$1$ 辺の長さが $1$ の正四面体, 正六面体, 正八面体, 正十二面体, 正二十面体において, 最長対角線の長さ, 外接球の半径をそれぞれ求めよ. ただし, $1$ 辺の長さが $1$ の正五角形の対角線の長さが「黄金数」 \[\varphi = \frac{1+\sqrt 5}{2}\] であること (こちらとこちらを参照) は, 証明なしに使ってよい.

　$1$ 辺の長さが $1$ の正四面体, 正六面体, 正八面体, 正十二面体, 正二十面体において, 内接球の半径をそれぞれ求めよ. ただし, 前問の結果は証明なしに使ってよい.

　$1$ 辺の長さが $1$ の正四面体, 正六面体, 正八面体, 正十二面体, 正二十面体において, 表面積をそれぞれ求めよ. ただし, \[\sin 36^\circ = \frac{\sqrt{10-2\sqrt 5}}{4}, \quad \sin 72^\circ = \frac{\sqrt{10+2\sqrt 5}}{4}\] であることは, 証明なしに使ってよい.

　$1$ 辺の長さが $1$ の正四面体, 正六面体, 正八面体, 正十二面体, 正二十面体において, 体積をそれぞれ求めよ. $1$ 辺の長さが $1$ の正五角形の面積が $\dfrac{\sqrt{25+10\sqrt 5}}{4}$ であること, および正四面体, 正八面体, 正十二面体, 正二十面体の内接球の半径がそれぞれ $\dfrac{\sqrt 6}{12},$ $\dfrac{\sqrt 6}{6},$ $\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{25+11\sqrt 5}{10}},$ $\dfrac{3\sqrt 3+\sqrt{15}}{12}$ であること (こちらを参照) は, 証明なしに使ってよい.

(1)

各面が正 $p$ 角形であり, 各頂点に $q$ 本の辺が集まるような正多面体 (凸多面体) について, $(p-2)(q-2) < 4$ が成り立つことを示せ.

(2)

正多面体 (凸多面体) は, 正四面体, 正六面体, 正八面体, 正十二面体, 正二十面体の $5$ つに限ることを示せ.

　四面体 $\mathrm{OABC}$ が, $2$ つの条件

(i)

$\mathrm{OA} \perp \mathrm{BC},$ $\mathrm{OB} \perp \mathrm{CA},$ $\mathrm{OC} \perp \mathrm{AB}$

(ii)

$4$ つの面の面積がすべて等しい

を満たすとする. このとき, 四面体 $\mathrm{OABC}$ は正四面体であることを示せ.