サイクロイド
サイクロイド
定義≪サイクロイド≫
平面上において, 円が定直線に接しながらすべることなく転がるとき, 円周上の点が描く軌跡をサイクロイド(cycloid)と呼ぶ.
定理≪サイクロイドの媒介変数表示≫
$xy$ 平面において, 半径 $a$ の円が $x$ 軸の上をすべることなく転がるとき,
原点で $x$ 軸に接する円周上の定点が描く軌跡は, $\theta$ を媒介変数として
\[ x = a(\theta -\sin\theta ), \quad y = a(1-\cos\theta )\]
で表される.
解答例
こちらを参照.
問題
数学 III: 式と曲線
問題≪サイクロイドの媒介変数表示≫
$xy$ 平面において, 半径 $1$ の円が $x$ 軸の上をすべることなく転がるとき,
原点で $x$ 軸に接する円周上の定点 $\mathrm P$ が描く軌跡は, $\theta$ を媒介変数として
\[ x = \theta -\sin\theta, \quad y = 1-\cos\theta \quad \cdots [\ast ]\]
で表されることを示せ.
解答例
こちらを参照.
数学 III: 積分法
問題≪サイクロイドの長さ≫
$xy$ 平面上の曲線
\[ x = \theta -\sin\theta, \quad y = 1-\cos\theta \quad (0 \leqq \theta \leqq 2\pi )\]
の長さ $L$ を求めよ.
解答例
こちらを参照.