$1 = \mathrm{AB} < \mathrm{AD}$ なる長方形 $\mathrm{ABCD}$ から正方形 $\mathrm{ABFE}$ を切り取ってできる長方形 $\mathrm{DEFC}$ がもとの長方形 $\mathrm{ABCD}$ と相似になるとき, 辺 $\mathrm{AD}$ の長さ $x$ を求めよ. ただし, $\mathrm E,$ $\mathrm F$ はそれぞれ辺 $\mathrm{AD},$ $\mathrm{BC}$ 上の点である.

(1)

実数 $\theta$ に対して $\cos 3\theta = 4\cos ^3\theta -3\cos\theta$ が成り立つことを示せ.

(2)

$a = \cos\dfrac{2\pi}{5}$ の値を求めよ.

(3)

$1$ 辺の長さが $1$ の正五角形の対角線の長さを求めよ.

　$\varphi = \dfrac{1+\sqrt 5}{2}$ のとき, 無限等比級数 $\displaystyle\sum_{n = 0}^\infty (\varphi -1)^{2n}$ の和を求めよ.

　$a\,(\neq 1)$ を正の数とし, 極方程式 \[ r = a^\theta\] で定まる曲線を $C$ とおく.

(1)

$\alpha$ を実数, $k$ を正の数とする. 次のことを示せ.

• $C$ を極の周りに角 $\alpha$ だけ回転することは, 極を中心に $a^\alpha$ 倍に拡大することに他ならない.
• $C$ を極を中心に $k$ 倍に拡大することは, 極の周りに角 $\log_ak$ だけ回転することに他ならない.
• $C$ と $C$ 自身は $1:k$ の比 (任意の比) で相似である.

(2)

各整数 $n$ に対して, $C$ の $\dfrac{(n-1)\pi}{2} \leqq \theta \leqq \dfrac{n\pi}{2}$ の部分と $\dfrac{n\pi}{2} \leqq \theta \leqq \dfrac{(n+1)\pi}{2}$ の部分が $1:\dfrac{1+\sqrt 5}{2}$ の比で相似であるとする. このとき, $a$ の値を求めよ.

　関数 $f(x) = 1+\dfrac{1}{x}$ $(x > 0)$ を用いて, 数列 $\{ a_n\}$ を \[ a_1 = 1, \quad a_{n+1} = f(a_n)\] で定める.

(1)

$f(x) = x$ はただ $1$ つの実数解 $\alpha$ をもつ. $\alpha$ の値を求めよ.

(2)

\[ x < \alpha \Longrightarrow f(x) > \alpha, \quad x > \alpha \Longrightarrow f(x) < \alpha\] が成り立つことを示せ.

(3)

$1 \leqq a_{2n-1} < \alpha < a_{2n}$ が成り立つことを示せ.

(4)

$\alpha -a_{2n+1} < \alpha ^{-2}(\alpha -a_{2n-1})$ が成り立つことを示せ (ヒント: $f(x)$ と区間 $[a_{2n-1},\alpha ],$ $[\alpha,a_{2n}]$ に平均値の定理の定理を適用).

(5)

数列 $\{ a_{2n-1}\},$ $\{ a_{2n}\}$ はともに $\alpha$ に収束することを示せ.