こちらを参照.

(1)

$3$ 辺の長さが整数 $a,$ $b,$ $c,$ 面積が有理数 $S$ である三角形を考える. ヘロンの公式により, \begin{align*} (4S)^2 &= (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) \\ &= 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4) \end{align*} が成り立つ.

• まず, $a+b+c$ は偶数であることを示す. $a+b+c$ が奇数であるとして, 矛盾を導く. このとき, $a,$ $b,$ $c$ のうち $1$ つまたは $3$ つが奇数である. $(4S)^2$ は有理数の $2$ 乗かつ整数であるから, 平方数であることに注意する.

  (i)

  $a,$ $b,$ $c$ のうち $1$ つが奇数であるとき. \begin{align*} &2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4) \\ &\equiv 2(0\cdot 0+0\cdot 1+1\cdot 0)-(0^2+0^2+1^2) \\ &\equiv 3 \pmod 4 \end{align*} となるが, これは $(4S)^2$ が平方数であることに反する.

  (ii)

  $a,$ $b,$ $c$ が奇数であるとき. \begin{align*} &2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4) \\ &\equiv 2(1\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 1)-(1^2+1^2+1^2) \\ &\equiv 3 \pmod 4 \end{align*} となるが, これは $(4S)^2$ が平方数であることに反する.

  (i), (ii) から, $a+b+c$ は偶数である.
• $S$ が整数であることを示す. 偶数 $a+b+c$ から $2a,$ $2b,$ $2c$ を引いた $-a+b+c,$ $a-b+c,$ $a+b-c$ も偶数であるから, 平方数 $(4S)^2$ は $16$ の倍数である. よって, $S^2$ は整数であるから, $S$ は整数である.

(2)

ヘロンの三角形を $3$ 辺の長さの正の公約数の逆数倍に縮小して得られる三角形は, 面積が有理数であるから, ヘロンの三角形である.

　こちらを参照.

　$\triangle\mathrm{ABC}$ をヘロンの三角形とし, $a = \mathrm{BC},$ $b = \mathrm{CA},$ $c = \mathrm{AB}$ $(a \geqq b \geqq c)$ をその辺の長さとする. 上記の定理により, 頂点 $\mathrm C$ から $\mathrm{AB}$ に下ろした垂線の足を $\mathrm H$ とおくと, $h = \mathrm{CH},$ $c_1 = \mathrm{BH},$ $c_2 = c-c_1$ ($c_2 < 0$ を許す)は有理数である. 辺の長さの比を求めるのだから, 必要ならば適当に整数倍して, これらが整数であるとしても一般性を失わない. 整数 $m,$ $n$ を \[ a+c_1 = m, \quad b+c_2 = n\] で定める. このとき, 三平方の定理により, \[ m(a-c_1) = a^2-c_1{}^2 = h^2, \quad n(b-c_2) = b^2-c_2{}^2 = h^2\] が成り立つ. $a > 0,$ $c_1 \geqq 0$ から $m > 0$ であって, $h^2 > 0,$ $b-c_2 > 0$ ($c_2 > 0$ の場合は直角三角形 $\mathrm{ACH}$ の辺の大小関係, $c_2 \leqq 0$ の場合は $b > 0$ から従う)から $n > 0$ であることに注意すると, \[ a-c_1 = \frac{h^2}{m}, \quad b-c_2 = \frac{h^2}{n}\] が得られる. よって, \begin{align*} a &= \frac{1}{2}\left( m+\frac{h^2}{m}\right) = \frac{m^2+h^2}{2m}, \\ b &= \frac{1}{2}\left( n+\frac{h^2}{n}\right) = \frac{n^2+h^2}{2n}, \\ c &= \frac{1}{2}\left( m-\frac{h^2}{m}+n-\frac{h^2}{n}\right) = \frac{(m+n)(mn-h^2)}{2mn} \end{align*} であるから, \[ a:b:c = n(m^2+h^2):m(n^2+h^2):(m+n)(mn-h^2)\] が成り立つ. ここで, $c > 0$ から, $mn > h^2$ である. $b \geqq c$ から, \[ 0 \leqq m(n^2\!+\!h^2)\!-\!(m\!+\!n)(mn\!-\!h^2) = (2m\!+\!n)h^2\!-\!m^2n\] であるので, $h^2 \geqq \dfrac{m^2n}{2m+n}$ が成り立つ. また, $a \geqq b$ から, \[ 0 \leqq n(m^2+h^2)-m(n^2+h^2) = (m-n)(mn-h^2)\] であるので, $mn > h^2$ と合わせると $m \geqq n$ が得られる. さらに, $m,$ $n,$ $h$ の最大公約数を $g$ として $m = gm',$ $n = gn',$ $h = gh'$ とすると, $m',$ $n',$ $h'$ は互いに素な整数になり, \begin{align*} a &= g\cdot\frac{m'{}^2+h'{}^2}{2m'}, \\ b &= g\cdot\frac{n'{}^2+h'{}^2}{2n'}, \\ c &= g\cdot\frac{(m'+n')(m'n'-h'{}^2)}{2m'n'} \end{align*} となるから, $m,$ $n,$ $h$ は互いに素であるように選び直せる.

　$3$ 辺の長さが整数 $a,$ $b,$ $c$ である三角形の面積を $S$ とおき, $s = \dfrac{a+b+c}{2}$ とおく. ヘロンの公式により, \begin{align*} S^2 &= s(s-a)(s-b)(s-c) \quad \cdots [1] \\ (4S)^2 &= (a\!+\!b\!+\!c)(-a\!+\!b\!+\!c)(a\!-\!b\!+\!c)(a\!+\!b\!-\!c) \quad \cdots [2] \end{align*} が成り立つ.

(1)

既に示した定理から従うが, より手短な証明を与えておく.
$a+b+c$ が奇数であるならば, $a+b+c$ から $2a,$ $2b,$ $2c$ を引いた $-a+b+c,$ $a-b+c,$ $a+b-c$ も奇数であるから, $[2]$ により $(4S)^2$ は奇数であり, よって $S$ は整数でない.
ゆえに, ヘロンの三角形の周の長さは偶数である.

(2)

$S$ が整数であるとする. $a,$ $b,$ $c$ が互いに素である場合に, $S$ が偶数かつ $3$ の倍数であることを示せば十分である.

• $S$ が偶数であること: (1) により $a+b+c$ は偶数であり, $s$ は整数で, $a,$ $b,$ $c$ のうち $1$ つは偶数, $2$ つは奇数である. よって, $s-a,$ $s-b,$ $s-c$ は整数で, そのうち少なくとも $1$ つは偶数である. $[1]$ により $S^2$ は偶数であるから, $S$ は偶数である.
• $S$ が $3$ の倍数であること: \begin{align*} s &= 3s-2s = 3s-(a+b+c) \\ &= (s-a)+(s-b)+(s-c) \quad \cdots [3] \end{align*} であることに注意する.

  (i)

  $s-a,$ $s-b,$ $s-b$ の少なくとも $1$ つが $3$ の倍数であるとき. $[1]$ により, $S^2$ は $3$ の倍数であるから, $S$ は $3$ の倍数である.

  (ii)

  $s-a \equiv s-b \equiv s-c \pmod 3$ のとき. $[3]$ により \begin{align*} s \equiv 3(s-a) \equiv 0 \pmod 3 \end{align*} であるから, $[1]$ により $S^2$ は $3$ の倍数であり, よって $S$ は $3$ の倍数である.

  (iii)

  $s-a,$ $s-b,$ $s-c$ を $3$ で割った余りの $2$ つが $1,$ $1$ つが $2$ であるとき. $[3]$ により \[ s \equiv 1+1+2 \equiv 1 \pmod 3\] であるから, $[1]$ により \[ S^2 \equiv 1\cdot 1\cdot 1\cdot 2 = 2 \pmod 3\] である. 平方数を $3$ で割った余りは $0$ または $1$ であるから, これは矛盾である.

  (iv)

  $s-a,$ $s-b,$ $s-c$ を $3$ で割った余りの $1$ つが $1,$ $2$ つが $2$ であるとき. $[3]$ により \[ s \equiv 1+2+2 \equiv 2 \pmod 3\] であるから, $[1]$ により \[ S^2 \equiv 2\cdot 1\cdot 2\cdot 2 \equiv 2 \pmod 3\] である. 平方数を $3$ で割った余りは $0$ または $1$ であるから, これは矛盾である.

  (i)～(iv) から, $S$ は $3$ の倍数である.

ゆえに, $S$ は $6$ の倍数である.

　こちらを参照.

　こちらを参照.