有名問題・定理から学ぶ数学

Well-Known Problems and Theorems in Mathematics

数式を枠からはみ出さずに表示するためには, 画面を横に傾けてください.

$2$ 次不等式

$2$ 次不等式

定理≪絶対 $2$ 次不等式の成立条件≫

 $a$ を正の数, $b,$ $c$ を実数, $f(x) = ax^2+bx+c$ を $2$ 次関数とする. すべての実数 $x$ に対して $2$ 次不等式 $f(x) > 0$ が成り立つためには, $f(x)$ の最小値が正であること, つまり $f(x)$ の判別式 $D = b^2-4ac$ が負であることが必要十分である.

問題≪$n$ 変数のコーシー=シュワルツの不等式≫

 $n$ を正の整数, $a_1,$ $\cdots,$ $a_n,$ $b_1,$ $\cdots,$ $b_n$ を実数とする. すべての実数 $x$ に対して $x$ の $2$ 次不等式 \[ (a_1x-b_1)^2+\cdots +(a_nx-b_n)^2 \geqq 0\] が成り立つことから, 不等式 \[ (a_1b_1\!+\!\cdots\!+\!a_nb_n)^2 \leqq (a_1{}^2\!+\!\cdots\!+\!a_n{}^2)(b_1{}^2\!+\!\cdots\!+\!b_n{}^2)\] が成り立つことを示せ. また, 等号成立条件を求めよ.

解答例

 すべての実数 $x$ に対して $x$ の $2$ 次不等式 \[ (a_1x-b_1)^2+\cdots +(a_nx-b_n)^2 \geqq 0 \quad \cdots [1]\] つまり \[\!\!\!(a_1\!\!{}^2\!\!+\!\cdots\!+\!a_n\!\!{}^2)x^2\!\!-\!2(a_1b_1\!\!+\!\cdots\!+\!a_nb_n)x\!+\!(b_1\!\!{}^2\!\!+\!\cdots\!+\!b_n\!\!{}^2) \!\!\geqq\!\! 0\] が成り立つから, 左辺の判別式 $D$ について $\dfrac{D}{4} \geqq 0$ から \[ (a_1b_1\!+\!\cdots\!+\!a_nb_n)^2\!-\!(a_1{}^2\!+\!\cdots\!+\!a_n{}^2)(b_1{}^2\!+\!\cdots\!+\!b_n{}^2) \!\leqq\! 0\] が成り立ち, 求める不等式 \[ (a_1b_1\!+\!\cdots\!+\!a_nb_n)^2 \leqq (a_1{}^2\!+\!\cdots\!+\!a_n{}^2)(b_1{}^2\!+\!\cdots\!+\!b_n{}^2)\] が得られる. また, 等号成立は, $[1]$ において等号が成り立つ \[ a_1x-b_1 = \cdots = a_nx-b_n = 0\] の場合, つまり $a_1:\cdots :a_n = b_1:\cdots :b_n$ の場合に限る.

背景

  • 本問で示した等式は「コーシー=シュワルツの不等式」(Cauchy–Schwarz inequality)と呼ばれる. $n = 2,$ $3$ のときは平面ベクトル, 空間ベクトルの内積に関する不等式 \[ |\vec a\cdot\vec b| \leqq |\vec a||\vec b|\] の両辺を $2$ 乗することで直ちに証明できる(数学 B). 本問で示したことから, $n$ 個の成分を持つベクトルを考えて, 内積を各成分の積として定義すると, $n = 2,$ $3$ の場合と同様の不等式が成り立つ. $n$ 個の成分を持つベクトルは, $n$ 元連立 $1$ 次方程式や $n$ 次方程式の理論の構築に役立てられている.
  • 「コーシー=シュワルツの不等式」を使うと, データ $x = x_k,$ $y = y_k$ $(1 \leqq k \leqq n)$ の相関係数は $-1$ 以上 $1$ 以下であることが証明できる. 実際, $x$ の平均を $\bar x,$ $y$ の平均を $\bar y$ とおいて, $a_k = x_k-\bar x,$ $b_k = y_k-\bar y$ $(1 \leqq k \leqq n)$ とおくと, \[\left(\sum_{k = 1}^na_kb_k\right) ^2 \leqq \left(\sum_{k = 1}^na_k{}^2\right)\left(\sum_{k = 1}^nb_k{}^2\right)\] から \begin{align*} \frac{|s_{xy}|}{s_xs_y} &= \frac{\left|\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k = 1}^na_kb_k\right|}{\sqrt{\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k = 1}^na_k{}^2}\sqrt{\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k = 1}^nb_k{}^2}} \\ &= \sqrt{\frac{\left(\displaystyle\sum_{k = 1}^na_kb_k\right) ^2}{\left(\displaystyle\sum_{k = 1}^na_k{}^2\right)\left(\displaystyle\sum_{k = 1}^nb_k{}^2\right)}} \leqq 1 \end{align*} が得られる.