$ の面積は \[\triangle\mathrm{OPQ} = \frac{1}{2}|ad-bc|\] である.
- (2)
- 頂点の各座標が整数であるような正三角形は存在しない.
解答例
こちらを参照.
数学 II: 三角関数
問題《$\pi$ の有理数倍の余弦が有理数になる条件》
次のことを示せ.
- (1)
- 正の整数 $n$ に対して, すべての実数 $\theta$ について $f_n(2\cos\theta ) = 2\cos n\theta$ を満たし, 最高次の係数が $1$ である整数係数の多項式 $f_n(x)$ が存在する.
- (2)
- 最高次の係数が $1$ である整数係数の多項式 $\varphi (x)$ に対して, $\varphi (x) = 0$ が有理数解 $\alpha$ を持つならば, $\alpha$ は整数解である.
- (3)
- 鋭角 $\theta$ について, $\cos\theta$ と $\dfrac{\theta}{\pi}$ が有理数であるとき, $\theta = \dfrac{\pi}{3}$ である.
解答例
こちらを参照.