ヘロンの三角形
ヘロンの三角形
定義≪ヘロンの三角形≫
$3$ 辺の長さと面積が整数であるような三角形をヘロンの三角形(Heronian triangle)と呼ぶ.
また, ヘロンの三角形の $3$ 辺の長さ $a,$ $b,$ $c$ の組 $(a,b,c)$ $(a \leqq b \leqq c)$をヘロン数(Heronian number)と呼ぶ.
定理≪ヘロンの三角形とピタゴラスの三角形の関係≫
すべてのヘロンの三角形は,
ある辺の長さ $a$ について $2a$ のある約数倍(例えば最小辺の $2$ 倍)に拡大すると,
$2$ つのピタゴラスの三角形の和集合または差集合として表せる.
証明
こちらを参照.
定理≪ヘロン数の一般式≫
すべてのヘロン数の比は,
\[ mn > k^2 \geqq \frac{m^2n}{2m+n}, \quad m \geqq n\]
なる互いに素な正の整数 $m,$ $n,$ $k$ を用いて
\[ a:b:c = n(m^2+k^2):m(n^2+k^2):(m+n)(mn-k^2)\]
で表される.
問題
数学 I: 図形と計量
問題≪ヘロンの三角形≫
$\triangle\mathrm{ABC}$ の頂点 $\mathrm A$ から $\mathrm{BC}$ に下した垂線の足を $\mathrm H$ とおく.
- (1)
- $a = \mathrm{BC},$ $b = \mathrm{CA},$ $c = \mathrm{AB}$ と $S = \triangle\mathrm{ABC}$ を用いて $\dfrac{\mathrm{AH}}{c},$ $\dfrac{\mathrm{BH}}{c},$ $\dfrac{\mathrm{CH}}{b}$ を表せ.
- (2)
- $a,$ $b,$ $c$ と $S$ がすべて整数であるとき, $a\cdot\mathrm{AH},$ $2a\cdot\mathrm{BH},$ $2a\cdot\mathrm{CH}$ はすべて整数であることを示せ.
解答例
こちらを参照.