有名問題・定理から学ぶ数学

Well-Known Problems and Theorems in Mathematics

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多面体

正多面体

定義《正多面体》

 すべての面が合同な正多角形であり, すべての頂点において接する面の数が等しい多面体を正多面体 (regular polyhedron) と呼ぶ. そのうち凹みがないものを凸正多面体と呼ぶ.

注意

 凸正多面体を単に正多面体と呼ぶことも多い.

定理《正多面体の種類》

 正多面体は, 正四面体, 正六面体, 正八面体, 正十二面体, 正二十面体の $5$ つに限る.
  
 

証明

 こちらを参照.

高校数学の問題

図形と計量

問題《正多面体の外接球の半径》

 $1$ 辺の長さが $1$ の正四面体, 正六面体, 正八面体, 正十二面体, 正二十面体において, 最長対角線の長さ, 外接球の半径をそれぞれ求めよ. ただし, $1$ 辺の長さが $1$ の正五角形の対角線の長さが「黄金数」 \[\varphi = \frac{1+\sqrt 5}{2}\] であること (こちらこちらを参照) は, 証明なしに使ってよい.

解答例

 こちらを参照.

問題《正多面体の内接球の半径》

 $1$ 辺の長さが $1$ の正四面体, 正六面体, 正八面体, 正十二面体, 正二十面体において, 内接球の半径をそれぞれ求めよ. ただし, 前問の結果は証明なしに使ってよい.

解答例

 こちらを参照.

問題《正多面体の表面積》

 $1$ 辺の長さが $1$ の正四面体, 正六面体, 正八面体, 正十二面体, 正二十面体において, 表面積をそれぞれ求めよ. ただし, \[\sin 36^\circ = \frac{\sqrt{10-2\sqrt 5}}{4}, \quad \sin 72^\circ = \frac{\sqrt{10+2\sqrt 5}}{4}\] であることは, 証明なしに使ってよい.

解答例

 こちらを参照.

問題《正多面体の体積》

 $1$ 辺の長さが $1$ の正四面体, 正六面体, 正八面体, 正十二面体, 正二十面体において, 体積をそれぞれ求めよ. $1$ 辺の長さが $1$ の正五角形の面積が $\dfrac{\sqrt{25+10\sqrt 5}}{4}$ であること, および正四面体, 正八面体, 正十二面体, 正二十面体の内接球の半径がそれぞれ $\dfrac{\sqrt 6}{12},$ $\dfrac{\sqrt 6}{6},$ $\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{25+11\sqrt 5}{10}},$ $\dfrac{3\sqrt 3+\sqrt{15}}{12}$ であること (こちらを参照) は, 証明なしに使ってよい.

解答例

 こちらを参照.

図形の性質

問題《正多面体の種類》

(1)
各面が正 $p$ 角形であり, 各頂点に $q$ 本の辺が集まるような正多面体 (凸多面体) について, $(p-2)(q-2) < 4$ が成り立つことを示せ.
(2)
正多面体 (凸多面体) は, 正四面体, 正六面体, 正八面体, 正十二面体, 正二十面体の $5$ つに限ることを示せ.

解答例

 こちらを参照.

ベクトル

問題《対辺が互いに垂直な等面四面体》

 四面体 $\mathrm{OABC}$ が, $2$ つの条件
(i)
$\mathrm{OA} \perp \mathrm{BC},$ $\mathrm{OB} \perp \mathrm{CA},$ $\mathrm{OC} \perp \mathrm{AB}$
(ii)
$4$ つの面の面積がすべて等しい
を満たすとする. このとき, 四面体 $\mathrm{OABC}$ は正四面体であることを示せ.
(参考: $2003$ 京都大)

解答例

 こちらを参照.