ゲルフォント=シュナイダーの定理

(1): ある有理数係数多項式 $f(x)$ について $f(x) = 0$ の解として表される数を代数的数(algebraic number)と呼ぶ.
(2): 代数的数でない実数を超越数(transcendental number)と呼ぶ.

　$0$ でも $1$ でもない代数的数 $\alpha$ と, 有理数でない代数的数 $\beta$ に対して, $\alpha ^\beta$ は超越数である.

問題

　$2^{\sqrt 2},$ $2^{\sqrt 2}\sqrt 2$ の少なくとも一方は無理数であることを示せ.

(参考: 2007 佐賀大)

　こちらを参照.