(1)

実数 $\theta$ に対して $\cos 3\theta = 4\cos ^3\theta -3\cos\theta$ が成り立つことを示せ.

(2)

$a = \cos\dfrac{2\pi}{5}$ の値を求めよ.

(3)

$1$ 辺の長さが $1$ の正五角形の対角線の長さを求めよ.

　正七角形 $\mathrm{ABCDEFG}$ において $a = \mathrm{GA},$ $b = \mathrm{GB},$ $c = \mathrm{GC}$ とおき, $\theta = \dfrac{\pi}{7}$ とおく.

(1)

$\triangle\mathrm{GAB}$ と $\triangle\mathrm{GBC}$ に着目して, $b = 2a\cos\theta$ と $c = a(4\cos ^2\theta -1)$ を示せ.

(2)

$\sin 3\theta$ と $\sin 4\theta$ を $\cos\theta$ の多項式と $\sin\theta$ の積の形に表せ.

(3)

$\cos\theta$ を解に持つ $3$ 次方程式を $1$ つ求めよ.

(4)

$a^{-1} = b^{-1}+c^{-1}$ が成り立つことを示せ.

　$n$ を正の整数とする. すべての実数 $\theta$ に対して \[\begin{cases} \cos n\theta = T_n(\cos\theta ) & \cdots [\mathrm A], \\ \sin n\theta = \sin\theta\,U_{n-1}(\cos\theta ) & \cdots [\mathrm B] \end{cases}\] を満たす整数係数の $n$ 次多項式 $T_n(x),$ $n-1$ 次多項式 $U_{n-1}(x)$ が存在することを示せ.

　$T_0(x) = 1,$ $T_1(x) = x$ と漸化式 \[ T_{n+2}(x) = 2xT_{n+1}(x)-T_n(x)\] により多項式 $T_n(x)\ (n \geqq 0)$ を定める.

(1)

すべての非負整数 $n,$ 実数 $\theta$ に対して \[ T_n(\cos\theta ) = \cos n\theta \quad \cdots [\text P]\] が成り立つことを数学的帰納法で示せ.

(2)

$m$ を正の整数とする. $T_m(x) = 0$ の実数解を余弦の値で表せ.

(3)

$T_n(x)$ を $x$ の関数とみなすとき, $n$ が偶数のとき $T_n(x)$ は偶関数であり, $n$ が奇数のとき $T_n(x)$ は奇関数であることを示せ.

(4)

$n \geqq 2$ で, $n$ の正の約数 $m$ について $\dfrac{n}{m}$ が奇数であるとする. このとき, $T_m(x)$ は $T_n(x)$ を割り切ることを示せ.

(1)

関数 $\left| x^3-\dfrac{3}{4}x\right|$ の $-1 \leqq x \leqq 1$ における最大値 $M_0$ を求めよ.

(2)

$a,$ $b,$ $c$ を実数とする. 関数 $|x^3+ax^2+bx+c|$ の $-1 \leqq x \leqq 1$ における最大値 $M$ は $M_0$ 以上であることを示せ.

　$a$ を実数の定数とする.

(A)

$4x^3-3x = a$　

(B)

$8x^4-8x^2+1 = a$　

の異なる実数解の個数をそれぞれ調べよ.

　すべての正の整数 $n$ に対して \[ T_n(\cos\theta ) = \cos n\theta, \quad \sin\theta\,U_n(\cos\theta ) = \sin (n+1)\theta\] を満たす $n$ 次多項式 $T_n(x),$ $U_n(x)$ が存在する (こちらを参照). 正の整数 $m,$ $n$ に対して, \[\begin{aligned} I &= \lim_{a \to -1+0}\lim_{b \to 1-0}\int_a^b\frac{T_m(x)T_n(x)}{\sqrt{1-x^2}}\,dx, \\ J &= \int_{-1}^1U_m(x)U_n(x)\sqrt{1-x^2}\,dx \end{aligned}\] の値を求めよ. ただし, $J$ は \[ J = \lim_{a \to -1+0}\lim_{b \to 1-0}\int_a^bU_m(x)U_n(x)\sqrt{1-x^2}\,dx\] と考えるとよい.