等周問題

　周の長さが $L$ で一定の $n$ 角形の面積 $S$ について, \[ S \leqq \frac{L^2}{4n\tan\dfrac{\pi}{n}}\] が成り立つ. 等号成立は, 正 $n$ 角形の場合に限る.

　周の長さが $L$ で一定の閉曲線の面積 $S$ について, \[ S \leqq \dfrac{L^2}{4\pi}\] が成り立つ. 等号成立は, 円の場合に限る.

高校数学の問題

(1): $x,$ $y > 0$ のとき, $x+y \geqq 2\sqrt{xy}$ が成り立つことを示せ. また, 等号成立条件を求めよ.
(2): $x,$ $y,$ $z,$ $w > 0$ のとき, $x+y+z+w \geqq 4\sqrt[4]{xyzw}$ が成り立つことを示せ. また, 等号成立条件を求めよ.
(3): (2) において, $w = \dfrac{x+y+z}{3}$ とすることにより, $x+y+z \geqq 3\sqrt[3]{xyz}$ が成り立つことを示せ. また, 等号成立条件を求めよ.
(4): $\triangle\mathrm{ABC}$ において $a = \mathrm{BC},$ $b = \mathrm{CA},$ $c = \mathrm{AB},$ $s = \dfrac{a+b+c}{2}$ とおくとき「ヘロンの公式」 \[\triangle\mathrm{ABC} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\] (こちらを参照) が成り立つことを使って, 周の長さが一定の三角形のうち面積が最大のものは正三角形であることを示せ.

　こちらを参照.

　周の長さが $1$ の三角形のうち面積が最大のものは正三角形であることを示せ.

　こちらを参照.

(1): 実数値関数 $g(t)$ $(0 \leqq t \leqq \pi )$ は, $g(0) = g(\pi ) = 0$ を満たし, $0 < t < \pi$ において微分可能であり, $g'(t)$ は連続であるとする. $0 \leqq a \leqq \pi$ のとき $g'_\pm (a) = \displaystyle\lim\limits_{h \to \pm 0}\frac{g(a+h)-g(a)}{h}$ (複号同順) と定め, $v(t) = \dfrac{g(t)}{\sin t}$ $(0 < t < \pi )$ とおく. $g'_+(0),$ $g'_-(\pi )$ を用いて $\lim\limits_{\varepsilon \to +0}v(\varepsilon ),$ $\lim\limits_{\varepsilon \to +0}v(\pi -\varepsilon )$ を表せ.
(2): (1) の $g(t)$ に対して, \[\lim\limits_{\varepsilon \to +0}\int_{\varepsilon}^{\pi -\varepsilon}\{ g'(t)^2-g(t)^2\}\,dt \geqq 0\] が成り立つことを示せ. また, 等号が成り立つときの $g(t)$ を求めよ.
(3): $xy$ 平面上の曲線 $C:x = f(t),$ $y = g(t)$ $(0 \leqq t \leqq \pi )$ がある. $0 < t < \pi$ において, $f(t),$ $g(t)$ は微分可能で, $f'(t),$ $g'(t)$ は連続であるとし, $f'(t)^2+g'(t)^2 = 1$ を満たす. さらに, $0 < t < \pi$ において $f'(t) > 0$ であり, $f(0) = g(0) = g(\pi ) = 0$ を満たすとする. $C$ と $x$ 軸が囲む図形の面積を $S$ とおく. このとき, \[ S = \int_0^{f(\pi )}y\,dx = \lim\limits_{\varepsilon \to +0}\int_\varepsilon ^{\pi -\varepsilon}g(t)f'(t)\,dt\] を使って \[ S \leqq \frac{\pi}{2}\] が成り立つことを示せ. また, 等号が成り立つときの $C$ の媒介変数表示を求めよ.

(参考: 山梨大)

　こちらを参照.