(i)

$n = 1$ のとき. \[\frac{(x+h)-x}{h} = 1 \to 1 \quad (h \to 0)\] であるから, $(x)' = 1$ が成り立つ.

(ii)

$n \geqq 2$ のとき. 二項定理により, \[\begin{aligned} &\frac{(x+h)^n-x^n}{h} \\ &= \frac{\left\{ x^n+nx^{n-1}h+\dfrac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2+\cdots +h^n\right\} -x^n}{h} \\ &= nx^{n-1}+\dfrac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h+\cdots +h^{n-1} \\ &\to nx^{n-1} \quad (h \to 0) \end{aligned}\] であるから, $(x^n)' = nx^{n-1}$ が成り立つ.

(i), (ii) から, すべての正の整数 $n$ に対して $(x^n)' = nx^{n-1}$ が成り立つ.

　$n$ に関する数学的帰納法で示す.

(i)

$n = 1$ のとき. \[\frac{(x+h)-x}{h} = 1 \to 1 \quad (h \to 0)\] であるから, $(x)' = 1$ が成り立つ.

(ii)

$n = k$ ($k$: 正の整数) のとき, 等式が成り立つとする. このとき, 積の導関数の公式により \[\begin{aligned} (x^{k+1})' = (x^k\cdot x)' = (x^k)'\cdot x+x^k\cdot (x)' \\ = kx^{k-1}\cdot x+x^k\cdot 1 = (k+1)x^k \end{aligned}\] となるから, $n = k+1$ のときも等式が成り立つ.

(i), (ii) から, すべての正の整数 $n$ に対して $(x^n)' = nx^{n-1}$ が成り立つ.