格子多角形

　座標平面において, 座標の各成分が整数である点を格子点 (lattice point) と呼び, すべての頂点が格子点であるような多角形を格子多角形 (lattice polygon) と呼ぶ.

　格子正多角形は正方形に限る.

高校数学の問題

　次のことを示せ. ただし, $\sqrt 3$ が無理数であることは, 証明なしに使ってよい.

　こちらを参照.

　次のことを示せ.

(1): 原点 $\mathrm O$ と点 $\mathrm P(a,b),$ $\mathrm Q(c,d)$ を頂点とする三角形 $\mathrm{OPQ}$ の面積は \[\triangle\mathrm{OPQ} = \frac{1}{2}|ad-bc|\] である.
(2): 各頂点の $x$ 座標, $y$ 座標が整数であるような正三角形は存在しない.

　ただし, $\sqrt 3$ が無理数であることは, 証明なしに使ってよい.

　こちらを参照.

　次のことを示せ.

(1): $n$ を正の整数とする. すべての実数 $\theta$ に対して $f_n(2\cos\theta ) = 2\cos n\theta$ を満たし, 最高次の係数が $1$ である整数係数の $n$ 次多項式 $f_n(x)$ が存在する.
(2): 最高次の係数が $1$ の整数係数多項式 $\varphi (x)$ に対して, $\varphi (x) = 0$ が有理数解 $\alpha$ をもつならば, $\alpha$ は整数である.
(3): 鋭角 $\theta$ に対して, $\cos\theta,$ $\dfrac{\theta}{\pi}$ が有理数になるのは, $\theta = \dfrac{\pi}{3}$ のときに限る.
(4): 鋭角 $\theta$ に対して, $\sin\theta,$ $\dfrac{\theta}{\pi}$ が有理数になるのは, $\theta = \dfrac{\pi}{6}$ のときに限る.
(5): 鋭角 $\theta$ に対して, $\tan\theta,$ $\dfrac{\theta}{\pi}$ が有理数になるのは, $\theta = \dfrac{\pi}{4}$ のときに限る. (ヒント: $\cos 2\theta = \dfrac{1-\tan ^2\theta}{1+\tan ^2\theta}$ を使う.)

　こちらを参照.