(A)

$f(x) = 4x^3-3x$ とおく. このとき, \[\begin{aligned} f'(x) &= 12x^2-3 = 12\left( x^2-\frac{1}{4}\right) \\ &= 12\left( x+\frac{1}{2}\right)\left( x-\frac{1}{2}\right) \end{aligned}\] から, $f(x)$ の増減は下の表のようになる.

$x$	$\cdots$	$-\dfrac{1}{2}$	$\cdots$	$\dfrac{1}{2}$	$\cdots$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	極大	$\searrow$	極小	$\nearrow$

よって, $f(x)$ は, $x = -\dfrac{1}{2}$ のとき極大値 $1,$ $x = \dfrac{1}{2}$ のとき極小値 $-1$ をとり, $f(x)$ のグラフ $y = f(x)$ の概形は下の図のようになる.

ゆえに, 与えられた方程式 $f(x) = a$ の異なる実数解の個数は, 曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = a$ の共有点の個数に等しく, $a < -1,$ $1 < a$ のとき $1$ 個, $a = \pm 1$ のとき $2$ 個, $-1 < a < 1$ のとき $3$ 個である.

(B)

$g(x) = 8x^4-8x^2+1$ とおく. このとき, \[\begin{aligned} g'(x) &= 32x^3-16x = 32x\left( x^2-\dfrac{1}{2}\right) \\ &= 32x\left( x+\frac{1}{\sqrt 2}\right)\left( x-\frac{1}{\sqrt 2}\right) \end{aligned}\] から, $g(x)$ の増減は下の表のようになる.

$x$	$\cdots$	$-\dfrac{1}{\sqrt 2}$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$\dfrac{1}{\sqrt 2}$	$\cdots$
$g'(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$g(x)$	$\searrow$	極小	$\nearrow$	極大	$\searrow$	極小	$\nearrow$

よって, $g(x)$ は, $x = 0$ のとき極大値 $1,$ $x = \pm\dfrac{1}{\sqrt 2}$ のとき極小値 $-1$ をとり, $g(x)$ のグラフ $y = g(x)$ の概形は下の図のようになる.

ゆえに, 与えられた方程式 $g(x) = a$ の異なる実数解の個数は, 曲線 $y = g(x)$ と直線 $y = a$ の共有点の個数に等しく, $a < -1$ のとき $0$ 個, $a = -1,$ $a > 1$ のとき $2$ 個, $a = 1$ のとき $3$ 個, $-1 < a < 1$ のとき $4$ 個である.

　$y = x^3+px$ の導関数は \[ y' = 3x^2+p\] であるから, 点 $(s,s^3+ps)$ における $C$ の接線の方程式は \[\begin{aligned} y-(s^3+ps) &= (3s^2+p)(x-s) \\ y &= (3s^2+p)x-2s^3 \end{aligned}\] である. この直線が点 $\mathrm P(a,b)$ を通るとき, \[ b = -2s^3+3as^2+ap\] が成り立つ. そこで, $a,$ $b$ を実数として, 関数 $f(s) = -2s^3+3as^2+ap$ のグラフ $t = f(s)$ と直線 $t = b$ が複数の共有点をもつような条件を調べる. $f(s)$ を微分すると, \[ f'(s) = -6s^2+6as = -6s(s-a)\] となる.

(i)

$a > 0$ のとき. $f(s)$ の増減は次の表の通りであるから, $t = f(s)$ と $t = b$ が複数の共有点をもつ条件は $ap \leqq b \leqq a^3+ap$ である. 共有点の個数は, $b = ap,$ $a^3+ap$ のとき $2$ 個, $ap < b < a^3+ap$ のとき $3$ 個である.

$s$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$a$	$\cdots$
$f'(s)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f(s)$	$\searrow$	$ap$	$\nearrow$	$a^3+ap$	$\searrow$

(ii)

$a = 0$ のとき. $f(s)$ は単調減少になり, 極値をもたないから, $t = f(s)$ と $t = b$ が複数の共有点をもつことはない.

(iii)

$a < 0$ のとき. $f(s)$ の増減は次の表の通りであるから, $t = f(s)$ と $t = b$ が複数の共有点をもつ条件は $a^3+ap \leqq b \leqq ap$ である. 共有点の個数は, $b = a^3+ap,$ $ap$ のとき $2$ 個, $a^3+ap < b < ap$ のとき $3$ 個である.

$s$	$\cdots$	$a$	$\cdots$	$0$	$\cdots$
$f'(s)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f(s)$	$\searrow$	$a^3+ap$	$\nearrow$	$ap$	$\searrow$

(i)～(iii) から, $C$ の $2$ 本の接線の交点の存在範囲は $C$ と直線 $y = px$ の原点を除く部分であり, $C$ の $3$ 本の接線の交点の存在範囲は $C$ と直線 $y = px$ に挟まれた部分である.