メルセンヌ数と完全数

　正の整数 $a$ について, $a$ の正の約数の総和を $\sigma (a)$ で表す. $\sigma (a) = 2a$ が成り立つとき, $a$ を完全数(perfect number)と呼ぶ.

　メルセンヌ素数 $2^n-1$ と偶数の完全数 $a$ は \[ a = 2^{n-1}(2^n-1)\] により $1$ 対 $1$ に対応する.

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問題

　正の整数 $a$ について, $a$ の正の約数の総和を $\sigma (a)$ で表す. $\sigma (a) = 2a$ が成り立つとき, $a$ を完全数と呼ぶ. 次のことを示せ.

(1): 正の整数 $a,$ $b$ が互いに素ならば, $\sigma (ab) = \sigma (a)\sigma (b)$ が成り立つ.
(2): $n$ を正の整数とするとき, $2^n-1$ が素数ならば, $a = 2^{n-1}(2^n-1)$ は偶数の完全数である.
(3): 偶数の完全数 $a$ を $a = 2^{n-1}a'$ ($n$: $2$ 以上の整数, $a'$: 奇数)の形に表す. このとき, $\sigma (a') = a'+\dfrac{a'}{2^n-1},$ $a' = 2^n-1$ であり, $a'$ は素数である.
[2000 佐賀大*]

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