有名問題・定理から学ぶ数学

Well-Known Problems and Theorems in Mathematics

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ゲルフォント=シュナイダーの定理

ゲルフォント=シュナイダーの定理

定義《代数的数, 超越数》

(1)
ある有理数係数多項式 $f(x)$ について $f(x) = 0$ の解として表される数を代数的数(algebraic number)と呼ぶ.
(2)
代数的数でない実数を超越数(transcendental number)と呼ぶ.

定理《ゲルフォント=シュナイダーの定理》

 $0$ でも $1$ でもない代数的数 $\alpha$ と, 有理数でない代数的数 $\beta$ に対して, $\alpha ^\beta$ は超越数である.

問題

数学 II: 指数関数・対数関数

問題《$2^{\sqrt 2}$ の無理性にまつわる問題》

 $2^{\sqrt 2},$ $2^{\sqrt 2}\sqrt 2$ の少なくとも一方は無理数であることを示せ.
(参考: 2007 佐賀大)

解答例

 こちらを参照.