フィボナッチ数列の一般項
フィボナッチ数列
定義《フィボナッチ数列, リュカ数列》
- (1)
- 初期条件 $F_1 = F_2 = 1$ と隣接 $3$ 項間漸化式 $F_{n+2} = F_n+F_{n+1}$ で定まる数列 \[\{ F_n\}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,\cdots\] をフィボナッチ数列 (Fibonacci sequence) と呼び, その項として表される整数をフィボナッチ数 (Fibonacci number) と呼ぶ.
- (2)
- 初期条件 $L_1 = 1,$ $L_2 = 3$ と隣接 $3$ 項間漸化式 $L_{n+2} = L_n+L_{n+1}$ で定まる数列 \[\{ L_n\}:1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,199,322,\cdots\] をリュカ数列 (Lucas sequence) と呼び, その項として表される整数をリュカ数 (Lucas number) と呼ぶ.
ビネの公式
定理《ビネの公式》
フィボナッチ数列 $\{ F_n\},$ リュカ数列 $\{ L_n\}$ の一般項は
\[\begin{aligned}
F_n &= \frac{1}{\sqrt 5}\left\{\left(\frac{1+\sqrt 5}{2}\right) ^n-\left(\frac{1-\sqrt 5}{2}\right) ^n\right\}, \\
L_n &= \left(\frac{1+\sqrt 5}{2}\right) ^n+\left(\frac{1-\sqrt 5}{2}\right) ^n
\end{aligned}\]
である.
証明
フィボナッチ数列については, こちらを参照.
ビネの公式の応用
定理《フィボナッチ数列の隣接項の比》
フィボナッチ数列 $\{ F_n\},$ リュカ数列 $\{ L_n\}$ について,
\[\lim\limits_{n \to \infty}\frac{F_{n+1}}{F_n} = \lim\limits_{n \to \infty}\frac{L_{n+1}}{L_n} = \frac{1+\sqrt 5}{2}\]
が成り立つ.
証明
$\varphi = \dfrac{1+\sqrt 5}{2},$ $\tilde\varphi = \dfrac{1-\sqrt 5}{2}$ とおく.
$\left|\dfrac{\tilde\varphi}{\varphi}\right| = \dfrac{\sqrt 5-1}{1+\sqrt 5} < 1$ であるから, ビネの公式により
\[\begin{aligned}
\frac{F_{n+1}}{F_n} &= \frac{\varphi ^{n+1}-\tilde\varphi ^{n+1}}{\varphi ^n-\tilde\varphi ^n} = \frac{\varphi -\tilde\varphi\left(\dfrac{\tilde\varphi}{\varphi}\right) ^n}{1-\left(\dfrac{\tilde\varphi}{\varphi}\right) ^n} \\
&\to \varphi = \frac{1+\sqrt 5}{2} \quad (n \to \infty )
\end{aligned}\]
となる.
リュカ数列についても同様である.
リュカ数列についても同様である.
定理《フィボナッチ数列とリュカ数列の相互関係》
すべての非負整数 $n$ に対して,
- (1)
- $L_{n+1} = F_n+F_{n+2}$
- (2)
- $F_{2n} = F_nL_n$
- (3)
- $F_{2^n} = L_{2^{n-1}}\cdots L_{2^k}\cdots L_1$
証明
- (1)
- ビネの公式により, \[\begin{aligned} L_{n+1}-F_{n+2} &= \varphi ^{n+1}+\tilde\varphi ^{n+1}-\frac{\varphi ^{n+2}-\tilde\varphi ^{n+2}}{\varphi -\tilde\varphi} \\ &= \frac{(\varphi -\tilde\varphi )(\varphi ^{n+1}+\tilde\varphi ^{n+1})-\varphi ^{n+2}+\tilde\varphi ^{n+2}}{\varphi -\tilde\varphi} \\ &= \frac{\varphi\tilde\varphi ^{n+1}-\varphi ^{n+1}\tilde\varphi}{\varphi -\tilde\varphi} = \frac{-\varphi\tilde\varphi (\varphi ^n-\tilde\varphi ^n)}{\varphi -\tilde\varphi} \\ &= \frac{\varphi ^n-\tilde\varphi ^n}{\varphi -\tilde\varphi} \quad (\because\varphi\tilde\varphi = -1) \\ &= F_n \end{aligned}\] が成り立つ.
- (2)
- ビネの公式により, \[ F_nL_n = \frac{\varphi ^n-\tilde\varphi ^n}{\varphi -\tilde\varphi}(\varphi ^n+\tilde\varphi ^n) = \frac{\varphi ^{2n}-\tilde\varphi ^{2n}}{\varphi -\tilde\varphi} = F_{2n}\] が成り立つ.
- (3)
- $n \geqq 1$ のとき, (3) により, \[ F_{2^n} = F_{2\cdot 2^{n-1}} = F_{2^{n-1}}L_{2^{n-1}}\] が成り立つ. $n \geqq 2$ のとき, $F_{2^{n-1}} = F_{2^{n-2}}L_{2^{n-2}}$ であるから, \[ F_{2^n} = F_{2\cdot 2^{n-1}} = F_{2^{n-2}}L_{2^{n-2}}L_{2^{n-1}}\] が成り立つ. この操作を続けると, \[ F_{2^n} = F_{2^0}L_{2^{n-1}}\cdots L_{2^k}\cdots L_1 = L_{2^{n-1}}\cdots L_{2^k}\cdots L_1\] が得られる.
定理《偶数番目のリュカ数》
すべての非負整数 $n$ に対して,
\[ L_{2n} = L_n{}^2+2(-1)^{n+1}\]
が成り立つ.
証明
ビネの公式により,
\[\begin{aligned}
L_{2n} &= \varphi ^{2n}+\tilde\varphi ^{2n} = (\varphi ^n+\tilde\varphi ^n)^2-2(\varphi\tilde\varphi )^n \\
&= L_n{}^2-2(-1)^n = L_n{}^2+2(-1)^{n+1}
\end{aligned}\]
が成り立つ.
高校数学の問題
数と式
問題《リュカ数を表す対称式の値》
$\alpha = \dfrac{1+\sqrt 5}{2},$ $\beta = \dfrac{1-\sqrt 5}{2}$ とする.
\[\alpha +\beta, \quad \alpha\beta, \quad \alpha ^2+\beta ^2, \quad \alpha ^3+\beta ^3, \quad \alpha ^4+\beta ^4, \quad \alpha ^5+\beta ^5\]
の値を求めよ.
解答例
こちらを参照.
複素数と方程式
問題《一般リュカ数列の恒等式》
整数係数 $2$ 次方程式 $x^2-px+q = 0$ が実数解 $\alpha,$ $\beta$ $(\alpha > \beta )$ をもつとし, 各正の整数 $n$ に対して
\[ x_n = \alpha ^n+\beta ^n, \quad y_n = \frac{\alpha ^n-\beta ^n}{\alpha -\beta}\]
と定める.
また, $D = p^2-4q$ とおく.
- (1)
- $p,$ $q$ を用いて $\alpha +\beta,$ $\alpha\beta,$ $\alpha -\beta$ を表せ.
- (2)
- 等式 \[\begin{aligned} x_1 &= p, & x_2 &= p^2-2q, & x_{n+2} &= px_{n+1}-qx_n \\ y_1 &= 1, & y_2 &= p, & y_{n+2} &= py_{n+1}-qy_n \end{aligned}\] が成り立つことを示せ.
- (3)
- 等式 \[ x_n{}^2-Dy_n{}^2 = 4q^n\] が成り立つことを示せ.
解答例
こちらを参照.
数列
問題《フィボナッチ数列の一般項と和》
$1$ 歩目は $1$ 段だけ上るとし, $2$ 歩目以降は $1$ 歩で $1$ 段上ることも $2$ 段上ることもできるとして, $n$ 段の階段を上る方法の総数を $F_n$ とおく.
また, 同様の方法で $n$ 段以下の階段を上る方法の総数を $S_n$ とおく.
- (1)
- $F_{n+2} = F_n+F_{n+1}$ が成り立つことを示せ.
- (2)
- 数列 $\{ F_{n+1}-\alpha F_n\},$ $\{ F_{n+1}-\beta F_n\}$ がそれぞれ公比 $\beta,$ $\alpha$ の等比数列になるような定数 $\alpha,$ $\beta\ (\alpha > \beta )$ を $1$ 組求めよ.
- (3)
- 数列 $\{ F_n\}$ の一般項を求めよ.
- (4)
- 数列 $\{ S_n\}$ の一般項を求めよ.
(参考: $2022$ 山口大)
解答例
こちらを参照.
関数と極限
問題《フィボナッチ数列の隣接項の比の極限》
$F_1 = F_2 = 1,$ $F_{n+2} = F_n+F_{n+1}$ で定まる数列 $\{ F_n\}$ は「フィボナッチ数列」と呼ばれ, その一般項は
\[ F_n = \frac{1}{\sqrt 5}\left\{\left(\frac{1+\sqrt 5}{2}\right) ^n-\left(\frac{1-\sqrt 5}{2}\right) ^n\right\}\]
であることが知られている (証明はこちらを参照).
この数列について, 隣り合う項の比の極限 $\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{F_{n+1}}{F_n}$ を求めよ.
解答例
こちらを参照.