有名問題・定理から学ぶ数学

Well-Known Problems and Theorems in Mathematics

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特別な意味をもつ整数

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特別な意味をもつ整数

　この記事は, 随時更新中です (2023/05/30 掲載開始). 記数法に依存しないような, 定理に現れる特別な意味をもつ整数を集めています.

1 桁の整数

0～9

$0$　: 加法の単位元,; オイラーの定数の整数部分.
$1$　: 乗法の単位元,; 最小の不足数, 最小の調和数,; $3$ 次の魔方陣の個数 (対称・回転移動で重なるものは同一視).
$2$　: 最小の素数, 最小のフィボナッチ素数, 最小のリュカ素数, 最小のペラン素数,; 実数体に対する複素数体の拡大次数,; ネイピア数の整数部分,; 球に位相同型な多面体のオイラー標数,; 正四面体の展開図の種類の総数.
$3$　: 最小のメルセンヌ素数, 最小のフェルマー素数, 最小のカレン素数,; 奇数である最大の高度過剰数,; 最小の完全トーシェント数,; 整数を三角数の和として表すとき必要な三角数の最大個数,; 円周率の整数部分,; 標準正多胞体の種類の総数.
$4$　: 最小の合成数, 合成数である最小のリュカ数,; 整数を平方数の和として表すとき必要な平方数の最大個数 (ラグランジュの $4$ 平方和定理),; 任意の多角形が平面充填可能になる最大の辺の本数,; 星型正多面体の種類の総数,; 標準正多胞体以外の正多胞体が存在する空間の次元の最大値,; 平面上の地図を塗り分けるとき必要な色の数の最大値 ($4$ 色問題).
$5$　: 最小のウィルソン素数,; 最小のルース=アーロン・ペアの片割れ (他方は $6$),; $\mathbb Q(\sqrt{-d})$ の類数が $2$ であるような平方因数をもたない正の整数 $d$ の最小値,; 最小のピタゴラスの三角形の斜辺の長さ, 最小の合同数,; 凸正多面体の種類の総数, 平行多面体の種類の総数,; 素数である最大のカタラン数.
$6$　: 最小の完全数, 最小の非自明な乗法的完全数,; ヘロンの三角形の面積の最小値,; 虚 $2$ 次体の単数群の位数の最大値,; 平面充填可能な凸多角形の辺の本数の最大値, $2$ 次元接吻数,; $4$ 次元空間における正多胞体の種類の総数.
$7$　: 最小のウッダル素数,; 折り紙による作図はできるが定規とコンパスによる作図はできない正多角形の辺の本数の最小値,; $2$ の累乗数でない怠け仕出し屋の数列の最小の項,; トーラス上の地図を塗り分けるとき必要な色の数の最大値 (ヒーウッド予想).
$8$　: 合成数である最小のフィボナッチ数,; コンパクト $3$ 次元多様体における幾何構造の種類の総数 (サーストンの幾何化予想).
$9$　: 整数を立方数の和として表すとき必要な立方数の個数 (ウェアリングの問題),; 差が $1$ である $2$ 個の累乗数の片割れの最大値 (カタラン予想),; モロンの長方形を敷き詰める正方形のタイルの枚数.

2 桁の整数

10～19

$10$　: 合成数である最小のペラン数,; 三角数である最小の非自明な三角錐数,; $2$ 次体 $\mathbb Q(\sqrt d)$ の類数が $2$ であるような平方因数をもたない正の整数 $d$ の最小値,; $4$ 次元空間における星型正多胞体の種類の総数.
$11$　: 定規とコンパスによる作図も折り紙による作図もできない正多角形の辺の本数の最小値,; 正六面体, 正八面体の展開図の種類の総数.
$12$　: 最小の過剰数,; アルキメデスの平面充填におけるタイルの辺の最大本数,; 標準的でない正多面体の面の枚数の $1$ つ (残りは $20$).; $3$ 次元接吻数.
$13$　: アルキメデスの立体の種類の総数.
$14$　: 偶数である最小のノントーシェント数.
$15$　: 類数が $2$ である虚 $2$ 次体の判別式の最小値,; $15$ 定理に現れる整数のリストの最大値,; 平面充填可能な凸五角形の種類の総数,; $2$ の累乗数でない最小のケーキ数,; 合成数である最小のベル数.
$16$　: 相異なる $2$ 個の素数の和として $2$ 通りに表せる最小の整数,; ケイリー=メンガー行列式 (三角形の面積の公式) の係数の分母.
$17$　: 最小のレイランド素数,; 文様群の種類の総数.
$18$　: 高度合成数でない最小の過剰数.
$19$　: 整数を $4$ 乗数の和として表すとき必要な $4$ 乗数の個数 (ウェアリングの問題).

20～29

$20$　: 正多面体の面の最大枚数.
$21$　: 正方形を異なる大きさの正方形に分割するときのタイルの最小枚数 (ルジンの問題).
$22$　: 最小の完全数と $2$ 番目に小さい完全数の差.
$23$　: 最小のピライ素数, 双子素数に含まれない最小の奇素数,; ウェアリングの問題で $9$ 個の立方数が必要な最小の整数.
$24$　: $4$ 次元空間における標準的でない正多胞体の胞の個数の $1$ つ (残りは $120,$ $600$).
$25$　: 最小のアスピリング数.
$26$　: 散在型単純群の種類の総数 (ティッツ群を含めると $27$).
$28$　: 現在発見されている社交数をなす数の個数の最大値.
$29$　: 等差素数列 $(3,5,7)$ にも三つ子素数にも含まれない最小の奇素数.

30～39

$30$　: 自身以下の互いに素な整数が $1$ または素数である最大の整数.
$31$　: $2$ 個以上の基数において $3$ 桁以上のレピュニットとして表される最小の整数 (ゴールマハティヒ予想),; $2$ の累乗数でないモーザー数列の最小の項.
$32$　: 結晶点群の種類の総数,; モロンの長方形の短い方の辺の長さ (長い方は $33$).
$33$　: 相異なる三角数の和として表せない最大の整数.
$34$　: $x^2-dy^2 = -1$ が整数解をもたないが有理数解をもつような平方因数をもたない最小の正の整数.
$36$　: 累乗数である最大の高度合成数,; 最小の非自明な平方三角数.
$37$　: 最小の非正則素数.

40～49

$43$　: 陳素数でない最小の素数.
$44$　: 最小のオイラーのレンガの最短辺の長さ (他の $2$ 辺の長さは $117,$ $240$).
$48$　: 最小の婚約数の片割れ (他方は $75$).

50～59

$55$　: 三角数である最小の非自明な四角錐数,; 三角数である最大のフィボナッチ数.
$56$　: 正の約数の平均が整数であって正の約数の個数で割り切れる最小の合成数.

60～69

$68$　: $2$ 個の素数の和として $2$ 通りに表せる最大の整数.

70～79

$70$　: 最小の不思議数.
$71$　: モンスター群の位数の最大の素因数.
$73$　: ノルム・ユークリッド $2$ 次体を作り出す平方因数をもたない最大の整数,; シンモルフィック空間群の種類の総数.

80～89

$84$　: 鋭角三角形である最小のブラーマグプタの三角形の面積.

90～99

$91$　: 最小の非自明なキャブタクシー数.
$92$　: ジョンソン=ザルガラーの立体の種類の総数.

3 桁の整数

100～199

$117$　: ヘロンの四面体の最長辺の長さの最小値 (他の辺の長さは $51,$ $52,$ $53,$ $80,$ $84$).
$120$　: $1$ でも完全数でもない最小の倍積完全数,; $4$ 次元空間における標準的でない正多胞体の胞の個数の $1$ つ (残りは $24,$ $600$).
$128$　: 相異なる平方数の和として表せない最大の整数.
$144$　: 累乗数である最大のフィボナッチ数.
$157$　: ノンシンモルフィック空間群の種類の総数.
$163$　: $\mathbb Q(\sqrt{-d})$ の類数が $1$ であるような平方因数をもたない正の整数 $d$ の最大値.