点 $\mathrm A(-1,0)$ を通る傾き $t$ の直線と単位円の交点 $\mathrm P(x,y)$ について, 次の問いに答えよ.

(1)

$t$ を用いて $x,$ $y,$ $\dfrac{1-x}{1+x}$ を表せ.

(2)

$x,$ $y$ が有理数のとき, $t$ は有理数であることを示せ.

(3)

$t$ が正の有理数のとき, $x,$ $y$ は互いに素なある正の整数 $m,$ $n$ を用いて \[ x = \frac{m^2-n^2}{m^2+n^2}, \quad y = \frac{2mn}{m^2+n^2} \quad \cdots [\text A]\] と表されることを示せ.

　また, 互いに素な整数 $a,$ $b,$ $c$ が $a^2+b^2 = c^2$ を満たすとき, 次のことを示せ.

(4)

$a,$ $b$ の偶奇は異なる.

(5)

$a$ が奇数のとき, $a,$ $b,$ $c$ は互いに素で偶奇の異なる正の整数 $m,$ $n\ (m > n)$ を用いて \[ a = m^2-n^2, \quad b = 2mn, \quad c = m^2+n^2 \quad \cdots [\text B]\] と表される.

　$3$ 辺の長さが等差数列をなすような直角三角形の $3$ 辺の長さの比を求めよ.