有名問題・定理から学ぶ数学

Well-Known Problems and Theorems in Mathematics

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メルセンヌ数と完全数

メルセンヌ数

定義《メルセンヌ数》

(1)
ある正の整数 $n$ を用いて $2^n-1$ の形に表される整数をメルセンヌ数(Mernenne number)と呼ぶ.
(2)
素数であるメルセンヌ数をメルセンヌ素数(Mersenne prime)と呼ぶ.

完全数

定義《完全数》

 正の整数 $a$ について, $a$ の正の約数の総和を $\sigma (a)$ で表す. $\sigma (a) = 2a$ が成り立つとき, $a$ を完全数(perfect number)と呼ぶ.

メルセンヌ素数と偶数の完全数

定理《メルセンヌ素数と偶数の完全数》

 メルセンヌ素数 $2^n-1$ と偶数の完全数 $a$ は \[ a = 2^{n-1}(2^n-1)\] により $1$ 対 $1$ に対応する.

証明

 こちらを参照.

問題

数学 I: 数と式

問題《$2^n-1$ がメルセンヌ素数である条件》

 $n$ を正の整数とする. $2^n-1$ が素数ならば, $n$ は素数であることを示せ.

解答例

 こちらを参照.

数学 B: 数列

問題《メルセンヌ素数と偶数の完全数》

 正の整数 $a$ について, $a$ の正の約数の総和を $\sigma (a)$ で表す. $\sigma (a) = 2a$ が成り立つとき, $a$ を「完全数」と呼ぶ. 次のことを示せ.
(1)
正の整数 $a,$ $b$ が互いに素ならば, $\sigma (ab) = \sigma (a)\sigma (b)$ が成り立つ.
(2)
$n$ を正の整数とするとき, $2^n-1$ が素数ならば, $a = 2^{n-1}(2^n-1)$ は偶数の「完全数」である.
(3)
偶数の「完全数」$a$ を $a = 2^{n-1}a'$ ($n$: $2$ 以上の整数, $a'$: 奇数)の形に表す. このとき, $\sigma (a') = a'+\dfrac{a'}{2^n-1},$ $a' = 2^n-1$ であり, $a'$ は素数である.
(4)
偶数の「完全数」を小さい方から順に $4$ つ求めよ. また, $2^{n-1}(2^n-1)$ が偶数の「完全数」とはならないような素数 $n$ を $1$ つ求めよ. ただし, $2^n-1$ が素数であるとき, $n$ が素数であることは, 証明なしに用いてよい(こちらを参照).
(参考: 2000 佐賀大)

解答例

 こちらを参照.