有名問題・定理から学ぶ数学

Well-Known Problems and Theorems in Mathematics

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$2$ 次曲線の性質

放物線の性質

定理《放物線の軸に平行な光の反射》

(A)
放物線の上方からその対称軸と平行に入射した波は, 反射すると, 放物線の焦点に集まる.
(B)
さらに, このときの波が進む経路の長さは一定である.

証明

 こちらを参照.

楕円の性質

定理《楕円の焦点から発せられた光の反射》

 楕円の焦点から発せられた波は, 反射すると, 他方の焦点に集まる.

証明

 こちらを参照.

問題

数学 III: 式と曲線

問題《放物線の軸に平行な光の反射》

 $a,$ $k$ を正の定数とする. 放物線 $C:y = ax^2$ の焦点を $\mathrm F$ とおく. また, 点 $\mathrm P(t,k)$ を $C$ の上方にある点として, 点 $\mathrm T(t,at^2)$ における $C$ の接線を $\ell,$ 法線を $n$ とおき, これらの $y$ 切片をそれぞれ $\mathrm I,$ $\mathrm J$ とおく.
(A)
(1)
$\ell$ の方程式を求めよ.
(2)
$\mathrm{FT} = \mathrm{FI}$ であることを示せ.
(3)
$\angle\mathrm{PTJ} = \angle\mathrm{FTJ}$ が成り立つことを示せ.
(B)
折れ線 $\mathrm{PTF}$ の長さ $\mathrm{PT}+\mathrm{TF}$ は点 $\mathrm P$ の取り方によらず一定であることを示せ.

解答例

 こちらを参照.

問題《楕円の焦点から発せられた光の反射》

 楕円の周 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} = 1$ $(a > b > 0)$ の焦点を $\mathrm F_+(c,0),$ $\mathrm F_-(-c,0)$ $(c > 0)$ とおき, $C$ 上に点 $\mathrm P(p,q)$ $(p \geqq 0)$ をとる.
(1)
$a,$ $c,$ $p$ を用いて線分 $\mathrm F_+\mathrm P,$ $\mathrm F_-\mathrm P$ の長さを表せ.
(2)
$C$ の点 $\mathrm P$ における接線 $l$ と線分 $\mathrm F_+\mathrm P,$ $\mathrm F_-\mathrm P$ のなす角は等しいことを示せ.

解答例

 こちらを参照.