有名問題・定理から学ぶ数学

Well-Known Problems and Theorems in Mathematics

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データの分析

相関関係

問題《相関係数の値の範囲》

 データ $x = x_1,$ $\cdots,$ $x_n$ とデータ $y = y_1,$ $\cdots,$ $y_n$ の相関係数は $-1$ 以上 $1$ 以下であることを示せ. 実数 $a_1,$ $\cdots,$ $a_n,$ $b_1,$ $\cdots,$ $b_n$ に対して「コーシー=シュワルツの不等式」 \[ (a_1b_1\!+\!\cdots\!+\!a_nb_n)^2 \leqq (a_1{}^2\!+\!\cdots\!+\!a_n{}^2)(b_1{}^2\!+\!\cdots\!+\!b_n{}^2)\] が成り立つこと(こちらを参照)は証明なしに使ってよい.

解答例

 $x$ の平均値を $\bar x,$ $y$ の平均値を $\bar y$ とおいて, $a_k = x_k-\bar x,$ $b_k = y_k-\bar y$ $(1 \leqq k \leqq n)$ とおくと,「コーシー=シュワルツの不等式」 \[\left(\sum_{k = 1}^na_kb_k\right) ^2 \leqq \left(\sum_{k = 1}^na_k{}^2\right)\left(\sum_{k = 1}^nb_k{}^2\right)\] から \[\begin{aligned} \frac{|s_{xy}|}{s_xs_y} &= \frac{\left|\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k = 1}^na_kb_k\right|}{\sqrt{\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k = 1}^na_k{}^2}\sqrt{\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k = 1}^nb_k{}^2}} \\ &= \sqrt{\frac{\left(\displaystyle\sum_{k = 1}^na_kb_k\right) ^2}{\left(\displaystyle\sum_{k = 1}^na_k{}^2\right)\left(\displaystyle\sum_{k = 1}^nb_k{}^2\right)}} \leqq 1 \end{aligned}\] が得られる.