(1)

$\tan\alpha = \dfrac{1}{5}$ とする. $\tan 2\alpha,$ $\tan 4\alpha$ の値を求めよ.

(2)

関数 $\tan x\ \left( -\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{2}\right)$ の逆関数を $\arctan x$ で表す. \[\frac{\pi}{4} = 4\arctan\frac{1}{5}-\arctan\frac{1}{239} \quad \cdots [\ast ]\] が成り立つことを示せ.

　次のことを示せ.

(1)

すべての角 $\theta$ と正の整数 $n$ に対して \[\cos\frac{\theta}{2}\cdots\cos\frac{\theta}{2^n}\sin\frac{\theta}{2^n} = \frac{1}{2^n}\sin\theta\] が成り立つ.

(2)

\[\frac{2}{\pi} = \lim\limits_{n \to \infty}\left(\cos\frac{\pi}{4}\cdots\cos\frac{\pi}{2^{n+1}}\right)\] が成り立つ.

　$0! = 1$ と定める. 各非負整数 $n$ に対して, \[ I_n = \frac{\pi^{n+1}}{n!}\int_0^1t^n(1-t)^n\sin\pi tdt\] とおく.

(1)

$x > 0$ のとき, 不等式 \[\sum_{k = 0}^n\frac{x^k}{k!} < e^x\] が成り立つことを示せ.

(2)

$a > 0$ とする. (1) の不等式を用いて \[\sum_{k = 0}^na^kI_k < \pi e^{a\pi}\] が成り立つことを示せ.

(3)

$I_0,$ $I_1$ の値を求めて, \[ I_{n+2} = \frac{4n+6}{\pi}I_{n+1}-I_n\] が成り立つことを示せ.

(4)

$\pi$ が無理数であることを示したい. 正の整数 $a,$ $b$ によって $\pi = \dfrac{a}{b}$ と表されるとする. このとき, $a^nI_n$ は整数であることを示せ. さらに, これから矛盾を導け.