有名問題・定理から学ぶ数学

Well-Known Problems and Theorems in Mathematics

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コーシー=シュワルツの不等式

コーシー=シュワルツの不等式

定理《コーシー=シュワルツの不等式》

 正の整数 $n,$ 実数 $a_1,$ $\cdots,$ $a_n,$ $b_1,$ $\cdots,$ $b_n$ に対して, \[ (a_1b_1\!+\!\cdots\!+\!a_nb_n)^2 \leqq (a_1{}^2\!+\!\cdots\!+\!a_n{}^2)(b_1{}^2\!+\!\cdots\!+\!b_n{}^2)\] が成り立つ. 等号成立は $a_1:\cdots :a_n = b_1:\cdots :b_n$ である場合に限る.

証明

 こちらを参照.

問題

数学 I: $2$ 次関数

問題《$n$ 変数のコーシー=シュワルツの不等式》

 $n$ を $2$ 以上の整数, $a_1,$ $\cdots,$ $a_n,$ $b_1,$ $\cdots,$ $b_n$ を実数とする. すべての実数 $x$ に対して $x$ の $2$ 次不等式 \[ (a_1x-b_1)^2+\cdots +(a_nx-b_n)^2 \geqq 0\] が成り立つことから, 不等式 \[ (a_1b_1\!+\!\cdots\!+\!a_nb_n)^2 \leqq (a_1{}^2\!+\!\cdots\!+\!a_n{}^2)(b_1{}^2\!+\!\cdots\!+\!b_n{}^2)\] が成り立つことを示せ. また, 等号成立条件を求めよ.

解答例

 こちらを参照.

数学 III: 積分法

問題《定積分に関するシュワルツの不等式》

 $a \leqq x \leqq b$ で定義された連続関数 $f(x),$ $g(x)$ について, $\{tf(x)+g(x)\} ^2$ ($t$: 任意の実数)の定積分を考えることにより, \[\left\{\int_a^bf(x)g(x)dx\right\} ^2 \leqq \int_a^bf(x)^2dx\int_a^bg(x)^2dx\] が成り立つことを示せ.

解答例

 こちらを参照.