有名問題・定理から学ぶ数学

Well-Known Problems and Theorems in Mathematics

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チェビシェフ多項式

チェビシェフ多項式

定理≪チェビシェフ多項式の存在≫

 $n$ を正の整数とする.
(1)
$\cos n\theta$ はある整数係数 $n$ 次多項式 $T_n(x)$ を用いて $\cos n\theta = T_n(\cos\theta )$ と表すことができる.
(2)
$\sin n\theta$ はある整数係数 $n-1$ 次多項式 $U_n(x)$ を用いて $\sin n\theta = U_n(\cos\theta )\sin\theta$ と表すことができる.

解答例

 こちらを参照.

定義≪チェビシェフ多項式≫

 (1) の多項式 $T_n(x)$ を第一種チェビシェフ多項式, (2) の多項式 $U_n(x)$ を第二種チェビシェフ多項式と呼び, これらをあわせてチェビシェフ多項式(Chebyshev polynomial)と呼ぶ.

例≪チェビシェフ多項式≫

 チェビシェフ多項式を次数の低い順に書き出していくと, 次のようになる. \begin{align*} T_1(x) &= x, & \!\!\!\!\!\!U_1(x) &= 1, \\ T_2(x) &= 2x^2-1, & \!\!\!\!\!\!U_2(x) &= 2x, \\ T_3(x) &= 4x^3-3x, & \!\!\!\!\!\!U_3(x) &= 4x^2-1, \\ T_4(x) &= 8x^4-8x^2+1, & \!\!\!\!\!\!U_4(x) &= 8x^3-4x, \\ T_5(x) &= 16x^5-20x^3+5x, & \!\!\!\!\!\!U_5(x) &= 16x^4-12x^2+1, \\ \vdots\quad& & \vdots\quad& \end{align*}

問題

数学 II: 三角関数

問題≪正五角形の対角線の長さ≫

(1)
実数 $\theta$ に対して $\cos 3\theta = 4\cos ^3\theta -3\cos\theta$ が成り立つことを示せ.
(2)
$a = \cos\dfrac{2\pi}{5}$ の値を求めよ.
(3)
$1$ 辺の長さが $1$ である正五角形の対角線の長さを求めよ.
[横浜市立大*]

解答例

 こちらを参照.

問題≪正七角形調和≫

 正七角形 $\mathrm{ABCDEFG}$ において $a = \mathrm{GA},$ $b = \mathrm{GB},$ $c = \mathrm{GC}$ とおき, $\theta = \dfrac{\pi}{7}$ とおく.
(1)
$\triangle\mathrm{GAB}$ と $\triangle\mathrm{GBC}$ に着目して, $b = 2a\cos\theta$ と $c = a(4\cos ^2\theta -1)$ を示せ.
(2)
$\sin 3\theta$ と $\sin 4\theta$ を $\cos\theta$ の多項式と $\sin\theta$ の積の形に表せ.
(3)
$\cos\theta$ を解に持つ $3$ 次方程式を $1$ つ求めよ.
(4)
$a^{-1} = b^{-1}+c^{-1}$ が成り立つことを示せ.

解答例

 こちらを参照.

問題≪チェビシェフ多項式の存在≫

 $n$ を正の整数とする. 次のことを示せ.
(1)
すべての実数 $\theta$ に対して \[\begin{cases} \cos n\theta = T_n(\cos\theta ) & \cdots [1], \\ \sin n\theta = U_n(\cos\theta )\sin\theta & \cdots [2] \end{cases}\] を満たす整数係数 $n$ 次多項式 $T_n(x)$ と整数係数 $n-1$ 次多項式 $U_n(x)$ が存在する.
(2)
$T_n{}'(x) = nU_n(x)$ が成り立つ.
[1996 京都大*]

解答例

 こちらを参照.

問題≪チェビシェフ多項式の性質≫

 $T_0(x) = 1,$ $T_1(x) = x$ と漸化式 \[ T_{n+2}(x) = 2T_{n+1}(x)x-T_n(x)\] により多項式 $T_n(x)\ (n \geqq 0)$ を定める.
(1)
すべての非負整数 $n,$ 実数 $\theta$ に対して \[ T_n(\cos\theta ) = \cos n\theta \quad \cdots [P]\] が成り立つことを数学的帰納法で示せ.
(2)
$m$ を正の数とする. $T_m(x) = 0$ の実数解を余弦の値で表せ.
(3)
$T_n(x)$ を $x$ の関数とみなすとき, $n$ が偶数のとき $T_n(x)$ は偶関数であり, $n$ が奇数のとき $T_n(x)$ は奇関数であることを示せ.
(4)
$n \geqq 2$ のとき, $n$ の正の約数 $m$ について $\dfrac{n}{m}$ が奇数であるならば, $T_m(x)$ は $T_n(x)$ を割り切ることを示せ.

解答例

 こちらを参照.

数学 II: 微分法

問題≪チェビシェフ多項式にまつわる方程式≫

 $a$ を実数の定数とする.
(A)
$4x^3-3x = a$ 
(B)
$8x^4-8x^2+1 = a$ 
の異なる実数解の個数をそれぞれ調べよ.

解答例

 こちらを参照.