微分係数・導関数 (文系・理系共通)

n

を正の整数とする.

(x^n)' = nx^{n-1}

が成り立つことを示せ.

基本定理

2021/07/30

2021/07/30

(i): $n = 1$ のとき. $\frac{(x+h)-x}{h} = 1 \to 1 \quad (h \to 0)$ であるから, $(x)' = 1$ が成り立つ.
(ii): $n \geqq 2$ のとき. 二項定理により, $\begin{aligned} &\frac{(x+h)^n-x^n}{h} \\ &= \frac{\left\{ x^n+nx^{n-1}h+\dfrac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2+\cdots +h^n\right\} -x^n}{h} \\ &= nx^{n-1}+\dfrac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h+\cdots +h^{n-1} \\ &\to nx^{n-1} \quad (h \to 0) \end{aligned}$ であるから, $(x^n)' = nx^{n-1}$ が成り立つ.

(i), (ii) から, すべての正の整数

n

に対して

(x^n)' = nx^{n-1}

が成り立つ.

n

に関する数学的帰納法で示す.

(i): $n = 1$ のとき. $\frac{(x+h)-x}{h} = 1 \to 1 \quad (h \to 0)$ であるから, $(x)' = 1$ が成り立つ.
(ii): $n = k$ ( $k$ : 正の整数) のとき, 等式が成り立つとする. このとき, 積の導関数の公式により $\begin{aligned} (x^{k+1})' = (x^k\cdot x)' = (x^k)'\cdot x+x^k\cdot (x)' \\ = kx^{k-1}\cdot x+x^k\cdot 1 = (k+1)x^k \end{aligned}$ となるから, $n = k+1$ のときも等式が成り立つ.

(i), (ii) から, すべての正の整数

n

に対して

(x^n)' = nx^{n-1}

が成り立つ.

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