有名問題・定理から学ぶ数学

Well-Known Problems and Theorems in Mathematics

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多面体

正多面体

定義≪正多面体≫

 凹みがなく, すべての面が合同であり, 各頂点に集まる辺の数が等しい多面体を正多面体(regular polyhedron)と呼ぶ.

定理≪プラトンの多面体定理≫

 正多面体は, 正四面体, 正六面体, 正八面体, 正十二面体, 正二十面体の $5$ つに限る.
  
 

証明

 こちらを参照.

問題

数学 A: 整数の性質

問題≪プラトンの多面体定理≫

(1)
各頂点に $m$ 本の辺が集まり, 各面が正 $n$ 角形であるような正多面体について, $(m-2)(n-2) < 4$ が成り立つことを示せ.
(2)
正多面体は, 正四面体, 正六面体, 正八面体, 正十二面体, 正二十面体の $5$ つに限ることを示せ.

解答例

 こちらを参照.

数学 B: ベクトル

問題≪対辺が互いに垂直な等面四面体≫

 四面体 $\mathrm{OABC}$ が $2$ つの条件
(i)
$\mathrm{OA} \perp \mathrm{BC},$ $\mathrm{OB} \perp \mathrm{CA},$ $\mathrm{OC} \perp \mathrm{AB}$
(ii)
$4$ つの面の面積がすべて等しい
を満たすとする. このとき, 四面体 $\mathrm{OABC}$ は正四面体であることを示せ.
(参考: 2003 京都大)

解答例

 こちらを参照.