有名問題・定理から学ぶ数学

Well-Known Problems and Theorems in Mathematics

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微分法の方程式への応用(数学 II)

微分法の方程式への応用

問題《チェビシェフ多項式にまつわる方程式》

 $a$ を実数の定数とする.
(A)
$4x^3-3x = a$ 
(B)
$8x^4-8x^2+1 = a$ 
の異なる実数解の個数をそれぞれ調べよ.

解答例

(A)
$f(x) = 4x^3-3x$ とおく. このとき, \[\begin{aligned} f'(x) &= 12x^2-3 = 12\left( x^2-\frac{1}{4}\right) \\ &= 12\left( x+\frac{1}{2}\right)\left( x-\frac{1}{2}\right) \end{aligned}\] から, $f(x)$ の増減は下の表のようになる.
$x$$\cdots$$-\dfrac{1}{2}$$\cdots$$\dfrac{1}{2}$$\cdots$
$f'(x)$$+$$0$$-$$0$$+$
$f(x)$$\nearrow$極大$\searrow$極小$\nearrow$
よって, $f(x)$ は, $x = -\dfrac{1}{2}$ のとき極大値 $1,$ $x = \dfrac{1}{2}$ のとき極小値 $-1$ をとり, $f(x)$ のグラフ $y = f(x)$ の概形は下の図のようになる.
ゆえに, 与えられた方程式 $f(x) = a$ の異なる実数解の個数は, 曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = a$ の共有点の個数に等しく, $a < -1,$ $1 < a$ のとき $1$ 個, $a = \pm 1$ のとき $2$ 個, $-1 < a < 1$ のとき $3$ 個である.
(B)
$g(x) = 8x^4-8x^2+1$ とおく. このとき, \[\begin{aligned} g'(x) &= 32x^3-16x = 32x\left( x^2-\dfrac{1}{2}\right) \\ &= 32x\left( x+\frac{1}{\sqrt 2}\right)\left( x-\frac{1}{\sqrt 2}\right) \end{aligned}\] から, $g(x)$ の増減は下の表のようになる.
$x$$\cdots$$-\dfrac{1}{\sqrt 2}$$\cdots$$0$$\cdots$$\dfrac{1}{\sqrt 2}$$\cdots$
$g'(x)$$-$$0$$+$$0$$-$$0$$+$
$g(x)$$\searrow$極小$\nearrow$極大$\searrow$極小$\nearrow$
よって, $g(x)$ は, $x = 0$ のとき極大値 $1,$ $x = \pm\dfrac{1}{\sqrt 2}$ のとき極小値 $-1$ をとり, $g(x)$ のグラフ $y = g(x)$ の概形は下の図のようになる.
ゆえに, 与えられた方程式 $g(x) = a$ の異なる実数解の個数は, 曲線 $y = g(x)$ と直線 $y = a$ の共有点の個数に等しく, $a < -1$ のとき $0$ 個, $a = -1,$ $a > 1$ のとき $2$ 個, $a = 1$ のとき $3$ 個, $-1 < a < 1$ のとき $4$ 個である.

背景

 $3$ 倍角, $4$ 倍角の公式から, 上記の関数 $f(x) = 4x^3-3x,$ $g(x) = 8x^4-8x^2+1$ は $\cos 3\theta = f(\cos\theta ),$ $\cos 4\theta = g(\cos\theta )$ を満たす. このように, $\cos n\theta = T_n(\cos\theta )$ を満たす多項式 $T_n(x)$ を「第一種チェビシェフ多項式」(Chebyshev polynomial of the first kind)と呼ぶ(こちらを参照).

問題《$3$ 次関数のグラフの接線の交点の存在範囲》

 $p$ を $0$ でない実数とする. 曲線 $C:y = x^3+px$ の接線の交点の存在範囲を, 接線の本数に応じて答えよ.

解答例

 $y = x^3+px$ の導関数は \[ y' = 3x^2+p\] であるから, $C$ の点 $(s,s^3+ps)$ における接線の方程式は \[\begin{aligned} y &= (3s^2+p)(x-s)+s^3+ps \\ y &= -2s^3+3s^2x+px \end{aligned}\] である. この直線が点 $\mathrm P(a,b)$ を通るとき, \[ b = -2s^3+3as^2+ap\] が成り立つ. そこで, $a,$ $b$ を定数として, 関数 $f(s) = -2s^3+3as^2+ap$ のグラフ $t = f(s)$ と直線 $t = b$ が複数の共有点をもつような条件を調べる. $f(s)$ を微分すると, \[ f'(s) = -6s^2+6as = -6s(s-a)\] となる.
(i)
$a > 0$ のとき. $f(s)$ の増減は次のようになるから, $t = f(s)$ と $t = b$ が複数の共有点をもつ条件は $ap \leqq b \leqq a^3+ap$ である. 共有点の個数は, $b = ap,$ $b = a^3+ap$ のとき $2$ 個, $ap < b < a^3+ap$ のとき $3$ 個である.
$s$$\cdots$$0$$\cdots$$a$$\cdots$
$f'(s)$$-$$0$$+$$0$$-$
$f(s)$$\searrow$$ap$$\nearrow$$a^3+ap$$\searrow$
(ii)
$a = 0$ のとき. $f(s)$ は単調減少となり, 極値をもたないから, $t = f(s)$ と $t = b$ が複数の共有点をもつことはない.
(iii)
$a < 0$ のとき. $f(s)$ の増減は次のようになるから, $t = f(s)$ と $t = b$ が複数の共有点をもつ条件は $a^3+ap \leqq b \leqq ap$ である. 共有点の個数は, $b = a^3+ap,$ $b = ap$ のとき $2$ 個, $a^3+ap < b < ap$ のとき $3$ 個である.
$s$$\cdots$$a$$\cdots$$0$$\cdots$
$f'(s)$$-$$0$$+$$0$$-$
$f(s)$$\searrow$$a^3+ap$$\nearrow$$ap$$\searrow$
(i)~(iii) から, $C$ の $2$ 本の接線が交わる点の存在範囲は $C$ と直線 $y = px$ の原点を除く部分であり, $C$ の $3$ 本の接線が交わる点の存在範囲は $C$ と直線 $y = px$ に挟まれた部分である.

解説

 平行移動, 対称移動と $y$ 座標の定数倍を考えることにより, 次のことがわかる: 極値をもつ $3$ 次関数のグラフ $C$ が点 $\mathrm S$ に関して対称であるとき, $C$ の $\mathrm S$ における接線を $l$ とおくと, $C$ の $2$ 本の接線が交わる点の存在範囲は $C$ と $l$ の $\mathrm S$ を除く部分であり, $C$ の $3$ 本の接線が交わる点の存在範囲は $C$ と $l$ に挟まれた部分である.