有名問題・定理から学ぶ数学

Well-Known Problems and Theorems in Mathematics

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サイクロイド

サイクロイド

定義《サイクロイド》

 平面上において, 円が定直線に接しながらすべることなく転がるとき, 動円の周上の点が描く軌跡をサイクロイド(cycloid)と呼ぶ.

定理《サイクロイド》

 $xy$ 平面において, 半径 $a$ の円が $x$ 軸の上をすべることなく転がるとき, 原点で $x$ 軸に接する円周上の定点が描く軌跡は, $\theta$ を媒介変数として \[ x = a(\theta -\sin\theta ), \quad y = a(1-\cos\theta )\] で表される.

外サイクロイドと内サイクロイド

定義《外サイクロイドと内サイクロイド》

(1)
平面上において, 円が定円に外接しながらすべることなく転がるとき, 動円の周上の定点が描く軌跡を「外擺線」, 「外サイクロイド」または「エピサイクロイド」(epicycloid)と呼ぶ. 定円と動円の半径が同じ外サイクロイドを「心臓形」または「カージオイド」(cardioid)と呼ぶ.
(2)
平面上において, 円が定円に内接しながらすべることなく転がるとき, 動円の周上の定点が描く軌跡を「内擺線」, 「内サイクロイド」または「ハイポサイクロイド」(hypocycloid)と呼ぶ. 定円と動円の半径の比が $4:1$ の「内サイクロイド」を「星芒形」または「アステロイド」(asteroid)と呼ぶ.

定理《外サイクロイドと内サイクロイド》

(1)
$xy$ 平面において, 原点を中心とする半径 $a$ の円に, 半径 $b$ の円が外接しながらすべることなく転がるとき, 点 $\mathrm A(a,0)$ を通る動円の周上の定点が描く軌跡は, $\theta$ を媒介変数として \[\begin{aligned} x &= (a+b)\cos\theta -b\cos\frac{a+b}{b}\theta, \\ y &= (a+b)\sin\theta -b\sin\frac{a+b}{b}\theta \end{aligned}\] で表される.
(2)
$xy$ 平面において, 原点を中心とする半径 $a$ の円に, 半径 $b$ の円が内接しながらすべることなく転がるとき, 点 $\mathrm A(a,0)$ を通る動円の周上の定点が描く軌跡は, $\theta$ を媒介変数として \[\begin{aligned} x &= (a-b)\cos\theta +b\cos\frac{a-b}{-b}\theta, \\ y &= (a-b)\sin\theta +b\sin\frac{a-b}{-b}\theta \end{aligned}\] で表される.

証明

 こちらを参照.

問題

数学 III: 式と曲線

問題《サイクロイド》

 $xy$ 平面において, 半径 $1$ の円が $0 \leqq y \leqq 2$ の部分をすべることなく転がる. 動円の中心を $\mathrm C,$ 動円と $x$ 軸の接点を $\mathrm T$ とおくとき, $\mathrm{CT}$ を始線として動径 $\mathrm{CP}$ が表す角 $\theta$ を用いて, 原点を通る動円の周上の定点 $\mathrm P(x,y)$ が描く軌跡の方程式を表せ.

解答例

 こちらを参照.

問題《外サイクロイドと内サイクロイド》

 原点 $\mathrm O$ を中心とする半径 $a$ の円に, 点 $\mathrm C$ を中心とする半径 $b$ の円が, 接しながらすべることなく転がる.
(i)
円 $\mathrm O$ に円 $\mathrm C$ が外接するとき
(ii)
円 $\mathrm O$ に円 $\mathrm C$ が内接するとき
の場合に分けて, 点 $\mathrm A(a,0)$ を通る円 $\mathrm C$ の周上の定点 $\mathrm P(x,y)$ が描く軌跡の方程式を, 線分 $\mathrm{OC}$ の線分 $\mathrm{OA}$ からの回転角 $\theta$ を用いて表せ.

解答例

 こちらを参照. 

数学 III: 積分法

問題《サイクロイドと直線が囲む図形の面積》

(A)
サイクロイド \[ x = \theta -\sin\theta, \quad y = 1-\cos\theta \quad (0 \leqq \theta \leqq 2\pi )\] と $x$ 軸で囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ.
(B)
カージオイド \[ x \!=\! (1\!+\!\cos\theta )\cos\theta,\ y \!=\! (1\!+\!\cos\theta )\sin\theta\ (-\pi \!\leqq\! \theta \!\leqq\! \pi )\] で囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ.
(C)
アステロイド \[ x = \cos ^3\theta, \quad y = \sin ^3\theta \quad (0 \leqq \theta \leqq 2\pi )\] で囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ.

解答例

 こちらを参照.

問題《サイクロイドの長さ》

 $xy$ 平面上の曲線 \[ x = \theta -\sin\theta, \quad y = 1-\cos\theta \quad (0 \leqq \theta \leqq 2\pi )\] の長さ $L$ を求めよ. 

解答例

 こちらを参照.