等周問題
等周問題
定理≪多角形の等周定理≫
周の長さが $L$ で一定の $n$ 角形の面積 $S$ について,
\[ S \leqq \frac{L^2}{4n\tan\dfrac{\pi}{n}}\]
が成り立つ.
等号成立は, 正 $n$ 角形の場合に限る.
定理≪曲線の等周定理≫
周の長さが $L$ で一定の閉曲線の面積 $S$ について,
\[ S \leqq \dfrac{L^2}{4\pi}\]
が成り立つ.
等号成立は, 円の場合に限る.
問題
数学 II: 微分法
問題≪三角形の等周問題≫
周の長さが $1$ である三角形のうち, 面積が最大となる三角形は正三角形であることを示せ.
解答例
こちらを参照.