ゲルフォント=シュナイダーの定理
ゲルフォント=シュナイダーの定理
定義《代数的数, 超越数》
- (1)
- ある有理数係数多項式 $f(x)$ について $f(x) = 0$ の解として表される数を代数的数(algebraic number)と呼ぶ.
- (2)
- 代数的数でない実数を超越数(transcendental number)と呼ぶ.
定理《ゲルフォント=シュナイダーの定理》
$0$ でも $1$ でもない代数的数 $\alpha$ と, 有理数でない代数的数 $\beta$ に対して,
$\alpha ^\beta$ は超越数である.
高校数学の問題
指数関数・対数関数
問題《$2^{\sqrt 2}$ の無理性にまつわる問題》
$2^{\frac{1}{2}+\sqrt 2},$ $2^{\sqrt 2}$ の少なくとも一方は無理数であることを示せ.
ただし, $\sqrt 2$ が無理数であることは証明なしに使ってよい.
解答例
こちらを参照.