辺の長さが $\mathrm{AB} = a,$ $\mathrm{BC} = b,$ $\mathrm{CD} = c,$ $\mathrm{DA} = d$ である四角形 $\mathrm{ABCD}$ が円に内接している. $x = \mathrm{AC},$ $y = \mathrm{BD}$ とおく.

(1)

$a,$ $b,$ $c,$ $d$ を用いて $x,$ $y$ を表せ.

(2)

$xy = ac+bd$ が成り立つことを示せ.

　(ヒント: 円に内接する四角形の向かい合う内角の和は $180^\circ$ である.)

　円に内接する四角形 $\mathrm{ABCD}$ において, \[\frac{\mathrm{DA}\cdot\mathrm{AB}+\mathrm{BC}\cdot\mathrm{CD}}{\mathrm{AB}\cdot\mathrm{BC}+\mathrm{CD}\cdot\mathrm{DA}} = \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BD}}\] が成り立つことを示せ. ただし, $\triangle\mathrm{ABC}$ の外接円の半径が $R$ であるとき, \[\triangle\mathrm{ABC} = \frac{\mathrm{BC}\cdot\mathrm{CA}\cdot\mathrm{AB}}{4R}\] が成り立つこと (こちらを参照) は証明なしに使ってよい.

(A)

四角形 $\mathrm{ABCD}$ が円に内接するとき, 対角線 $\mathrm{BD}$ 上に $\angle\mathrm{BAE} = \angle\mathrm{CAD}$ なる点 $\mathrm E$ をとる. 次のことを示せ.

(1)

$\triangle\mathrm{ABE},$ $\triangle\mathrm{ACD}$ は相似である.

(2)

$\triangle\mathrm{ABC},$ $\triangle\mathrm{AED}$ は相似である.

(3)

$\mathrm{AB}\cdot\mathrm{CD}+\mathrm{AD}\cdot\mathrm{BC} = \mathrm{AC}\cdot\mathrm{BD}$ が成り立つ.

(参考: $2008$ 東京慈恵会医科大)

(B)

凸四角形 $\mathrm{ABCD}$ の内部に, $\triangle\mathrm{ABF},$ $\triangle\mathrm{ACD}$ が相似になるような点 $\mathrm F$ をとる. 次のことを示せ.

(1)

$\triangle\mathrm{ABC},$ $\triangle\mathrm{AFD}$ は相似である.

(2)

$\mathrm{AB}\cdot\mathrm{CD}+\mathrm{AD}\cdot\mathrm{BC} \geqq \mathrm{AC}\cdot\mathrm{BD}$ が成り立つ.

(3)

$\mathrm{AB}\cdot\mathrm{CD}+\mathrm{AD}\cdot\mathrm{BC} = \mathrm{AC}\cdot\mathrm{BD}$ が成り立つならば, 四角形 $\mathrm{ABCD}$ は円に内接する.

　すべての内角が $180^\circ$ 未満である四角形 $\mathrm{ABCD}$ が直径 $1$ の円に内接している. 弧 $\mathrm{AB},$ $\mathrm{BC},$ $\mathrm{CD},$ $\mathrm{DA}$ に対する円周角 (四角形 $\mathrm{ABCD}$ がある側の角) をそれぞれ $\alpha,$ $\beta,$ $\gamma,$ $\delta$ とおく.

(1)

$\alpha,$ $\beta,$ $\gamma$ を用いて $\mathrm{AC},$ $\mathrm{BD}$ を表せ.

(2)

$\mathrm{AC}\cdot\mathrm{BD} = \mathrm{AB}\cdot\mathrm{CD}+\mathrm{BC}\cdot\mathrm{DA}$ が成り立つことを示せ.

　次の問いに答えよ. ただし, 複素数 $z,$ $w$ に対して「三角不等式」$|z+w| \leqq |z|+|w|$ が成り立つこと (こちらを参照) は証明なしに使ってよい.

(1)

$(b-a)(d-c)+(d-a)(c-b)$ を因数分解せよ.

(2)

平面上の相異なる $4$ 点 $\mathrm A,$ $\mathrm B,$ $\mathrm C,$ $\mathrm D$ に対して, 不等式 \[\mathrm{AB}\cdot\mathrm{CD}+\mathrm{AD}\cdot\mathrm{BC} \geqq \mathrm{AC}\cdot\mathrm{BD}\] が成り立つことを示せ. また, その等号成立条件を求めよ.

(3)

最大の内角が $120^\circ$ 未満の $\triangle\mathrm{ABC}$ の内部に点 $\mathrm P$ をとり, $\triangle\mathrm{ABC}$ の外側に正三角形 $\mathrm{ABC}'$ をかく. $\mathrm{PA}+\mathrm{PB} \geqq \mathrm{PC}'$ が成り立つことを示せ. また, $\mathrm{PA}+\mathrm{PB}+\mathrm{PC}$ が最小になるとき, $\angle\mathrm{APB} = 120^\circ$ が成り立つことを示せ.