相加・相乗平均の不等式
相加・相乗平均の不等式
定義≪相加平均, 相乗平均, 調和平均≫
$n$ を正の整数, $x_1,$ $\cdots,$ $x_n$ を実数とする.
- (1)
- $\dfrac{x_1+\cdots +x_n}{n}$ を $x_1,$ $\cdots,$ $x_n$ の相加平均(arithmetic mean)と呼ぶ.
- (2)
- $x_1,$ $\cdots,$ $x_n \geqq 0$ のとき, $\sqrt[n]{\mathstrut x_1\cdots x_n}$ を $x_1,$ $\cdots,$ $x_n$ の相乗平均(geometric mean)と呼ぶ.
- (3)
- $x_1,$ $\cdots,$ $x_n \neq 0$ のとき, $\dfrac{n}{x_1{}^{-1}+\cdots +x_n{}^{-1}}$ を $x_1,$ $\cdots,$ $x_n$ の調和平均(harmonic mean)と呼ぶ.
定理≪相加・相乗平均の不等式≫
$2$ 以上の整数 $n,$ 正の数 $x_1,$ $\cdots,$ $x_n$ に対して
\[\frac{x_1+\cdots +x_n}{n} \geqq \sqrt[n]{\mathstrut x_1\cdots x_n} \geqq \frac{n}{x_1{}^{-1}+\cdots +x_n{}^{-1}}\]
が成り立つ.
等号成立は $x_1 = \cdots = x_n$ の場合に限る.
証明 1: $n$ が $2$ の累乗の場合に着目(Cauchy, 1821)
左の不等号について示す.
- (I)
- $n = 2^m$ ($m$: 正の整数)の場合を, $m$ に関する数学的帰納法で示す.
- (i)
- $n = 2$ の場合は, \[ (x+y)-2\sqrt{xy} = (\sqrt x-\sqrt y)^2 \geqq 0\] から従う.
- (ii)
- $n = 2^m$ ($m$: 正の整数)の場合に成り立つとする. このとき, \begin{align*} &\frac{x_1+\cdots +x_{2^{m+1}}}{2^{m+1}} \\ &= \frac{1}{2^m}\cdot\frac{(x_1+x_2)+\cdots +(x_{2^{m+1}-1}+x_{2^{m+1}})}{2} \\ &\geqq \frac{\sqrt{x_1x_2}+\cdots +\sqrt{x_{2^{m+1}-1}x_{2^{m+1}}}}{2^m} \\ &\geqq \sqrt[2^m]{\sqrt{x_1x_2}\cdots\sqrt{x_{2^{m+1}-1}x_{2^{m+1}}}} \\ &= \sqrt[2^{m+1}]{x_1\cdots x_{2^{m+1}}} \end{align*} となるから, $n = 2^{m+1}$ の場合に左側の不等号が成り立つ. また, 等号成立は, $x_1 = x_2,$ $\cdots,$ $x_{2^{m+1}-1} = x_{2^{m+1}}$ かつ $\sqrt{x_1x_2} = \cdots = \sqrt{x_{2^{m+1}-1}x_{2^{m+1}}}$ のとき, つまり $x_1 = \cdots = x_{2^{m+1}}$ の場合に限る.
- (II)
- 一般の場合. $n$ を $2$ 以上の整数とする. このとき, $2^{m-1} < n \leqq 2^m$ なる正の整数 $m$ が存在する. $a = \dfrac{x_1+\cdots +x_n}{n}$ とおくと, \begin{align*} a &= \frac{na+(2^m-n)a}{2^m} = \frac{x_1+\cdots +x_n+(2^m-n)a}{2^m} \\ &\geqq \sqrt[2^m]{x_1\cdots x_na^{2^m-n}} \end{align*} となり, \begin{align*} a^{2^m} &\geqq x_1\cdots x_na^{2^m-n} \\ a^n &\geqq x_1\cdots x_n \\ a &\geqq \sqrt[n]{x_1\cdots x_n} \end{align*} となって, 左側の不等号が成り立つ. また, 等号成立は, $x_1 = \cdots = x_n = a$ のとき, つまり $x_1 = \cdots = x_n$ の場合に限る.
証明 2: 並べ替え不等式を利用(内田康晴, 2008)
こちらを参照.
証明 3: 和・積の大小関係を利用(Ehlers)
こちらを参照.
証明 4: 指数関数の $1$ 次関数による近似を利用(Polya, 1952)
こちらを参照.
証明 5: 数学的帰納法と微分法を利用
こちらを参照.
証明 6: Bernoulli の不等式を利用(Newman, 1960)
こちらを参照.
証明 7: Young の不等式を利用
こちらを参照.
注意
$n = 1$ の場合にも上記の不等式は成り立つが,
その場合にはすべての正の数 $x_1$ に対して等号が成り立つので,
$n \geqq 2$ として定理を述べた.
問題
数学 II: 式と証明
問題≪$2$～$4$ 変数の相加・相乗平均の不等式≫
- (1)
- $x,$ $y \geqq 0$ のとき, $x+y \geqq 2\sqrt{xy}$ が成り立つことを示せ. また, 等号成立条件を求めよ.
- (2)
- $x,$ $y,$ $z,$ $w \geqq 0$ のとき, $x+y+z+w \geqq 4\sqrt[4]{xyzw}$ が成り立つことを示せ. また, 等号成立条件を求めよ.
- (3)
- (2) において, $w = \dfrac{x+y+z}{3}$ とすることにより, $x+y+z \geqq 3\sqrt[3]{xyz}$ が成り立つことを示せ. また, 等号成立条件を求めよ.
- (4)
- $\triangle\mathrm{ABC}$ において $a = \mathrm{BC},$ $b = \mathrm{CA},$ $c = \mathrm{AB},$ $s = \dfrac{a+b+c}{2}$ とおくとき「ヘロンの公式」 \[\triangle\mathrm{ABC} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\] (こちらを参照)が成り立つことを使って, 周の長さが一定である三角形のうち面積が最大であるものは正三角形であることを示せ.
解答例
こちらを参照.
問題≪因数分解と $3$ 変数相加・相乗平均の不等式≫
- (1)
- \begin{align*} &X^3+Y^3+Z^3-3XYZ \\ &= (X\!+\!Y\!+\!Z)(X^2\!+\!Y^2\!+\!Z^2\!-\!XY\!-\!YZ\!-\!ZX) \end{align*} が成り立つことを示せ.
- (2)
- \begin{align*} &2(X^2+Y^2+Z^2-XY-YZ-ZX) \\ &= (X-Y)^2+(Y-Z)^2+(Z-X)^2 \end{align*} が成り立つことを示せ.
- (3)
- $x,$ $y,$ $z \geqq 0$ のとき, $x+y+z \geqq 3\sqrt[3]{xyz}$ が成り立つことを示せ.
解答例
こちらを参照.
問題≪並び替えと $3$ 変数相加・相乗平均の不等式≫
次のことを示せ.
- (1)
- $a \geqq b,$ $c \geqq d$ のとき, $ac+bd \geqq ad+bc$ が成り立つ.
- (2)
- $X,$ $Y \geqq 0$ のとき, $X^2+Y^2 \geqq 2XY$ が成り立つ.
- (3)
- $X,$ $Y,$ $Z \geqq 0$ のとき, $X^3+Y^3+Z^3 \geqq 3XYZ$ が成り立つ.
- (4)
- $x,$ $y,$ $z \geqq 0$ のとき, $x+y+z \geqq 3\sqrt[3]{xyz}$ が成り立つ.
解答例
こちらを参照.
問題≪和・積の関係と相加・相乗平均の不等式≫
次のことを示せ.
- (1)
- $a \leqq 1 \leqq b$ のとき \[ a+b \geqq ab+1 \quad \cdots [1]\] が成り立つ.
- (2)
- $a_1\cdots a_n = 1$ を満たす $n$ 個の正の数 $a_1,$ $\cdots,$ $a_n$ に対して \[ a_1+\cdots +a_n \geqq n \quad \cdots [2]\] が成り立つ.
- (3)
- 正の数 $x_1,$ $\cdots,$ $x_n$ に対して \[ x_1+\cdots +x_n \geqq n(x_1\cdots x_n)^{\frac{1}{n}} \quad \cdots [3]\] が成り立つ.
解答例
こちらを参照.
問題≪レームスの不等式≫
$3$ 辺の長さが $a,$ $b,$ $c,$ 外接円の半径が $R,$ 内接円の半径が $r,$ 面積が $S$ である $\triangle\mathrm{ABC}$ について, 次の問いに答えよ.
- (1)
- \[ abc \geqq (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)\] が成り立つことを, $x = -a+b+c,$ $y = a-b+c,$ $z = a+b-c$ という置き換えを使って示せ.
- (2)
- $R \geqq 2r$ が成り立つことを示せ. ただし,「ヘロンの公式」 \[ S = \dfrac{1}{4}\sqrt{(a\!+\!b\!+\!c)(-a\!+\!b\!+\!c)(a\!-\!b\!+\!c)(a\!+\!b\!-\!c)}\] (こちらを参照)が成り立つことは, 証明なしに用いてよい.
解答例
こちらを参照.
数学 II: 三角関数
問題≪オノの不等式≫
$\triangle\mathrm{ABC}$ において, $a = \mathrm{BC},$ $b = \mathrm{CA},$ $c = \mathrm{AB},$ $A = \angle\mathrm A,$ $B = \angle\mathrm B,$ $C = \angle\mathrm C,$ $S = \triangle\mathrm{ABC}$ とおく.
次のことを示せ.
ただし, $x,$ $y,$ $z \geqq 0$ のとき $x+y+z \geqq 3\sqrt[3]{xyz}$ が成り立つことは, 証明なしに用いてよい.
- (1)
- $\tan A\tan B\tan C \!=\! \tan A\!+\!\tan B\!+\!\tan C$ が成り立つ.
- (2)
- $\triangle\mathrm{ABC}$ が鋭角三角形のとき, \[ (4S)^6 \!\geqq\! 27(b^2\!+\!c^2\!-\!a^2)^2\!(c^2\!+\!a^2\!-\!b^2)^2\!(a^2\!+\!b^2\!-\!c^2)^2\] が成り立つ.
解答例
こちらを参照.
数学 III: 関数と極限
問題≪無理不等式と相加・相乗平均の不等式≫
$a,$ $b$ を正の数とする.
- (1)
- $a < b$ のとき, 不等式 $\sqrt x > \dfrac{\sqrt b-\sqrt a}{b-a}(x-a)+\sqrt a$ を解け.
- (2)
- $\dfrac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab}$ が成り立つことを示し, 等号成立条件を求めよ.
解答例
こちらを参照.
数学 III: 微分法
問題≪指数関数の近似と相加・相乗平均の不等式≫
$n$ を $1$ より大きい整数とする.
- (1)
- すべての実数 $x$ に対して, 不等式 $x \leqq e^{x-1}$ が成り立つことを示せ. また, 等号成立条件を求めよ.
- (2)
- 正の数 $x_1,$ $\cdots,$ $x_n$ が $x_1+\cdots +x_n = n$ を満たすとき, $x_1\cdots x_n \leqq 1$ が成り立つことを示せ. また, 等号成立条件を求めよ.
- (3)
- 正の数 $x_1,$ $\cdots,$ $x_n$ に対して $a = \dfrac{x_1+\cdots +x_n}{n}$ とおくとき, \[ x_1\cdots x_n \leqq a^n\] が成り立つことを示せ. また, 等号成立条件を求めよ.
(参考: 2007 横浜市立大)
解答例
こちらを参照.
問題≪関数の増減と相加・相乗平均の不等式≫
$n$ を正の整数とする.
- (1)
- $s,$ $p$ を正の数とする. 関数 \[ f(x) = \frac{s+x}{n+1}-(px)^{\frac{1}{n+1}} \quad (x > 0)\] の最小値を求めよ.
- (2)
- 正の数 $a_1,$ $\cdots,$ $a_n$ に対して \[\frac{a_1+\cdots +a_n}{n} \geqq (a_1\cdots a_n)^{\frac{1}{n}} \quad \cdots [\ast ]\] が成り立つことを数学的帰納法で示せ.
解答例
こちらを参照.
問題≪ベルヌーイの不等式の一般化と応用≫
次のことを示せ.
- (1)
- $r$ を負の数とするとき, \[ (1+x)^r \geqq 1+rx \quad (x > -1) \quad \cdots [1]\] が成り立つ.
- (2)
- $a_1\cdots a_n = 1$ を満たす $n$ 個の正の数 $a_1,$ $\cdots,$ $a_n$ に対して \[ a_1+\cdots +a_n \geqq n \quad \cdots [2]\] が成り立つ.
- (3)
- 正の数 $x_1,$ $\cdots,$ $x_n$ に対して \[ x_1+\cdots +x_n \geqq n(x_1\cdots x_n)^{\frac{1}{n}} \quad \cdots [3]\] が成り立つ.
解答例
こちらを参照.
問題≪ヤングの不等式とその応用≫
- (1)
- $r$ を $0 < r < 1$ なる実数とする. $x > 0$ のとき, $r(x-1),$ $x^r-1$ の大小を比較せよ.
- (2)
- $p,$ $q$ を $p > 1,$ $q > 1,$ $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q} = 1$ なる実数とする. $a > 0,$ $b > 0$ のとき, $\dfrac{a}{p}+\dfrac{b}{q},$ $a^{\frac{1}{p}}b^{\frac{1}{q}}$ の大小を比較せよ.
- (3)
- $n$ を $2$ 以上の整数とする. $n$ 個の正の数 $x_1,$ $\cdots,$ $x_n$ に対して, $A_n = \dfrac{x_1+\cdots +x_n}{n},$ $G_n = (x_1\cdots x_n)^{\frac{1}{n}}$ とおくと, \[ A_{k+1} = \frac{kA_k+x_{k+1}}{k+1}, \quad G_{k+1} = G_k{}^{\frac{k}{k+1}}x_{k+1}{}^{\frac{1}{k+1}}\] が成り立つ. このことと数学的帰納法, (2) の結果を使って, \[ A_n \geqq G_n\] が成り立つことを示せ.
(参考: 2017 一橋大, 2019 九州歯科大)
解答例
こちらを参照.