多面体

　凹みがなく, すべての面が合同であり, 各頂点に集まる辺の数が等しい多面体を正多面体(regular polyhedron)と呼ぶ.

　正多面体は, 正四面体, 正六面体, 正八面体, 正十二面体, 正二十面体の $5$ つに限る.

　こちらを参照.

問題

(1): 各頂点に $m$ 本の辺が集まり, 各面が正 $n$ 角形であるような正多面体について, $(m-2)(n-2) < 4$ が成り立つことを示せ.
(2): 正多面体は, 正四面体, 正六面体, 正八面体, 正十二面体, 正二十面体の $5$ つに限ることを示せ.

　こちらを参照.

　四面体 $\mathrm{OABC}$ が $2$ つの条件

(i): $\mathrm{OA} \perp \mathrm{BC},$ $\mathrm{OB} \perp \mathrm{CA},$ $\mathrm{OC} \perp \mathrm{AB}$
(ii): $4$ つの面の面積がすべて等しい

を満たすとする. このとき, 四面体 $\mathrm{OABC}$ は正四面体であることを示せ.

(参考: 2003 京都大)

　こちらを参照.