$a,$ $k$ を正の定数とする. 放物線 $C:y = ax^2$ の焦点を $\mathrm F$ とおく. また, 点 $\mathrm P(t,k)$ を $C$ の上方にある点として, 点 $\mathrm T(t,at^2)$ における $C$ の接線を $l,$ 法線を $n$ とおき, これらの $y$ 切片をそれぞれ $\mathrm I,$ $\mathrm J$ とおく.

(A)

(1)

$l$ の方程式を求めよ.

(2)

$\mathrm{FT} = \mathrm{FI}$ であることを示せ.

(3)

$\angle\mathrm{PTJ} = \angle\mathrm{FTJ}$ が成り立つことを示せ.

(B)

折れ線 $\mathrm{PTF}$ の長さ $\mathrm{PT}+\mathrm{TF}$ は点 $\mathrm P$ の取り方によらず一定であることを示せ.

　楕円の周 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} = 1$ $(a > b > 0)$ の焦点を $\mathrm F_+(c,0),$ $\mathrm F_-(-c,0)$ $(c > 0)$ とおき, $C$ 上に点 $\mathrm P(p,q)$ $(p \geqq 0)$ をとる.

(1)

$a,$ $c,$ $p$ を用いて線分 $\mathrm F_+\mathrm P,$ $\mathrm F_-\mathrm P$ の長さを表せ.

(2)

$C$ の点 $\mathrm P$ における接線 $l$ と線分 $\mathrm F_+\mathrm P,$ $\mathrm F_-\mathrm P$ のなす角は等しいことを示せ.

　双曲線 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2} = 1$ $(a,\ b > 0)$ の焦点を $\mathrm F_+(c,0),$ $\mathrm F_-(-c,0)$ $(c > 0)$ とおき, $C$ 上に点 $\mathrm P(p,q)$ $(p > 0)$ をとる.

(1)

$a,$ $c,$ $p$ を用いて線分 $\mathrm F_+\mathrm P,$ $\mathrm F_-\mathrm P$ の長さを表せ.

(2)

$C$ の点 $\mathrm P$ における接線 $l$ と線分 $\mathrm F_+\mathrm P,$ $\mathrm F_-\mathrm P$ のなす角は等しいことを示せ.